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八年级数学下学期期中试卷(含解析) 新人教版2


2015-2016 学年山东省青岛市胶州市八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 3 分) 1.若 a>b,则下列各式变形正确的是( ) 2 2 A.a﹣2<b﹣2 B.﹣2a<﹣2b C.|a|>|b| D.a >b 2.下面是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的有(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.如图,将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB=50°,∠ABC=100°, 则∠CBE 的度数为( )

A.50° B.100° C.45° D.30° 4.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示,则这个不等式可能是(



A.x>﹣1 B.x≥﹣1 C.x<﹣1 D.x≤﹣1 5.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是(



A.∠B=∠D=90° B.∠BCA=∠DCA C.∠BAC=∠DAC D.CB=CD 6.如图所示,直线 l1,l2,l3 表示三条相交的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三 条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )

A.1 处 B.2 处 C.3 处 D.4 处 7.如图,不等式组 的解集在数轴上表示为( )

1

A. C. D.

B.

8.如图,AB∥CD,AC 的垂直平分线分别交 AC,BD 于 E,F,若∠C=56°,则∠BAF 的度数 是( )

A.28° B.34° C.56° D.68° 9.如图,在△ABC 中,AB=AC=6cm,∠A=120°,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于 D,E, 则 EC 的长为( )

A.4cm B.2

cm

C.5cm D.

cm

10.某商店为了促销一种定价为 3 元的商品,采取下列方式优惠销售:若一次性购买不超过 5 件,按原价付款;若一次性购买 5 件以上,超过部分按原价八折付款.如果小明有 30 元 钱,那么他最多可以购买该商品( ) A.9 件 B.10 件 C.11 件 D.12 件 二、填空题(本题满分 24 分,共 8 道题,每小题 3 分) 11.不等式 x﹣1<2x+1 的解集是 . 12.如图,将△ABC 沿 BC 方向向右平移 1cm 得到△DEF,连接 AD,若△ABC 的周长为 6cm, 则四边形 ABFD 的周长为 cm.

13.已知一次函数 y=ax+b(a,b 是常数,且 a≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示, 那么不等式 ax+b>2 的解集为 .

2

14.如果|x+1|=x+1,|3x﹣2|=2﹣3x,那么 x 的取值范围是 . 15.如图,一条公路的两边 AB∥CD,在 AB 上有两棵树 M,N,在另一边 CD 上有一棵树 P, 测得 M,N 相距 50m,∠MPC=30°,∠NPD=75°,则公路的宽度为 m.

16.如图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 40°得到△DBE,若此时点 A 的对应点 D 恰好落在边 AC 上,且∠ABE=90°,则∠C 的度数为 °.

17.如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,点 D 是 BC 边上一点,连接 AD,过点 D 分别作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.若 AD=10,且 DE=DF,则 DE 的长为 .

18.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得 到△EDC,此时点 B 的对应点 D 恰好落在边 AB 上,斜边 DE 交 AC 边于点 F,则图中阴影部分 的面积为 cm2.

三、解答题(本题满分 66 分,共有 8 道小题) 19.尺规作图:用直尺和圆规作图,不写作法,保留痕迹.

3

已知:如图,线段 a,h. 求作:△ABC,使 AB=AC,且 BC=a,高 AD=h.

20.用不等式或不等式组的知识解答下列各题: ①解不等式 +1>x﹣3,并把它的解集表示在数轴上.

②解不等式组 ③光华中学计划用 2500 元购买一批名著和辞典作为奖品,其中名著每套 60 元,辞典每本 40 元,现已购买名著 24 套,学校最多还能买多少本辞典? 21.如图,把一块等腰直角三角形零件(△ABC,其中∠ACB=90°) ,放置在一凹槽内,三个 顶点 A,B,C 分别落在凹槽内壁上,已知∠ADE=∠BED=90°,测得 AD=5cm,BE=7cm,求该 三角形零件的面积.

22.如图,△ABC 各顶点的坐标分别为 A(﹣2,6) ,B(﹣3,2) ,C(0,3) ,将△ABC 先向 右平移 4 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,得到△DEF. (1)分别写出△DEF 各顶点的坐标; (2) 如果将△DEF 看成是由△ABC 经过一次平移得到的, 请指出这一平移的平移方向和平移 距离.

23.如图,将 Rt△ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转 90°得到△ADE,BC 的延长线交 DE 于 F, 连接 BD,若 BC=2EF,试证明△BED 是等腰三角形.

4

24.已知:如图,O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=105°,将△BOC 绕点 C 顺时针旋转使 CB 与 CA 重合,得到△ADC,连接 OD. (1)求证:△DOC 是等边三角形; (2)若∠BOC=150°,试判断△AOD 是什么特殊三角形?并说明理由.

25.某单位计划组织 360 名员工到某地旅游,某旅游公司有两种大客车可共选择:A 型客车 每辆有 40 个座,租金 400 元;B 型客车毎辆有 50 个座,租金 480 元.若该单位只想租用 8 辆车,试确定该单位这次旅游租用客车的费用最少为多少元? 26.如图,已知 AD∥BC,P 为 CD 上一点,且 AP,BP 分别平分∠BAD 和∠ABC. (1)判断△APB 是什么三角形,证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小,并说明理由.

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2015-2016 学年山东省青岛市胶州市八年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 3 分) 1.若 a>b,则下列各式变形正确的是( ) A.a﹣2<b﹣2 B.﹣2a<﹣2b C.|a|>|b| D.a2>b2 【考点】不等式的性质. 【分析】依据不等式的基本性质解答即可. 【解答】解:A、依据不等式的性质 1 可知 A 错误; B、由不等式的性质 3 可知 B 正确; C、如 a﹣3,b=﹣4 时,不等式不成立,故 C 错误; D、不符合不等式的基本性质,故 D 错误. 故选:B. 2.下面是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形; B、不是轴对称图形,不是中心对称图形; C、是轴对称图形,也是中心对称图形; D、是轴对称图形,不是中心对称图形. 故选:B. 3.如图,将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB=50°,∠ABC=100°, 则∠CBE 的度数为( )

A.50° B.100° C.45° D.30° 【考点】平移的性质. 【分析】根据平移的性质得出 AC∥BE,以及∠CAB=∠EBD=50°,进而求出∠CBE 的度数. 【解答】解:∵将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置, ∴AC∥BE, ∴∠CAB=∠EBD=50°, ∵∠ABC=100°, ∴∠CBE 的度数为:180°﹣50°﹣100°=30°.

6

故选:D. 4.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示,则这个不等式可能是( )

A.x>﹣1 B.x≥﹣1 C.x<﹣1 D.x≤﹣1 【考点】在数轴上表示不等式的解集. 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可. 【解答】解:∵﹣1 处是空心圆点,且折线向右, ∴这个不等式可能是 x>﹣1. 故选 A. 5.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是( )

A.∠B=∠D=90° B.∠BCA=∠DCA C.∠BAC=∠DAC D.CB=CD 【考点】全等三角形的判定. 【分析】根据图形得出 AC=AC,根据全等三角形的判定定理逐个推出即可. 【解答】解:A、∵∠B=∠D=90°, ∴在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中

∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) ,故本选项错误; B、根据 AB=AD,AC=AC,∠BCA=∠DCA 不能推出△ABC≌△ADC,故本选项正确; C、∵在△ABC 和△ADC 中

∴△ABC≌△ADC(SAS) ,故本选项错误; D、∵在△ABC 和△ADC 中

∴△ABC≌△ADC(SSS) ,故本选项错误; 故选 B. 6.如图所示,直线 l1,l2,l3 表示三条相交的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三 条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )

7

A.1 处 B.2 处 C.3 处 D.4 处 【考点】角平分线的性质. 【分析】 根据到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点. 把三条公路 的中心部位看作三角形, 那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的 交点都满足要求. 【解答】解:满足条件的有: (1)三角形两个内角平分线的交点,共一处; (2)三个外角平分线两两相交的交点,共三处. 故选:D.

7.如图,不等式组

的解集在数轴上表示为(



A. C. D.

B.

【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组. 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集, 找出解集的公共部分确定出不等式组的解集, 表示在数轴上即可. 【解答】解:不等式组 由①得:x≤2, 由②得:x>﹣1, 不等式组的解集为﹣1<x≤2, 如图所示: , 故选 C 8.如图,AB∥CD,AC 的垂直平分线分别交 AC,BD 于 E,F,若∠C=56°,则∠BAF 的度数 是( ) ,

8

A.28° B.34° C.56° D.68° 【考点】线段垂直平分线的性质;平行线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 FA=FC,求出∠FAC 的度数,根据三角形内角和定 理求出∠AFC,根据平行线的性质解答即可. 【解答】解:∵EF 是 AC 的垂直平分线, ∴FA=FC, ∴∠FAC=∠C=56°, ∴∠AFC=180°﹣56°﹣56°=68°, ∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠AFC=68°, 故选:D. 9.如图,在△ABC 中,AB=AC=6cm,∠A=120°,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于 D,E, 则 EC 的长为( )

A.4cm B.2

cm

C.5cm D.

cm

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠C=30°,连接 AE,根据线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE,再利用等边对等角求出∠BAE=∠B=30°,然后求 出∠CAE=90°,解直角三角形即可得到结论. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=120°, ∴∠B=∠C= =30°, 连接 AE, ∵AB 的垂直平分线交 BC 于 E, ∴AE=BE, ∴∠EAB=∠B=30°, ∵∠A=120°, ∴∠EAD=90°, ∴CE= =2 .

9

10.某商店为了促销一种定价为 3 元的商品,采取下列方式优惠销售:若一次性购买不超过 5 件,按原价付款;若一次性购买 5 件以上,超过部分按原价八折付款.如果小明有 30 元 钱,那么他最多可以购买该商品( ) A.9 件 B.10 件 C.11 件 D.12 件 【考点】一元一次不等式的应用. 【分析】购买 5 件需要 15 元,27 元超过 15 元,则购买件数超过 5 件,设可以购买 x 件这 样的商品,根据:5 件按原价付款数+超过 5 件的总钱数≤30,列出不等式求解即可得. 【解答】解:设可以购买 x(x 为整数)件这样的商品. 3×5+(x﹣5)×3×0.8≤30, 解得 x≤11 , 则最多可以购买该商品的件数是 11, 故选:C. 二、填空题(本题满分 24 分,共 8 道题,每小题 3 分) 11.不等式 x﹣1<2x+1 的解集是 x>﹣2 . 【考点】解一元一次不等式. 【分析】先移项、合并得到﹣x<2,然后把 x 的系数化为 1 即可. 【解答】解:移项得 x﹣2x<1+1, 合并得﹣x<2, 系数化为 1 得 x>﹣2. 故答案为 x>﹣2. 12.如图,将△ABC 沿 BC 方向向右平移 1cm 得到△DEF,连接 AD,若△ABC 的周长为 6cm, 则四边形 ABFD 的周长为 8 cm.

【考点】平移的性质. 【分析】先根据平移的性质得出 AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC,再根据四边形 ABFD 的周长 =AD+AB+BF+DF 即可得出结论. 【解答】解:∵将周长为 6 的△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF, ∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC, 又∵AB+BC+AC=6, ∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8. 故答案为 8.

10

13.已知一次函数 y=ax+b(a,b 是常数,且 a≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示, 那么不等式 ax+b>2 的解集为 x>﹣1 .

【考点】一次函数与一元一次不等式. 【分析】观察函数图象,写出函数值大于 2 所对应的自变量的范围即可. 【解答】解:因为 x=﹣1 时,y=2, 所以当 x>﹣1 时,y>2,即 kx+b>2, 所以不等式 ax+b>2 的解集为 x>﹣1. 故答案为 x>﹣1.

14.如果|x+1|=x+1,|3x﹣2|=2﹣3x,那么 x 的取值范围是 ﹣1≤x≤ 【考点】绝对值. 【分析】首先根据绝对值的性质可得 再根据大小小大中间找确定不等式组的解集. 【解答】解:∵|x+1|=x+1,|3x﹣2|=﹣3x﹣2, ∴ ,



,然后分别计算出两个不等式的解集,

由①得:x≥﹣1, 由②得:x≤ , 故不等式组的解集为:﹣1≤x≤ . 故答案为:﹣1≤x≤ .

15.如图,一条公路的两边 AB∥CD,在 AB 上有两棵树 M,N,在另一边 CD 上有一棵树 P, 测得 M,N 相距 50m,∠MPC=30°,∠NPD=75°,则公路的宽度为 25 m.

【考点】勾股定理的应用. 【分析】根据题意过点 N 作 NE⊥CD 于点 E,NF⊥MP 于点 F,进而利用角平分线的性质结合 直角三角形的性质得出答案. 【解答】解:如图所示:过点 N 作 NE⊥CD 于点 E,NF⊥MP 于点 F,

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∵∠MPC=30°,∠NPD=75°, ∴∠MPN=75°, ∴FN=EN, ∵AB∥CD,∠MPC=30°, ∴∠PMN=30°, ∴FN=EN= MN=25(m) . 故答案为:25.

16.如图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 40°得到△DBE,若此时点 A 的对应点 D 恰好落在边 AC 上,且∠ABE=90°,则∠C 的度数为 60 °.

【考点】旋转的性质. 【分析】先根据旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=40°,BA=BD,再利用等腰三角形的性质和三 角形内角和可计算出∠A=70°, 接着利用∠ABE=90°得到∠ABC=90°﹣∠CBE=50°, 然后根 据三角形内角和定理计算∠C 的度数. 【解答】解:∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 40°得到△DBE, ∴∠ABD=∠CBE=40°,BA=BD, ∴∠A=∠ADC= =70°, ∵∠ABE=90°, ∴∠ABC=90°﹣∠CBE=50°, 在△ABC 中,∠C=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣50°﹣70°=60°. 故答案为 60. 17.如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,点 D 是 BC 边上一点,连接 AD,过点 D 分别作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.若 AD=10,且 DE=DF,则 DE 的长为 5 .

【考点】角平分线的性质.

12

【分析】利用角平分线的性质和含 30 度角的直角三角形的知识解题即可. 【解答】解:∵DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,DE=DF, ∴AD 平分∠BAC. ∵在△ABC 中,∠BAC=60°, ∴∠DAE=30°, ∴DE= AD=5. 故答案是:5.

18.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得 到△EDC,此时点 B 的对应点 D 恰好落在边 AB 上,斜边 DE 交 AC 边于点 F,则图中阴影部分 的面积为 cm2.

【考点】旋转的性质. 【分析】先根据已知条件求出 AC 的长及∠B 的度数,再根据图形旋转的性质及等边三角形 的判定定理判断出△BCD 的形状,进而得出∠DCF 的度数,由直角三角形的性质可判断出 DF 是△ABC 的中位线,由三角形的面积公式即可得出结论. 【解答】解:∵△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2, ∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2× =2 ,AB=2BC=4, ∵△EDC 是△ABC 旋转而成, ∴BC=CD=BD= AB=2, ∵∠B=60°, ∴△BCD 是等边三角形, ∴∠BCD=60°, ∴∠DCF=∠BCA﹣∠BCD=30°, ∵∠EDC=∠B=60°, ∴∠DFC=90°, 即 DE⊥AC, ∴DE∥BC,

13

∵BD= AB=2, ∴DF 是△ABC 的中位线, ∴DF= BC= ×2=1,CF= AC= ×2 ∴S△CDF= DF×CF= × 故答案为: . = cm2. = ,

三、解答题(本题满分 66 分,共有 8 道小题) 19.尺规作图:用直尺和圆规作图,不写作法,保留痕迹. 已知:如图,线段 a,h. 求作:△ABC,使 AB=AC,且 BC=a,高 AD=h.

【考点】作图—复杂作图. 【分析】首先作出高 AD=h,再利用等腰三角形的三线合一的性质画出 BC=a,进而连接 AB、 AC 得出△ABC,即可. 【解答】解:如图所示:△ABC 即为所求.

20.用不等式或不等式组的知识解答下列各题: ①解不等式 +1>x﹣3,并把它的解集表示在数轴上.

14

②解不等式组 ③光华中学计划用 2500 元购买一批名著和辞典作为奖品,其中名著每套 60 元,辞典每本 40 元,现已购买名著 24 套,学校最多还能买多少本辞典? 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】①先去分母,再去括号,移项,合并同类项,把 x 的系数化为 1,并在数轴上表示 出来即可; ②分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可; ③设学校能买 x 本辞典,根据题意列出关于 x 的不等式,求出 x 的取值范围即可. 【解答】解:①去分母得,x﹣5+2>2(x﹣3) , 去括号得,x﹣5+2>2x﹣6, 移项得,x﹣2x>﹣6+5﹣2, 合并同类项得,﹣x>﹣3, x 的系数化为 1 得,x<3. 在数轴上表示为: ;



,由①得,x> ,由②得,x≥2,

故不等式组的解集为:x> ;

③设学校能买 x 本辞典,由题意得,40x+24×60≤2500, 解得 x≤26 ,最大整数为 26, 故学校最多能买 26 本辞典. 21.如图,把一块等腰直角三角形零件(△ABC,其中∠ACB=90°) ,放置在一凹槽内,三个 顶点 A,B,C 分别落在凹槽内壁上,已知∠ADE=∠BED=90°,测得 AD=5cm,BE=7cm,求该 三角形零件的面积.

【考点】勾股定理的应用;等腰直角三角形. 【分析】首先证明△ADC≌△CEB,根据全等三角形的性质可得 DC=BE=7cm,再利用勾股定理 计算出 AC 长,然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可. 【解答】解:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°,

15

∵∠ADC=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∴∠DAC=∠BCE, 在△ADC 和△CEB 中, ∴△ADC≌△CEB(AAS) , ∴DC=BE=7cm, ∴AC= ∴BC=2 , ×2 =42(cm2) . = =2 (cm) , ,

∴该零件的面积为: ×2

22.如图,△ABC 各顶点的坐标分别为 A(﹣2,6) ,B(﹣3,2) ,C(0,3) ,将△ABC 先向 右平移 4 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,得到△DEF. (1)分别写出△DEF 各顶点的坐标; (2) 如果将△DEF 看成是由△ABC 经过一次平移得到的, 请指出这一平移的平移方向和平移 距离.

【考点】坐标与图形变化-平移. 【分析】 (1)根据横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减即可写出各点的坐标; (2)连接 AD,根据勾股定理求出 AD 的长,进而可得出结论. 【解答】解: (1)∵A(﹣2,6) ,B(﹣3,2) ,C(0,3) ,将△ABC 先向右平移 4 个单位长 度,再向上平移 3 个单位长度,得到△DEF. ∴D(2,9) ,E(1,5) ,F(4,6) ; (2)连接 AD,∵由图可知,AD= =5,

∴如果将△DEF 看成是由△ABC 经过一次平移得到的,那么这一平移的平移方向是由 A 到 D 的方向,平移的距离是 5 个单位长度. 23.如图,将 Rt△ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转 90°得到△ADE,BC 的延长线交 DE 于 F, 连接 BD,若 BC=2EF,试证明△BED 是等腰三角形.

16

【考点】旋转的性质. 【分析】根据直角三角形的两锐角互余,以及对顶角相等,旋转的性质,即可证得 BF 是 DE 的垂直平分线,据此即可证得. 【解答】证明:∵将 Rt△ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转 90°得到△ADE, ∴DF=BC,∠ADF=∠ABC, ∵BC=2EF, ∴DF=2EF, ∴DE=EF, ∵在直角△ABC 中,∠ABC+∠ACB=90°, 又∵∠ABC=∠ADE, ∴∠ACB+∠ADE=90°. ∵∠FCD=∠ACB, ∴∠FCD+∠ADE=90°, ∴∠CFD=90°, ∴BF⊥DE, ∵EF=FD, ∴BF 垂直平分 DE, ∴BD=BE, ∴△BDE 是等腰三角形. 24.已知:如图,O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=105°,将△BOC 绕点 C 顺时针旋转使 CB 与 CA 重合,得到△ADC,连接 OD. (1)求证:△DOC 是等边三角形; (2)若∠BOC=150°,试判断△AOD 是什么特殊三角形?并说明理由.

【考点】旋转的性质;等边三角形的判定与性质. 【分析】 (1)与等边三角形的性质得出∠ACB=60°,由旋转的性质得出 CO=CD,∠OCD=60°, 即可得出结论; (2)由等边三角形的性质得出∠COD=∠CDO=60°,由旋转的性质得出∠ADC=∠BOC=150°, 证出∠ADO=90°,再证出∠AOD=∠OAD,得出 AD=OD,即可得出△AOD 是等腰直角三角形. 【解答】 (1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵△ADC 是由△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转得到,

17

∴CO=CD,∠OCD=60°, ∴△DOC 是等边三角形; (2)△AOD 是等腰直角三角形;理由如下: ∵△DOC 是等边三角形, ∴∠COD=∠CDO=60°, 由旋转的性质得:∠ADC=∠BOC=150°, ∴∠ADO=150°﹣60°=90°,∠AOD=360°﹣150°﹣105°﹣60°=45°,∠OAD=90°﹣ 45°=45°, ∴∠AOD=∠OAD, ∴AD=OD, ∴△AOD 是等腰直角三角形. 25.某单位计划组织 360 名员工到某地旅游,某旅游公司有两种大客车可共选择:A 型客车 每辆有 40 个座,租金 400 元;B 型客车毎辆有 50 个座,租金 480 元.若该单位只想租用 8 辆车,试确定该单位这次旅游租用客车的费用最少为多少元? 【考点】一次函数的应用. 【分析】设该单位租用 x 辆 A 型客车,租用(8﹣x)辆 B 型客车,列出不等式求出 x 是取值 范围,再构建一次函数,利用一次函数的性质解决最值问题. 【解答】解:设该单位租用 x 辆 A 型客车,租用(8﹣x)辆 B 型客车, 由题意 40x+50(8﹣x)≥360, 解得 x≤4, ∵x 是非负整数, ∴x 为 0,1,2,3,4. . 该单位这次旅游租用客车的费用 该单位这次旅游租用客车的费用为 w 元, 由题意 w=400x+480(8﹣x)=﹣80x+3840, ∵k=﹣80<0, ∴w 随 x 增加而减小, ∴x=4 时,w 费用最小=3520, ∴该单位这次旅游租用客车的费用为 3520 元. 26.如图,已知 AD∥BC,P 为 CD 上一点,且 AP,BP 分别平分∠BAD 和∠ABC. (1)判断△APB 是什么三角形,证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质. 【分析】 (1)通过平行线性质及角平分线性质,可以得到∠APB=90°;

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(2)利用中点延长 AP 与 BC 交于点 E,构造出一对全等三角形△ADP 与△ECP,即可以证出 DP=PC. 【解答】解: (1)△APB 是直角三角形 ∵AP,BP 分别平分∠BAD 和∠ABC, ∴∠DAP=∠BAP= ∠BAD,∠ABP=∠CBP= ∠ABC, ∵AD∥BC, ∴∠BAD+∠ABC=180°, ∴∠BAP+∠ABP= (∠BAD+∠ABC)=90°, ∴∠ABP=90°, ∴△APB 是直角三角形; (2)DP=PC 延长 AP 交 BC 的延长线于点 E,如图:



∵AD∥BC, ∴∠DAP=∠E, ∵∠DAP=∠BAP, ∴∠BAP=∠E, ∴AB=EB, ∵∠ABP=90°, ∴AP=PE, 在△ADP 与△ECP 中, , ∴△ADP≌△ECP, ∴DP=CP.

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