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广东省佛山市高明区高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理(1)学案(无答案)新人教A版选修2_3

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1.3.1 二项式定理(1)
【学习目标】 1.能从特殊到一般理解二项式定理; 2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项,有理项); 3.能正确区分项,项的系数,项的二项式系数等概念; 【能力目标】 提高分析问题和解决问题的能力,会利用二项式定理解决与之相关的问题。 【重点难点】 1.能用计数原理证明二项式定理; 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式; 3.能解决与二项式定理有关的简单问题; 【学法指导】 要耐心和细心的理解二项式定理的内容和作用及应用范围。 【学习过程】 一.【课前预习】 阅读教材 P29-P31 1.当 n ? 2,3, 4 时,写出 (a ? b) 的展开式
n

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 (a ? b)4 ? a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4
2.二项式定理:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 ①公式 (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?
n

k n?k k ? Cn a b ?

n?1 n n ? Cn abn?1 ? Cn b

0 1 2 ② Cn , Cn , Cn ,

n 叫做二项式系数. , Cn

k n ?k k ③ Cn a b 叫 做 二 项 展 开 式 的 通 项 , 用 Tk ?1 表 示 , 它 表 示 展 开 式 的 第 k ? 1 项 是 :

1

k n ?k k Tk ?1 ? Cn a b .

3.










k k ? Cn x ?





,



a ? 1, b ? x

,,



1 2 2 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? Cn x ?

n?1 n?1 n n ? Cn x ? Cn x .

提示: ①二项展开式中的字母 a,b 不能交换位置,虽然 (a ? b)n 与 (b ? a)n 结果相同,但 (a ? b)n 与 (b ? a)n 的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的.
r ②二项式系数 Cn 与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数仅与二项式的指数及项

数有关,与二项式无关,项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.

二. 【课堂学习与研讨】 1.二项式定理内容:

(a ? b)n 的展开式是:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? k n?k k ? Cn a b ? n?1 n n ? Cn abn?1 ? Cn b

2.定理的证明:

(a ? b)n 是 n 个 (a ? b) 相乘,每个 (a ? b) 在相乘时有两种选择,选 a 或选 b 。而且每个
(a ? b) 中的 a 或 b 选定后才能得到展开式的一项。由分步计数原理可知展开式共有 2n 项
(包括同类项) , 其中每一项都是 a b
k n?k

的形式,k ? 0,1, 2,

k n?k ,n ; 对于每一项都是 a b ,

它是由 k 个 (a ? b) 选了 a , n ? k 个 (a ? b) 选了 b 得到的,它出现的次数相当于从 n 个

(a ? b) 中取了 k 个 a 的组合数,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理。
3.二项式定理说明:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? k n?k k ? Cn a b ? n?1 n n ? Cn abn?1 ? Cn b

①上式右边为二项展开式,各项次数都等于二项式的次数;②展开式的项数为 n ? 1 ;③字 母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n ;④二项式系 数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数,组合数的上标由 0 递增到 n ;
k n ?k k k ⑤展开式中的第 k ? 1 项,即 Tk ?1 ? Cn ,项的系数为二项式系数 a b ;⑥二项式系数为 Cn

2

与数字系数的积。 4.特殊情况(赋值) : 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? x ,则有:
1 2 2 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? Cn x ? k k ? Cn x ? n?1 n?1 n n ? Cn x ? Cn x

上式中,若令 x ? 1 ,则有:
0 1 2 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? k ? Cn ? n?1 n 。 ? Cn ? Cn

5.例题展示: 例.①展开 (1 ? )

1 x

4

解: (1 ? ) ? C4 ? C4 ?

1 4 1 1 0 1 1 2 3 1 4 ? C4 ? 2 ? C4 ? 3 ? C4 ? 4 x x x x x 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 x x x x

②求 (1 ? 2 x)7 展开式中的第 4 项的系数;
3 解:∵ T4 ? T3?1 ? C7 (2x)3 ? 35 ? 8x3 ? 280x3 ,∴第 4 项的系数是 280.
3 ③求 ( x ? ) 展开式中 x 的系数
9

1 x

解:∵ Tk ?1 ? C9 x
k

9?k

1 (? ) k ? C9k (?1) k x 9? 2 k ,令 9 ? 2k ? 3 ,解得 k ? 3 ,∴展开式中 x3 的 x

3 系数是 C9 (?1)3 ,即 ?84 .

④求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式中的常数项; x
k

解:∵ Tk ?1 ? C9 ( )

x 3

9? k

(

3k 9? 3k 3 k ? 0 ,解得 k ? 6 , ) ? C9k ? 32k ?9 ? x 2 ,令 9 ? 2 x

6 ∴ T6?1 ? C9 ? 33 ? 84 ? 27 ? 2268 ,展开式中的常数项是 2268.

三. 【课堂检测】 1 概念与通项的计算: ①求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中的第 3 项; x

参考答案: 240 x ;
3

②求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中的第 3 项二项式系数; x

2 参考答案: C6 ? 15 ;

③求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中的第 3 项的系数; x

参考答案: 240 ④求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中的常数项; x

参考答案: ?160 ⑤求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中 x 2 的项; x

参考答案: ?192 x2 ⑥求 (2 x ?

1 6 ) 展开式中 x 2 的系数; x

参考答案: ?192 2 求 (2a ? 3b) 的展开式的第 3 项
6

2 解: T3 ? T2?1 ? C6 (2a)6?2 (3b)2 ? 15 ? 24 ? 32 a4b2 ? 2160a4b2

3 求 (3b ? 2a) 的展开式的第 3 项
6

2 解: T3 ? T2?1 ? C6 (3b)6?2 (2a)2 ? 15 ? 34 ? 22 b4a2 ? 4860a2b4

4 用二项式定理展开: (

x 2 7 ? ) 2 x

解: (

x 2 7 ? ) 2 x
7 5 3 1

5 x2 x2 x2 x2 2 23 27 1 3 5 6 2 7 ? C ( 7 ) ? C7 (? 5 ) ? C72 ( 3 ) ? C7 (? ) ? C74 ( 1 ) ? C7 (? 3 ) ? C7 ( 5 ) ? C7 (? 7 ) 2 2 2 2 x2 x2 x2 x2 0 7 7 5 3 1

x 2 7 x 2 21x 2 35 x 2 70 168 224 128 ? 7 ? 5 ? 3 ? ? 1? 3 ? 5 ? 7 2 2 2 2 x2 x2 x2 x2

4

1 1 3 5 7 ? ? ? ? 1 7 7 5 21 3 35 x 2 ? x2 ? x2 ? x2 ? ? 70 x 2 ? 168 x 2 ? 224 x 2 ? 128 x 2 128 32 8 2

5 化简 (1 ? x )5 ? (1 ? x )5 ; 解:∵ (1 ? x ) ? C ? C x ? C x ? C x ? C x ? C x
5
0 5 2 5 3 5 3 2 4 2 5 5 5 5 2 1 1 2 5 3 2 5 2

(1 ? x ) ? C ? C x ? C x ? C x ? C x ? C x
5
0 5 2 5 3 5 4 2 5 5 5

1 1 2 5

0 2 4 2 ∴ (1 ? x )5 ? (1 ? x )5 ? 2C5 ? 2C 5 x ? 2C5 x ? 2 ? 20 x ? 10 x

2

四. 【课堂小结】 1. 二项式定理的内容; 2. 掌握二项展开式的通项是解决问题的关键所在; 3. 正确区分二项式系数和系数;

【课外作业】 1.思考判断(正确的打“√” ,错误的打“×” ) (1) (a ? b) 的展开式中共有 10 项.
10

( ×



k n ?k k (2) Cn a b 是 (a ? b) 展开式的第 k 项.
n n n

( × ) ( √ )

(3) (a ? b) 与 (a ? b) 的展开式的二项式系数相同. 解: (1)错, (a ? b) 的展开式中共有 11 项.
10

k n ?k k (2)错, Cn a b 是 (a ? b) 展开式的第 k ? 1 项.
n

k (3)对,这两个展开式的二项式系数都是 Cn .

(1)×(2)×(3)√ 2. ( x ? 2) 的展开式共有 12 项,则 n 等于(
n

) D.8
n

A.9
n

B.10

C.11

解:因为 (a ? b) 的展开式共有 n+1 项,而 ( x ? 2) 的展开式共有 12 项,所以 n ? 11 . C 3. (1 ? i) (i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为
10

.

5

6 6 解:由通项公式得 T7 ? C10 ? (?i)6 ? ?C10 ? ?210 .

?210
4.(2015 ? 广东高考)在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为
r r 解:由题可知 Tr ?1 ? C4 ( x )4?r (?1)r ? (?1)r C4 x 4? r 2

.

,令

4?r ? 1 解得 r ? 2 ,所以展开式中 2

2 x 的系数为 C4 (?1)2 ? 6 . 6

5.作业本上 P37 第 2 题。

6


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