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古典概型 几何概型练习题


2012 年 3 月 3 日星期六
1.(2011 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到 2 个数之和为 偶数” ,事件 B=“取到 2 个数均为偶数” ,则在 A 发生的前提下,B 发生的 概率是 1 A. 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 10. 定义在 R 上的函数 y = f (x ) ,在 ( ?∞, a ) 上是增函数,且函数 18.(2012 北约自主招生) 求 x + 11 ? 6 x + 2 + 的实数根的个数;

x + 27 ? 10 x + 2 = 1

y = f ( x + a ) 是偶函数,当 x1 < a, x 2 > a ,且 x1 ? a < x2 ? a 时,有
A. f ( x1 ) > f ( x2 ) B. f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) C. f ( x1 ) < f ( x2 ) D. f ( x1 ) ≤ f ( x2 )

2.(2009 福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都是 40%.现采用随机模拟 的方法估计该运动员三次投篮恰有 2 次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值得随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再 以每三组数为一组, 代表三次投篮结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此统计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率. A.0.35 B.0.25 C. 0.20 D. 0.15 3.(2011 课标)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一兴趣小组的概 率是 1 A. 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4

x 则 11. 已知 x1 是方程 x lg x = 2010 的根, 2 是方程 x ? 10x = 2010的根, x1·x2=
A.2008 B.2009 C.2010 D.2011 19.(2012 北约自主招生)已知点 A(-2,0),B(0,2)若点 C 是圆 x 2 ? 2 x + y 2 = 0 上 的动点,求 ?ABC 面积的最小值。

12. 给出定义:若 m ? 最近的整数,

1 1 < x ≤ m + (其中 m 为整数) m 叫做离实数 x ,则 2 2

记作 {x} = m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) = x ? {x} 的四个命 题: ①函数 y = f (x ) 的定义域为 R,值域为 [0, ] ; ②函数 y = f (x ) 的图像关于直线 x =

4.(2010 湖北,4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正 面向上”为事件 A, “骰子向上点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 至少有一 个发生的概率. 5 A. 12 B. 1 2 C. 7 12 D. 3 4

1 2

k (k ∈ Z ) 对称; 2
20. 已知 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x ) < 0 的解集是 (0, 5), 且 f ( x ) 在区间

5.(2008 辽宁,8)4 张卡片上分别写着 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

③函数 y = f (x ) 是周期函数,最小正周期为1; ④函数 y = f (x ) 在 ?? 1 , 1 ? 上是增函数.
? 2 2? ? ?

[ ?1, 4] 上的最大值是 12.
(1)求 f ( x ) 的解析式; D.①②③ (2) 是否存在整数 m, 使得方程 f ( x ) +

其中正确的命题的序号是( A. ① B.②③

) C. ①④

6.(2011 江苏,5)从 1,2,3,4 这 4 个数中一次随机的取两个数,则其中一个 数是另一个数的两倍是概率是 1 A. 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2

17.在线段[0,1]上任意投三个点,问由 0 至三点的三线段,能构成三角形与不 能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.

37 = 0 在区间 ( m, m + 1) 内有且只有 x

两个不等的实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

3 7.设一直角三角形两直角边的长均为(0,1)的随机数,则斜边长小于 的概率 4 3 2 A. 8 B. 9π 64 C. 9π 16 D. 9 64

?log 2 x, x > 0 ? 8.设函数 f ( x ) = ? log (? x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a)则实数 a 的取值范围是 ? 1 ? 2
A.(-1,0)∪(0,1) B. (-∞,-1)∪(1,+∞) C. (-1,0)∪(1,+ ∞) D. (-∞,-1)∪(0,1) 9.(2011 年安徽)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时,f(x)=2x2-x, 当 则 f(1)等于 A.-3 B. -1 C. 1 D. 3 10.若 P 是两条异面直线 l,m 外任意一点,则 A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直

10 ) 时, h '( x) < 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ∈ ( , +∞) 时, h '( x ) > 0, h( x ) 是增函数.------------------------8 分 3 10 1 Q h(3) = 1 > 0, h( ) = ? < 0, h(4) = 5 > 0, 3 27 10 10 ∴ 方程 h( x) = 0 在区间 (3, ), ( , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 3 3
当 x ∈ (0,

(0, 3),

(4, +∞)











根.---------------------------------------------------------------10 分 所 以 存 在 惟 一 的 自 然 数 m = 3, 使 得 方 程 f ( x ) +

37 =0 在区间 x
的 实 数

(m, m + 1)



















根.-------------------------------------------------------12 分

6B 7B 20. (本小题满分 12 分) 解: (I)Q f ( x ) 是二次函数,且 f ( x ) < 0 的解集是 (0, 5),

∴ 可设 f ( x) = ax( x ? 5)(a > 0). --------------------------------2 分 ∴ f ( x) 在区间 [ ?1, 4] 上的最大值是 f (?1) = 6a.
由已知,得 6a = 12,

∴ a = 2, ∴ f ( x) = 2 x( x ? 5) = 2 x 2 ? 10 x( x ∈ R).
(II)方程 f ( x ) +

-----------------------------4 分

37 = 0 等价于方程 2 x 3 ? 10 x 2 + 37 = 0. x

设 h( x ) = 2 x 3 ? 10 x 2 + 37, 则 h '( x ) = 6 x 2 ? 20 x = 2 x (3 x ? 10).


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