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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A)


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2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请 严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解 答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3

( C )

2.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)

( D )

3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打 满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 A.

2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立, 3 3
( B )

241 670 266 274 B. C. D. 81 243 81 81 2 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm ,则这三个正方体的体积之和为
( A ) A. 764 cm 或 586 cm C. 586 cm 或 564 cm
3 3 3

B. 764 cm D. 586 cm

3

3

3

? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? xyz ? z ? 0, 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ? ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

( B )

6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是 sin B cot C ? cos B
( C )

A. (0, ??)

B. (0,

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
C. (

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2


7. f ( x) ? ax ? b , 设 其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) ,n ? 1, 2,3,? , f7 ( ) ?8 x 31 若 x 1 2 8? 则a ?b ? 5 .

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8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ?

1 ,则 a ? 2

?2 ? 3



9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ?

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 an = 1 ? 1 . n(n ? 1) 2n n(n ? 1)

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

) f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008 =

22008 ? 2007



12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远 不可能接触到的容器内壁的面积是

72 3



三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ? , 求证: 14.解不等式

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?

log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ?1) ? 1 ? log2 ( x4 ?1) .
15. 如题 15 图,P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点, B,C 在 y 轴上, ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC , ?PBC 点 圆 求 面积的最小值.

题 15 图

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2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)试题
一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ?B ? ?D ? 180? , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令

f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB .
(Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆;

1 AE 3 BC (Ⅱ) E 是 ?ABC 外接圆 O 的 ? 上一点, 设 满足: , 又 AD AB ? 3 ? 1 ,?ECB ? ?ECA , D , C ? EC 2 AB 2
是 ? O 的切线, AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值.

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

答一图 1

1 是 f ( x) 的周期; p
(n ? 1, 2, ???) ,且每个

(Ⅱ)若 T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列 {an } 满足 1 ? an ? an?1 ? 0

an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 , k ? 1, 2,?, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:
k ?1 2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3,? ; (ⅱ) lim xn 存在;
n ??

(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

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2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 1.[解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上的最小值
2? x
为 2. 2. [解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? ? 4? 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . 3.[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否 停止没有影响.从而有
P(? ? 2) ? 5 , 9

4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜.
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由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
4.[ 解 ] 设 这 三 个 正 方 体 的 棱 长 分 别 为 a, b, c , 则 有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 , 不 妨 设
1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 , c ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9,8,7,6.
2 2 2 2 2

若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 92 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) . 若 c ? 8 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 , b ? 5 .但 2b ? 30 , b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若 b ? 5 ,则 a ? 5
2 2

无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.
2

若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 .

b 若 c ? 6 , a2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 , 则 此时 2b ? a ? b ? 58 , ? 29 . b ? 6 , b ? c ? 6 , b ? 6 , 故 但 故
2 2 2 2

此时 a ? 58 ? 36 ? 22 无解.
2

? a ? 2, ? a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ? c ? 7. ?c ? 9 ? ?
体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm 或 V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm .
3 3

? x ? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? ?1, 5.[解] 若 z ? 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy ? y ? 0. ? y ? 0 ? y ? 1.
若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ① ② ③

将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由①得 x ? ?

1 ,代入③化简得 ( y ?1)( y3 ? y ?1) ? 0 . y

易知 y3 ? y ?1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由①得 x ? ?1 ,由②得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,故该方程组共

? x ? 0, ? x ? ?1, 有两组有理数解 ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? ? ? z ? 0. ?z?0 ? ?
6.[解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而
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sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C

?

sin( C ) A? ? sin( C ) B?

?s?i nB( ? ?s?i nA (

)B s i n b ? ?q. )A s i n a

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a, b, c 成等比数列, 最大边只能是 a 或 c , 因此 a, b, c 要构成三角形的三边, 必需且只需 a ? b ? c 且

b ? c ? a .即有不等式组

?a ? aq ? aq 2 , ?q 2 ? q ? 1 ? 0, ? ? 即? 2 ? 2 ?aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0. ? ?

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2

二、填空题 7. [解] 由题意知 fn ( x) ? an x ? (an?1 ? an?2 ??? a ?1)b

? an x ?

an ?1 ?b , a ?1 a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1

由 f7 ( x) ? 128x ? 381 得 a 7 ? 128 ,

8.[解] f ( x) ? 2cos2 x ?1 ? 2a ? 2a cos x

a 1 ? 2(cos x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2
(1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ?

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2
1 , 2

又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ?

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9. [解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ??? | ?? |
表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当 于 24 ? 2 ? 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”.
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“每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”, 故有 C2 ? 253 种. 23 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

x1 ? x2 ? x3 ? 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可 重组合:
21 H3 ? C21 ? C2 ? 253 . 23 23

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.[解] an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 即 2 a n ?1 ? =

n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1)
?2 1 , ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)
1 1 . ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

由此得 2 (a n ?1 ? 令 bn ? an ? 有 bn ?1 ?

1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)

1 1 1 1 . bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? 2 2 n(n ? 1) 2

11.[解法一] 由题设条件知

f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x ,故

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0)

? 3 ? (22006 ? 22004 ? ? ? 22 ? 1) ? f (0)
? 3? 41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1

? 22008 ? 2007 .
[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 ,
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即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 . 12.[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与 小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A1 B1C1 的中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心.

1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

? 4 ?VO? A1B1C1
1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1

PP ? PO 2 ? OP 2 ? (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 1
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况,易 知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P EF , 1 如答 12 图 2.记正四面体 的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 因 ?MPP ? 1 答 12 图 1

?
6

,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? 1 1

3 ? 6r ,故小三角形 2

的边长 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S?PEF ? 1

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

答 12 图 2

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以

S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .
由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题 13.[证]

f ( x) 的图象与直线 y ? kx (k ? 0) 的
3? ) 内相切, 2

三个交点如答 13 图所示,且在 (? , 其切点为 A(? , ? sin ? ) , ? ? (? ,

3? ). 2

?5 分
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答 13 图

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3 sin ? 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , ? ) ,所以 ? cos ? ? ? ,即 ? ? tan ? . 2 ?
因此

?10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ?

?

1 4sin ? cos ?

?15 分

? ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? 4 tan ?

?

1? ? 2 . 4?

?20 分

14.[解法一] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .
即 分组分解

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x4 ? 1 ? 0 . x12 ? x10 ? x8 ?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x6 ?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4 ? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

?5 分

( x8 ? 2x6 ? 4x4 ? x2 ? 1)( x4 ? x2 ?1) ? 0 ,
所以

?10 分

x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x2 ?
所以 x 2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? )?0. 2 2

?15 分

?1 ? 5 ?1 ? 5 或 ?1 ? 5 . ,即 x ? ? x? 2 2 2

故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 )?( 2

5 ?1 , ??) . 2

?20 分

[解法二] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .


?5 分

2 1 ? ? x 6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x6 ( 1 3 1 ) ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , 2 x x
?10 分

令 g (t ) ? t 3 ? 2t ,则不等式为
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g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , x2

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x 2 ? 1, x2
即 ( x2 )2 ? x2 ?1 ? 0 ,解得 x 2 ? 故原不等式解集为 (??, ?

?15 分 ( x2 ? ?

5 ?1 2

5 ?1 舍去), 2
?20 分

5 ?1 )?( 2

5 ?1 , ??) . 2

15. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b , x x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

?5 分

2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b2 ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? ?10 分

? x0 ?2 y0 , bc ? ,则 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 . ( x0 ? 2)2

(b ? c)2 ?

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则
2 2 x0 4 x0 , . b?c ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

(b ? c)2 ?

?15 分

所以 S?PBC ?

x 1 4 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ?4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

?2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. ?20 分

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2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分 档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、[解法一] (Ⅰ)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 P ,有
PA ? BC ? PC ? AB ? PB ? AC .

因此 f ( P) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA
? PB ? CA ? PD ? CA ? ( PB ? PD) ? CA .

因为上面不等式当且仅当 P, A, B, C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当 P 在
?ABC 的外接圆且在 ? 上时, AC

f ( P) ? ( PB ? PD) ? CA .

?10 分

答一图 1

又因 PB ? PD ? BD ,此不等式当且仅当 B, P, D 共线且 P 在 BD 上时取等号.因此当且仅当 P 为 ?ABC 的 外接圆与 BD 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P)min ? AC ? BD . 故当 f ( P ) 达最小值时, P, A, B, C 四点共圆. (Ⅱ)记 ?ECB ? ? ,则 ?ECA ? 2? ,由正弦定理有
3 3(3sin ? 4 sin? ? 4 sin cos,所以 ? ) ? ?

?20 分

AE sin 2? 3 ,从而 3sin3? ? 2sin 2? ,即 ? ? AB sin 3? 2

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 , 解得 cos ? ? ?30 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3

故 ? ? 30? , ?ACE ? 60? .

sin ?EAC ? 30 BC 由 已 知 ? 3 ?1 = EC sin ?EAC
3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC 2 2
t a?EAC ? n

?

0

?

, 有 sin(?EAC ? 30? ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC , 即

, 整 理 得

2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC 2 2
?40 分

, 故

1 ? ? ? 2 ,可得 ?EAC ? 75 , 3 2? 3

从而 ?E ? 45? , ?DAC ? ?DCA ? ?E ? 45? , ?ADC 为等腰直角三角形.因 AC ? 2 ,则 CD ? 1 . 又 ?ABC 也是等腰直角三角形,故 BC ? 2 , BD2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , BD ? 5 . 故 f (P)min ? BD ? AC ? 5 ? 2 ? 10 .
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?50 分

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[解法二]

(Ⅰ)如答一图 2,连接 BD 交 ?ABC 的外接圆 O 于 P 点 0

(因为 D 在 ? O 外,故 P 在 BD 上) . 0 过 A, C, D 分别作 P A, P C, P D 的垂线,两两相交得 ?A1B1C1 ,易 0 0 0 知 P0 在 ?ACD 内 , 从 而 在 ?A1 B1 C1内 , 记 ?ABC 之 三 内 角 分 别 为
x,y,z ,则 ?APC ? 180? ? y ? z ? x ,又因 B1C1 ? P A , B1 A ? PC , 0 0 1 0

得 ?B1 ? y ,同理有 ?A1 ? x , ?C1 ? z , 所以 ?A1B1C1 ∽ ?ABC . ?10 分 答一图 2

设 B1C1 ? ? BC , C1 A1 ? ?CA , A1B1 ? ? AB ,则对平面上任意点 M ,有

? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? BC ? P0 D ? CA ? PC ? AB) 0
? P A ? B1C1 ? P D ? C1 A1 ? PC ? A1B1 0 0 0

? 2S?A1B1C1
? MA ? B1C1 ? MD ? C1 A1 ? MC ? A1B1
? ? (MA ? BC ? MD ? CA ? MC ? AB)

? ? f (M ) ,
从而

f ( P ) ? f (M ) . 0

由 M 点的任意性,知 P 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 0 由点 P 在 ? O 上,故 P0 , A, B, C 四点共圆. 0 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( P ) 的最小值 , ?20 分

f ( P0 ) ?

2

?

S?A1B1C1

? 2? S?ABC ,
? 记 ?ECB ? ? , 则 ?E C A 2? , 由 正 弦 定 理 有

AE sin 2? 3 ,从而 ? ? AB sin 3? 2

3sin3? ? 2sin 2? , 即

3 ( 3 s i n? ?

43s?n? ) i

,所以 ? s i n? c o s 4

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 , 解得 cos ? ? ?30 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3

故 ? ? 30? , ?ACE ? 60? . 由 已 知

BC ? 3 ?1 = EC

sin ? ?EAC ? 300 ? sin ?EAC

, 有

sin(?EAC ? 30? ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC
2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC 2 2

, 即

3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC 2 2

, 整 理 得

, 故

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tan ?EAC ?

1 ? ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3

?40 分

所以 ?E ? 45? , ?ABC 为等腰直角三角形, AC ? 2 , S?ABC ? 1 ,因为 ?AB1C ? 45? , B1 点在 ? O 上,

5 ,所以 ?AB1B ? 90? , 所 以 B1BDC1 为 矩 形 , B1C1 ? BD ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , 故 ? ? 2

f ( P )m i n? 2 ?
[解法三]

5 ? 1 ? 2

1. 0

?50 分

(Ⅰ)引进复平面,仍用 A, B, C 等代表 A, B, C 所对应的复数.

由三角形不等式,对于复数 z1 , z2 ,有

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
当且仅当 z1 与 z2 (复向量)同向时取等号. 有 所以

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? PA ? BC ? PC ? AB ? PA ? BC ? PC ? AB ,

( A ? P)(C ? B) ? (C ? P)( B ? A)

? ( A ? P)(C ? B) ? (C ? P)(B ? A) ? ?P ? C ? A ? B ? C ? B ? P ? A ??? ???? ? ? ( B ? P)(C ? A) ? PB ? AC ,
从而

(1)

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA ??? ???? ??? ???? ? ? ? PB ? AC ? PD ? AC ??? ??? ???? ? ? ? ( PB ? PD ) ? AC ??? ???? ? ? BD ? AC .
(2) ?10 分

(1)式取等号的条件是 复数 ( A ? P)(C ? B) 与 (C ? P)( B ? A) 同向,故存在实数 ? ? 0 ,使得

( A ? P)(C ? B) ? ? (C ? P)( B ? A) ,

A? P B? A , ?? C?P C?B
A? P B? A ) ? arg( ), C?P C?B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 PC 旋转到 PA 所成的角等于 BC 旋转到 AB 所成的角,
所以

arg(

从而 P, A, B, C 四点共圆. (2)式取等号的条件显然为 B, P, D 共线且 P 在 BD 上. 故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ?ABC 之外接圆上, P, A, B, C 四点共圆.
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?20 分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( P)min ? BD ? AC . 以下同解法一. 二、[证](Ⅰ)若 T 是有理数,则存在正整数 m, n 使得 T ?
ma ? nb ? 1 .

n 且 (m, n) ? 1 ,从而存在整数 a , b ,使得 m

于是

1 ma ? nb ? ? a ? bT ? a ?1 ? b ? T m m
是 f ( x ) 的周期. 又因 0 ? T ? 1 ,从而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m ? pm? , m? ?N? ,从而 ?10 分

1 1 ? m? ? p m
是 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)若 T 是无理数,令 ?20 分

?1? a1 ? 1 ? ? ? T , ?T ?
则 0 ? a1 ? 1,且 a1 是无理数,令

?1? a2 ? 1 ? ? ? a1 , ? a1 ?
??

?1? an?1 ? 1 ? ? ? an , ? an ?
??. 由 数 学 归 纳 法 易 知 an 均 为 无 理 数 且 0 ? an ? 1 . 又 ?30 分

?1? 1 ?1? ? ? ? ? 1 , 故 1 ? an ? ? ? an , 即 an ? an ? ? an ?
?40 分

?1? .因此 {an } 是递减数列. an ?1 ? 1 ? ? ? an ? an an ? ?

1 最后证:每个 an 是 f ( x ) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a1 ? 1 ? ? ? T 亦是 f ( x ) 的周 ?T ? ? ?

? ? 期.假设 ak 是 f ( x ) 的周期,则 ak ?1 ? 1 ? ? 1 ? ak 也是 f ( x ) 的周期.由数学归纳法,已证得 an 均是 f ( x ) 的 ? ak ?
周期. ?50 分

三、[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为

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* xn ? xn ?1 ? ? ak ( xn ? k ? xn ? k ?1 ) , n ? N ,

2008 k ?1

其中 x0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 ( xn?1 ? x1 ) ? a2 ( xn?2 ? x2 ) ? ? ? a2008 ( xn?2008 ? x2008 ) .
由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得
n ??

?10 分

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ? ? ? a2008 (b ? x2008 )
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? a2008 x2008 )
k ?1 2008

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

?20 分
2008 k ?1

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:

f ( s) ? ?1 ? ? ak s k , s ?[0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1

2008

因此方程 f ( s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .
k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2,? ,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且 k ?1 n

?30 分

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n s0 ? s0 ?1 . 1 ? s0
n ?1

因 0 ? s0 ? 1 , 故 l i m 0 ?1 ? 0 因 此 lim xn ? lim s0 ? s 0 ? s 0 , 即 {xn } 的 极 限 存 在 , 满 足 , sn n ?? n ?? n ?? 1 ? s 1 ? s0 0 (ⅱ) .
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1 2008

?40 分

n k n n xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ? k ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) . k ?1 k ?1 k ?1

2008

2008

2008

综上,存在数列 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , .

?50 分

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