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两角和与差的三角函数【要点导学】


要点导学

各个击破

利用两角和(差)公式进行化简求值
? ? ? ? 2? ? 2cos ? 1? 9 ? tan 9 -2sin 9 的值. 求?

[思维引导]先把正切化为正、余弦之比,统一函数名称,通分后再根据具体的分 子、分母情况,正用、逆用或变形用两角和差的正、余弦公式.
2? ? ? sin 9 ? ? 2cos ? 1? ? 9 ? cos 2? ? 9 -2sin 9 [解答]原式=

2cos

?
9

sin

=

2? 2? ? 2? ? sin -2sin cos 9 9 9 9 2? cos 9

2? ? 2? ? ? 2sin ? - ? ? sin 9 ? 9 9? 2? cos 9 =
2 sin

?
9

? sin 2? 9

2? 9

=

cos

2? ? ? 2? ? 2sin ? ? ? sin 9 ?3 9 ? 2? cos 9 =
2? 3 2? 1 2? 2? cos -2 ? sin ? sin 2 9 2 9 9 2? cos 9 = 3.

=

[精要点评] 灵活地使用了两角和差公式 ,可以达到化简等式的目的 ,再将数值 代入求三角函数的值.

求sin 50°(1+ 3 tan 10°)的值.
? 3sin100 1 ? ? ? 1 ? 3tan10? cos100 [解答]sin 50° =sin 50° ?

?

?

? ? ? ?

?1 ? 3 2 ? ? cos100 ? sin100 ? 0 0 2 ?2 ? 2cos 40 sin 40 cos100 cos100 =sin 50°? =
sin800 cos100 0 0 = cos10 = cos10 =1.

在非直角三角形ABC中, 若角A,B,C成等差数列,且tan Atan C=2+ 3 ,求tan A的值. [思维引导]先确定角B的大小,再由角B的正切值构造tan A与tan C的一个方程, 联立条件tan Atan C=2+ 3 ,即可求tan A的值. [解答]因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.
? 2? 又A+B+C=π ,所以B= 3 ,A+C= 3 .

所以tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C)=- 3 [1-(2+ 3 )]=3+ 3 , 又tan Atan C=2+ 3 ,所以tan A=1或tan A=2+ 3 . [精要点评]注意公式的变形使用 :tan α ±tan β =tan(α ±β )?(1? tan α tan β ).

(2014 ? 安 徽 卷 ) 设 △ ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 是 a,b,c, 且 b=3,c=1,A=2B. (1) 求a的值;

?? ? ? A? ? 4 ? 的值. (2) 求sin ?

[解答](1) 因为A=2B,
sinA 所以sinA=sin2B=2sinBcosB,则cosB= 2sinB ,

a 2 ? c 2 -b 2 sinA 由余弦定理得cosB= 2ac = 2sinB ,

a 2 ? c 2 -b 2 所以由正弦定理可得a=2b? 2ac .

因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2

3.

b 2 ? c 2 -a 2 9 ? 1-12 1 2 bc 6 (2) 由余弦定理得cosA= = =- 3 .

因为0<A<π , 所以sinA= 1-cos A =
2

1-

1 2 2 9= 3 .

?? ? ? ? 2 2 2 ?-1 ? 2 4- 2 ? A? ? ? ? 4 ? =sinAcos 4 +cosAsin 4 = 3 ? 2 + ? 3 ? ? 2 = 6 . 故sin ?

结合两角和(差)公式进行目标角与已知角之间的变换
?? ? ? 3? ? ? ? ? 12 3 ,? ? ?? ? ? ? ??- ? 4 ? 的值. 已知α ,β ∈ ? 4 ? ,sin(α +β )=- 5 ,sin ? 4 ? = 13 ,求cos ?

[思维引导] 运用和 ( 差)公式解决问题时 ,明确所求角和已知角的关系是关键 , 恰当拆分、配凑.
? 3? ? ,? ? ? [解答]因为α ,β ∈ ? 4 ? ,

? 3? ? ? ? ? , 3? ? ,2? ? ? ? ? ? ,β - 4 ∈ ? 2 4 ? , 所以α +β ∈ ? 2

? ?? 4 5 ??- ? 故cos(α +β )= 5 ,cos ? 4 ? =- 13 ,

? ? ? ?? ?? ? ?(? ? ? )- ? ? - 4 ? ? ?? ? ? 4 ? =sin ? ? ? ? =sin( α + β ) ? cos 则 sin ?
? ? ? 3 ? 5 ? 4 12 33 ??- ? ?- ? β )sin ? 4 ? =- 5 ? ? 13 ? - 5 ? 13 =- 65 .

? ?? ??- ? 4 ? -cos( α + ?

? [ 精 要 点 评 ](1) 注 意 角 α , β 的 取 值 范 围 ;(2) 注 意 cos ( α + 4 )

? ? ? ?? ?(? ? ? )- ? ? - 4 ? ? ? ? ? 的变换. =cos ?

【题组强化?重点突破】
? ? 11 4 3 1. 已知 cos(2α -β )=- 14 ,sin(α -2β )= 7 ,0<β < 4 <α < 2 ,求α +β 的值.
? 11 [解答]因为cos(2α -β )=- 14 ,且 4 <2α -β <π ,
5 3 所以sin(2α -β )= 14 .

? ? 4 3 因为sin(α -2β )= 7 ,且- 4 <α -2β < 2 ,
1 所以cos(α -2β )= 7 .

所以 cos( α + β )=cos [(2 α - β )-( α -2 β )]=cos(2 α - β )cos( α -2 β )+sin(2 α 11 1 5 3 4 3 1 β )sin(α -2β )=- 14 ? 7 + 14 ? 7 = 2 .

? ? 3? 因为 4 <α +β < 4 ,所以α +β = 3 .

1 ? 13 2. 已知cos α = 7 ,cos(α -β )= 14 ,且0<β <α < 2 ,求β 的大小.

? ? 2 [解答]由0<β <α < ,得0<α -β < 2 .

13 又cos(α -β )= 14 ,
2 所以sin(α -β )= 1-cos (? -? ) = 14 ,

3 3

所以cosβ =cos[α -(α -β )]
1 =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )= 2 ,

? 所以β = 3 .

3 4 ? 3? 3. 若cos(α +β )= 5 ,sin(α -β )= 5 ,且 2 <α +β <2π , 2 <α -β <π ,求cos 2β



值.
4 3? [解答]因为cos(α +β )= 5 ,且 2 <α +β <2π ,
3 所以sin(α +β )=- 5 .

3 4 ? 同理,由sin(α -β )= 5 ,且 2 <α -β <π ,得cos(α -β )=- 5 .

所以cos 2β =cos[(α +β )-(α -β )] =cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )
4 ?- 4 ? ?- 3 ? 3 ? ? ? ? = 5 ? ? 5 ? + ? 5 ? ? 5 =-1.

?? ? ? ?? 1 2 ?? ? ? ??- ? 4 ? 的值. 4. 已知tan(α +β )= 5 ,tan ? 4 ? = 4 ,求tan ?

? ? π ?? ?? ? ?(? ? ? )- ? ? - 4 ? ? ?? ? ? 4 ? =tan ? ? ?? [解答]tan ?

? ?? tan(? ? ? )-tan ? ? - ? ? 4? ? ?? 1 ? tan(? ? ? )tan ? ? - ? ? 4? =

2 1 5 4 2 1 3 1? ? = 5 4 = 22 .

1 1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan B= 2 ,tan C= 3 ,且c=1.

(1) 求tan(B+C)的值; (2) 求a的值.
1 1 2 [规范答题](1) 因为tan B= ,tan C= 3 ,

tanB ? tanC 又tan(B+C)= 1-tanBtanC , (3分)

1 1 ? 2 3 1 1 1- ? 所以tan(B+C)= 2 3 =1. (6分)

(2) 因为A=180°-B-C,(7分) 所以tan A=tan [180°-(B+C)]=-tan(B+C)=-1.(9分) 又0°<A<180°,所以A=135°.(10分)
1 10 因为tan C= 3 >0,且0°<C<180°,所以sin C= 10 . (12分)

c a sinC sinA 由 = ,得a= 5 . (14分)

1. cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°=
1 [答案]- 2

.

1 [解析]原式=cos 43°cos77°-sin 43°sin 77°=cos 120°=- 2 .

2. 设tanα ,tanβ 是方程x2-3x+2=0的两个根,则tan(α +β )= [答案]-3

.

3. 求值:sin40°(tan10°- 3 )= [答案]-1

.

?? 3 ? ?? 4 ? ? x- ? ?x? ? 4 ? = 5 ,sin ? 4 ? = 5 ,那么tanx= 4. (2014?苏州期末)已知sin ?

.

[答案]-7
?? 3 ? ?? 4 ? ? 7 ? 1 ? x- ? ?x? ? 4 4 ? ? ? ? 5 4 5 5 [解析]由sin = ,sin = ,得2sinx? cos = ,2cosxsin 4 =- 5 ,两式相除

得tanx=-7.

[温馨提醒] 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习 (第 47-48页).


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