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湖南师大附中2013届高三月考试卷(一)——数学理


湖南师大附中 2013 届高三月考试卷(一)

数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.在空间,异面直线 a,b 所成的角为α ,且 sin ? ?
3 2 3 2
1 2 , 则 cos ? =

A.

B. ?

C.

3 2

或?

3 2

D. ?

1 2

2.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 6”的概率是 A.
1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

3.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯 视图的是

A. , (1)(3) (4)

B. , , (1)(3)(4)

C. , , (1)(2)(3)

D. , (1) (2) (3) , ,

4.设集合 A ? (??, a ], B ? (b, ??), a ? N , b ? R, 且A ? B ? N ? {2}, 则a ? b 的取值范围是 A. (3,4)
x

B.[3,4]

C. [3, 4)

D. (3, 4]

5.已知点 (a, b) 在 y ? 10 图象上,则下列点中不可能在此图象上的是 A. (? a, )
b 1

B. (a ? 1,10b)

C. (a ? 1,10b)

D. (2a, b )
2

? x 3 ? 8( x ? 0) ? x 6.函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? 3 ? 1, 则不等式f [ g ( x)] ? 0 的解集为 x ?e ? 9( x ? 0) ?

A. [1, ??)

B. [ln 3, ??)

C. [1, ln 3]

D. [log 3 2, ??)

7.关于 x 的二次方程 x 2 ? ( 2a ? b ) x ? 1 ? 0有实根, 且a ? 0, b ? 0, 则a 2 ? b 2 的取值范围是
4 5 5
16 5

A. [4, ??)

B. [16, ??)

C. [

, ??)

D. [

, ??)

8.已知函数 f M ( x) 的定义域为实数集 R,满足 f M ( x) ? ?

?1, x ? M ?0, x ? M

, ( M 是 R 的非空真子集)

在 R 上有两个非空真子集 A,B,且 A ? B ? ?, 则F ( x) ?
2 3 1 2 2 3

f A? B ( x ) ? 1 f A ( x) ? f B ( x) ? 1
1

的值域为

A. (0, ]

B.{1}

C. { , ,1}

D.[ ,1 ]
3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分。 9.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是
2 2



10.在△ABC 中,若 A ? B, 则 sin A, sin B 的大小关系为



11.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对 x ? R都有f ( x ) ? ? f ( x ? 2), 当x ? (?2, 0)时,
f ( x ) ? 2 , 则f (2012) ? f (2011) 的值为
x



12.一物体沿直线以 v(t ) ? 2t ? 3(t 的单位:秒,v 的单位:米/秒)的速度做变速直线运动, 则该物体从时刻 t=0 到 5 秒运动的路程 s 为 米。

? x ? 2, x ? 0 ? , 则函数g ( x) ? f ( x ) ? x 的零点的个数是 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 1 ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ? 2

个。

14 . 已 知 x ? 0, y ? 0, 且 是 。

2 x

?

1 y

? 1, 若x ? 2 y ? m ? 2m 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
2

15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0), 给出定义 : 设f ?( x )是函数y ? f ( x ) 的
3 2

导数, f ??( x)是f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函数 ,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个 y ? f ( x ) 的“拐点”

三次函数都有对称中心, “拐点” 且 就是对称中心给定函数 f ( x) ? 请你根据上面探究结果,解答以下问题: (1)函数 f ( x) ?
1 3 x ?
3

1 3

x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

5 12



1 2

x ? 3x ?
2

5

的对称中心为

; 。

12 1 2 3 2012 (2)计算 f ( )? f( )? f( ) ??? f ( )= 2003 2013 2013 2013

三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
3(sin x ? cos x) ? 2 sin x cos x.
2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x )的图象向左平移
?
3

个单位,再将所得的图象上各点的横坐标扩大
? 3?
, 3 2 ] 上的值域。

为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x)在[ ?

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中 点。 (1)证明:PA//平面 BDE; (2)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF?证明你的结论。

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an },{bn } 中,对任何整数 n 都有:
a1bn ? a2 bn ?1 ? a3 bn ? 2 ? ? ? an ?1b2 ? an b1 ? 2
n ?1

? n ? 2.

(1)若数列 {an } 是首项和公差都有 1 的等差数列,求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)若 bn ? 2n ,试判断数列 {an } 是否是等差数列?若是,请求出通项公式,若不是,请

说明理由。

19. (本小题满分 13 分) 某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单,据以往数据分析,若生产 数量为 x 万件,则可获利 ? ln x ?
x
2

万美元,受美联货币政策影响,美元贬值,获利将因

10

美元贬值而损失 mx 万美元,其中 m 为该时段美元的贬值指数,且 m ? (0,1). (1)若美元贬值指数 m ? 应在什么范围? (2)若因运输等其他方面的影响,使得企业生产 x 万件产品需增加生产成本
x 10 1 10

,为使得企业生产获利随 x 的增加而增长,该企业生产数量

万美元,

已知该企业生产能力为 x ? [10, 20] ,试问美元贬值指数 m 在什么范围内取值才能使得该 企业不亏损?

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) ,离心率 e ?

3 2

,O 为坐

标原点。 (如图) (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(异于点 A)为椭圆 C 上一个动点。过 O 作线段 AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E,D,



| DE | | AP |

的取值范围。

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
1 (1 ? x)
n

, g ( x) ? a ln( x ? 1), 其中n ? N , a 为常数。
*

(1)当 n=2 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x ) 的极值; (2)若对任意的正整数 n,当 s ? 2, x ? 2时, 有f ( s ) ? g ( x) ? x ? 1. 求 a 的取值范围。

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