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中考数学1重难点专题 一元二次方程与二次函数


中考数学重难点专题
第一部分 真题精讲 【例 1】2010,西城,一模

一元二次方程与二次函数

【例 2】2010,门头沟,一模
2 2 关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 2) x ? 1 ? 0 .

(1)当 m 为何值时,方程有两个不相等的实数根; (2)点

2 已知:关于 x 的方程 mx ? 3(m ? 1) x ? 2m ? 3 ? 0 .

A? ?1, ? 1?

2 2 是抛物线 y ? (m ? 1) x ? 2(m ? 2) x ? 1 上的点,求抛物线的解析式;

⑴求证: m 取任何实数时,方程总有实数根;
2 ⑵若二次函数 y1 ? mx ? 3(m ? 1) x ? 2m ? 1 的图象关于 y 轴对称.

(3 ) 在(2) 的条件下, 若点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点 B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.

① 求二次函数 y1 的解析式; ② 已知一次函数 y2 ? 2 x ? 2 ,证明:在实数范围内,对于 x 的同一个值,这两个函数所对应的函 数值 y1 ≥ y2 均成立;
2 0) ,且在实数范围内,对于 x 的 ⑶在⑵条件下,若二次函数 y3 ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (?5 , 2 同一个值,这三个函数所对应的函数值 y1 ≥ y3 ≥ y2 ,均成立,求二次函数 y3 ? ax ? bx ? c 的解

析式.

【例 3】 已知 P( ?3, m )和 Q(1, m )是抛物线 y ? 2 x ? bx ? 1 上的两点.
2

【例 4】2010,昌平,一模
2 已知抛物线 y ? ax ? 4ax ? 4a ? 2 ,其中 a 是常数.

(1)求 b 的值;
2 (2)判断关于 x 的一元二次方程 2 x ? bx ? 1 =0 是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没

(1)求抛物线的顶点坐标; 2 a? 5 ,且抛物线与 x 轴交于整数点(坐标为整数的点) (2)若 ,求此抛物线的解析式.

有,请说明理由; (3)将抛物线 y ? 2 x ? bx ? 1 的图象向上平移 k ( k 是正整数)个单位,使平移后的图象与 x
2

轴无交点,求 k 的最小值.

【例 5】2010,平谷,一模 已知:关于 x 的一元二次方程 ?

m ? 1? x2 ? ? m ? 2? x ? 1 ? 0

( m 为实数)

第二部分 发散思考 【思考 1】. 2010,北京中考
2 已知关于 x 的一元二次方程 2 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 有实数根, k 为正整数.

(1)若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求证:无论 m 取何值,抛物线 一个固定点; (3)若 m 是整数,且关于 x 的一元二次方程 ? 把抛物线

y ? ? m ? 1? x2 ? ? m ? 2? x ? 1

总过 x 轴上的

(1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y ? 2 x ? 4 x ? k ? 1 的图象向下平
2

m ? 1? x ? ? m ? 2? x ? 1 ? 0
2

有两个不相等的整数根,

移 8 个单位,求平移后的图象的解析式;

y ? ? m ? 1? x2 ? ? m ? 2? x ? 1

向右平移 3 个单位长度,求平移后的解析式.

(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其 余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线

y?

1 x ? b ?b ? k ? 2 与此图象有两个公共点时, b 的取值范围.

【思考 2】2009,东城,一模 已知:关于 x 的一元二次方程 x ? 2(2m ? 3) x ? 4m ?14m ? 8 ? 0
2 2

(1)若 m ? 0, 求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若 12<m<40 的整数,且方程有两个整数根,求 m 的值.

【思考 4】2009,顺义,一模 . 已知:关于 x 的一元二次方程 x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 2 ? 0 .
2 2

(1)求证:不论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根;

x ,x (2)若方程的两个实数根 1 2 满足
【思考 3】2009,海淀,一模 已知: 关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数 y=ax2-bx+kc (c≠0)的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1. (1)若方程①的根为正整数,求整数 k 的值;

x1 ? x2 ? 1 ?

m?2 m ? 1 ,求 m 的值.

( kc ) 2 ? b 2 ? ab akc (2)求代数式 的值;
(3)求证: 关于 x 的一元二次方程 ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.


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