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黑龙江省海林林业局第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


2015-2016 学年度高一第一学期期末考试数学试题
时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把答案按题号填在答题卡上 .) ............. 1.集合 A ? x x ? 4 ? 0 ,B= {y∣ y ? log2 ( x ? 2) ≤2},则 ( C R A ) ∩ B ? ( ) A

?

?

? x 2 ? x ? 4?

B

? x 2 ? x ? 4?

C

? x 2 ? x ? 4?

D

? x 2 ? x ? 4?

2.如图,函数 y ?

1 、 y ? x 、 y ? 1 的图象和直线 x ? 1 将平 x

面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧。 若幂函数 f ( x) 的图象经过的部分是④⑧,则 f ( x) 可能是( ) A y=x
2

B y? 1

C y ? x2

1

D y=x

-2

x

3.若角 ? 的终边过点 P(4, ?3) ,则 cos ? tan ? 的值为( ) A ?3
5

B 4
5

C ) B 2
lg(x+y)

?

4 3
lgx lgy

D ?3

4.已知 x,y 为正实数,则( lgx+lgy lgx lgy A 2 =2 +2 C 2
lg(xy)

=2 ·2
lgx

=2 ·2

lgx

lgy

D 2

lgx·lgy

=2 +2

lg y

5.函数 f ( x) ? 1 ? log 1 x 的零点位于区间( ) x 2 A ?1,1? ? ? 4 2
? ?

1 ? B ? ? ,1? ?2 ?

C ?1, 2 ? , ), =( C 60°
0.3

D

? 2, 4 ?

6.设 a =(1,2sin ? ), b =( A 30° 6.a=log 2 A a<b<c B 45° , b=log

1 , 2

)且 a - ∥ b ,则锐角 ? 为( ) D 75°

, c=( ) ( ) C b<a<c D b<c<a

B a<c<b

2 2 7.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? ( )

A ?

4 3

B

5 4

C ?

3 4

D

4 5

8.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( ) 3 A 向左平移 C 向右平移

?

?
6

个单位

B 向左平移 D 向右平移

?
3

个单位

? 个单位 6

?
3

个单位

1

9.将函数 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ( x ?
2

? ) 的图象右移 ? 个单位后,所得函数的下列结论中 6 6
B 是最小正周期为 2 ? 的奇函数 D 是最小正周期为 ? 的奇函数

正确的是( ) A 是最小正周期为 2 ? 的偶函数 C 是最小正周期为 ? 的偶函数

10.设 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 ?0, ??? 上递增,若 f ( ) ? 0 , f (log 1 x) ? 0 ,那么 x
4

1 2

的取值范围是( ) A

1 ?x?2 2
|lnx|

B x?2

C

1 ? x ?1 2

Dx ? 2或

1 ? x ?1 2

11.函数 y=e

-|x-1|的图象大致是( )

3 f ( ? x) ? f ( x) 2 12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 , f ( ?2) ? ?3 则
f (2010) ? f (2012) ? (
A ?3 ) C 3 D 2

B ?2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题卡上 .) .......... 13.已知扇形的圆心角为 2 弧度,面积为 4,则该扇形的弧长为__________. 14. 若函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x ) 的定义域为 M . 当 x ? M 时, f ( x) ? 2
2 x?2

? 3? 4x 的最大值为

__________. 15. 已知 cos(x﹣ )= ,x∈( , ).则 sin(2x )=___________.

1 ? 16. 对函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 ( x ? R) ,有下列说法: 2 6
① f ( x) 的周期为 4? ,值域为 [ ?3,1] ;② f ( x) 的图象关于直线 x ?
2? 对称; 3

2? ? ③ f ( x) 的图象关于点 (? , 0) 对称;④ f ( x) 在 (?? , ) 上单调递增; 3 3
⑤将 f ( x) 的图象 向左平移

? 1 个单位,即得到函数 y ? 2cos x ? 1 的图象. 2 3

其中正确的是_________.(填上所有正确说法的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 .) .................步骤 ..
2

17.(10 分)已知集合 A ? {x |1 ? x ? 7}, B ? {x | ?2m ? 1 ? x ? m} ,全集为 R. (1)若 m ? 5 ,求 A∪B , ( C R A ) ∩B; (2)若 A∩B=A,求 m 的取值范围.

18.(12 分)设 =﹣3 +2



是两个单位向量,其夹角为 60°,且 =2

+

,

.(1)求 ? ;(2)求| |和| |;(3)求 与 的夹角.

18.(12 分) (1)化简:(﹣2x
x

y

)(3x

y

)(﹣4x

y

).

(2)已知函数 f(3 ﹣2)=x﹣1(x∈[0,2]),函数 g(x)=f(x﹣2)+3. 求函数 y=f(x)与 y=g(x)的解析式及定义域;

19. (12 分) 已知函数 f ( x) =

sin(ω x+φ )﹣c os(ω x+φ )(0<φ <π , ω >0) 为偶函数, .

且函数 y= f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f( )的值;

(2)将函数 f ( x) 的图 象向右平移 减区间.

个单位后,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)的单调递

20.(12 分)某厂每月生产一种投影仪的固定成本为 0.5 万元,但每生产 100 台,需要加可 变成本(即另增加投入) 0.25 万元,市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数

3

为 R( x) ? 5 x ?

x2 (万元) (0 ? x ? 5) ,其中 x 是产品售出的数量(单位:百台) 。 2

(1)求月销售利润 y (万元)关于月 产量 x (百台)的函数解析式; (2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 21.(12 分)已知 ? 为锐角, f ?? ? ? =? 3 , tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) 2 g(x)=sinx+cos(x- ? ) ( 1 )求 g(x)的最小正周期、对称中心.
( 2)求函数在区间 [0,

?
2

] 上的最大值、最小值及相应的 x 的值。

22.(12 分)已知函数 f ( x) 满足:对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)·f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2 成立,且 x>0 时, f ( x) >2, (1)求 f(0)的 值,并证 明:当 x<0 时,1<f(x)<2. (2)判断 f ( x) 的单调性并加以证明. (3)若函数 g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递 减,求实数 k 的取值范围.

4

2015-2016 学年度高一第一学期期末考试数学试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把答案按题号填在答题卡上 .) ............. 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 D 9 D 10 A 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题卡上 .) .......... 13. ____4_____ 15. __﹣ ___ 14.____4/3_____ 16.___①②④___

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .) ................... 17.解: (1)∵m=5 ∴A={x∣1≤x≤7},B={x∣-9<x<5}
( C R A ) ={x∣x<1 或 x>7}---------------2 分

∴A∪B={x∣-9<x≤7}-----------------------------------3 分 ∴ ( C R A ) ∩B={x∣-9<x<1}------------------5 分 (2) ∵A∩B=A ∴A 包含于 B--------------------6 分 ∴-2m+1<1,m>7--------------8 分 ∴m>7-----------------------10 分 18.解:(1)由 则 =(2 =1× + 与 是两个单位向量,其夹角为 60°,

= ,------------2 分 )?(﹣3 +2 )=﹣6 +2 + ?

=﹣6+2+ =﹣ ;--------------------4 分 (2)| |= 分 | |= = = = ----8 分 = = = , -----------6

(3)cos< , >=

=

=﹣ ,------10 分 .---------------12 分
0 1

由于 0≤< , >≤π ,则有 与 的夹角 18. (1)原式=24
x

=24x y =24y.
x

(2)设 t=3 ﹣2,∵0≤x≤2,∴﹣1≤3 ﹣2≤7,∴t∈[﹣1,7],则 x=log3(t+2), 于是有 f(t)=log3(t+2)﹣1,t∈[﹣1,7] ∴f(x)=log3(x+2)﹣1(x∈[﹣1,7]), 根据题意得 g(x)=f(x﹣2)+3=log3x+2 又由﹣1≤x﹣2≤7 得 1≤x≤9
5

∴g(x)=log3x+2(x∈[1,9]) 19.解:(1) f ( x) = sin (ω x+ φ )﹣cos(ω x+φ )=2sin(ω x+φ ﹣ . )--1 分

∵函数 y= f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 ∴

,即函数的周期是 T,则 ω =2,----------------------3 分 =kπ + ,即 φ =kπ + ,

若 f ( x) 为偶函数,则 φ ﹣ ∵0<φ <π ,∴φ = 即 f ( x) =2cos2x,

-----------------------------5 分 ∴f( )=2cos =2× -----------------7 分 )]=2cos(2x﹣ )----9 分

(2)将 f ( x) 图象向右平移 由 2kπ ≤2x﹣

,得 g(x)=2cos[2(x﹣

≤2kπ +π ,k∈Z,得 kπ ,kπ +

≤x≤kπ +

,k∈Z-----11 分

则 g(x)的单调递减区间为[kπ

].---------------12 分

20.解: (1)当 0 ? x ? 5 时,投影仪能售出 x 百台; 当 x ? 5 时,只能售出 5 百台,这时成本为 (0.5 ? 0.25x) 万元。………………2 分 依题意可得利润函数为

y ? R( x) ? (0.5 ? 0.25x)

? x2 (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25 x), (0 ? x ? 5) ? ? …………5 分 2 ?? 2 5 ? (5 ? 5 ? ) ? (0.5 ? 0.25 x), ( x ? 5) ? ? 2



? x2 ?4.75 x ? ? 0.5, (0 ? x ? 5) 。………… …………………7 分 y?? 2 ? 12 ? 0.25 x, ( x ? 5) ?

(2)显然, y |x?5 ? y |x?5 ;……………………………………8 分

1 1 ( x ? 4.75) 2 ? ? 4.752 ? 0.5 …………………… …10 分 2 2 1 2 ∴当 x ? 4.75 (百台)时有 ymax ? ? 4.75 ? 0.5 ? 10.78125 (万元) 2
又当 0 ? x ? 5 时, y ? ? 即当月产量为 475 台时可获得最大利润 10.78125 万元。……………………12 分 21.解(1) f (? ) ?

? ? cos ? sin ? (? tan ? ) ? ? cos ? = ? 3 , 又 ? 是锐角,∴ ? = ---3 分 6 ? tan ? sin ? 2 ? )= 6
3 sin(x+

∴ g(x)=sinx+cos(x-

? )…………………………5 分 6

6

∴T= 2? …………………6 分 由x?

?
6

? k? , k ? z 得对称中心为 ( k? ?

?
6

, 0), ( k ? Z ) ,………7 分

(2)∵x∈ [0, ∴当 x+

?
2

] ,∴x+

? = 6

即 x=

? 时,g(x)的最大值为 3 …………………10 分 3

? ? ∈[ , 6 6

]…………………8 分

当 x+

? ? 3 = 即 x=0 时,g(x)的最小值为 …………………12 分 6 6 2

22.解:(1)∵f(x+y)=f(x)?f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2 令 x=y=0, F(0)=f(0)?f(0)﹣f(0)﹣f(0)+2 2 ∴f (0)﹣3f(0)+2=0, f(0)=2 或 f(0 )=1--------1 分 若 f(0)=1, 则 f(1)=f(1+0)=f(1)?f(0)﹣f(1)﹣f(0)+2=1, 与已知条件 x>0 时,f(x)>2 相矛盾,∴f(0)=2 -------------2 分 设 x<0,则﹣x>0,那么 f(﹣x)>2 又 2=f(0)=f(x-x)=f(x)?f(-x)-f(x)-f(-x)+2∴ ∵f(-x)>2,∴ ,从而 1<f(x)<2--------------4 分

(2)函数 f(x)在 R 上是增函数 设 x1<x2 则 x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>2 f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2 =f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2-------------------------6 分 ∵由(1)可知对 x∈R,f(x)>1 ,∴f(x1)﹣1>0,又 f(x2﹣x1)>2 ∴f(x2﹣x1)?[f(x1)﹣1]>2f(x1)﹣2 f(x2﹣x1)[f(x1)﹣1]﹣f(x1)+2>f(x1) 即 f(x2)>f(x1) ∴函数 f(x)在 R 上是增函数 ---------------------------8 分 (3)∵由(2)函数 f(x)在 R 上是增函数 ∴函数 y=f(x)﹣k 在 R 上也是增函数 若函数 g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减 则 x∈(﹣∞,0)时,g(x)=|f(x)﹣k|=k﹣f(x) ---------------10 分 即 x∈(﹣∞,0)时,f(x)﹣k<0, ∵x∈(﹣∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2------------------12 分

7


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