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黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教案1


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示模夹角
教学目标: (i)知识目标: (1)掌握平面向量数量积的坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. (ii)能力目标: (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算. 教学重点: 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程: 一、知识梳理 1.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 . ②设 a ? ( x, y) ,则 | a |?

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?

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x2 ? y2 .

③平面内两点间的距离公 式 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

?

? ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 .
④向量垂直的判定 两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

?

?

?

?

? ? a ?b ? ⑤两向量夹角的余弦 cos? = ? | a |?|b|
二、典型例题

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

( 0 ? ? ? ? ).

1. 例 5 解:做图观察,发现三角形有一个内角为直角,构造向量证明向量的数量积为 0 例 6 解:直接应用公式计算,根据夹角余弦值和夹角的范围推出夹角的度数 2.平面 向量数量积的综合应用 例题 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?

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2

?? ?

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2

.

(1) 若 a ? b, 求? ; (2)求 a ? b 的最大值 . 解:(1)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 , ? tan ? ? ?1, (?

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2

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2

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4

.

2 2 (2) a ? b = (sin ? ? 1) ? (1 ? cos ? ) ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) = 3 ? 2 2 sin(? ?

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4

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2

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2

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4

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3? ? 2 , ? sin(? ? ) ? (? ,1] 4 4 2
1

?当? ?

?
4

? ? 时 , a ? b 的最大值为 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1.

例题 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,且 a, b 满足 ka ? b ? 3 a ? kb , k ? R (1)

?

?

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?

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?

求证 (a ? b) ? (a ? b) ; (2)求函数 f ( k ) 的最小值及取得最小值时向量 a 与向量 b 的夹 角? . 解:(1) ? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )

? ?

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? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? (a ? b)?(a ? b) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? 1 ? 1 ? 0 , 故 (a ? b) ? (a ? b)
(2) f (k ) ?

1 k 2 ?1 k 1 k 1 1 ? ? ? 2 ? ? ,此时当 k ? 1, f (k ) 最小值为 . 2 4k 4 4k 4 4k 2 ? ? ? ? ? a? b 1 ? cos ? ? ? ? ? ,量 a 与向量 b 的夹角 ? ? 3 a b 2

小结 1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握两个向量 数量积的五个性质及三个运算率. 2. 灵活应用公式 a ? b = | a || b |cos? , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 , | a |? 3. 平面向量数量积的综合应用 作业 习题卷

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x2 ? y2 .

2


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