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1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征


第一章 立体几何初步
1.1.1 构成空间几何体的基本元素

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征

从航空测绘到土木建筑以至家居装潢,——空间图形与 我们的生活息息相关.

几何体及相关概念
一切物体都占据着空间的一部分,如果只 考虑物体的形状和大小,而不考虑其它因素, 那么这个空间部分叫做空间几何体。

构成空间几何体的基本元素是什么?
无大小 点: 表示:A、B、C…
无粗细、无限延伸 线: 表示:a、b、c…或AB、BC… 面: 无厚度、无限延伸 ?、?、? ? 表示:

从运动的角度来看点线面
点动成线

线动成面 面动成体

观察长方体并思考 ( 1 )存在平行的直线吗? D'
C' A' B'

(2)存在既不平行也不相 交的直线吗? (3)存在直线与平面没 C 有公共点的情况吗? (4)存在直线与平面垂直 的情况吗? (5)存在平面与平面平 行与垂直的情况吗?

D A B

问题1:直线与平面的位置关系为
平行、相交(包括垂直)、直线在平面内

问题2:平面与平面的位置关系为 平行、相交(包括垂直) 问题3:直线与直线的位置关系为

平行、相交、既不相交也不平行

观察下面的几何体

一.多面体及相关概念

1.多面体:多面体是由若干个平面多边
形所围成的几何体,如下图中的几何体 都是多面体.

2.相关概念: (1)围成多面体的 各个多边形叫做多面 体的面; (2)相邻两个面的 公共边叫做多面体的 棱;
D` A` B` C`

D A B

C

2.相关概念: (3)棱和棱的公 共点叫做多面体 的顶点; (4)连接不在同 一个面上的两个 顶点的线段叫做 多面体的对角线;
D` A` B` C`

D

C B

A

2.相关概念: (5)凸、凹多面体:把一个多面体的任 意一个面延展为平面,如果其余各面都在 这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫 做凸多面体,其他的多面体叫做凹多面体; (6)截面:一个几何体和一个平面相交 所得到的平面图形(包括它的内部),叫 做这个几何体的截面;

顶点
A`

D`
B`

C`


D A C B

侧面

截面

对角线

3.多面体的分类:
(1)按照多面体是否在任一面的同一侧 分为凸多面体和凹多面体; (2)按照围成多面体的面的个数分为四 面体、五面体、六面体等。

观察下列多面体,根据小学、初中所学知识, 判定它们是棱柱吗

二. 棱柱及相关概念
1.定义:
棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点

侧面

底面

侧棱

2.相关概念:
(1)棱柱的两个互相平行的 面叫做棱柱的底面,简称底; (2)其余各面叫做棱柱的侧 面; (3)相邻侧面的公共边叫做 棱柱的侧棱; (4)侧面与底面的公共顶点 叫做棱柱的顶点;
D` A` B`

C`

D A B

C

2.相关概念: (5)棱柱中不在同一面
上的两个顶点的连线叫做 棱柱的对角线 ; (6)如果棱柱的一个底 面水平放置,则铅垂线与 两底面的交点之间的线段 或距离,叫做棱柱的高。
A D B C A` D` B`

C`

D` A` B`

C`

侧 棱 D
A B C

对 角 线



底 面

顶点

侧 面

如何理解棱柱?
① 从运动的观点来看,棱柱可以看成是 一个多边形(包括图形围成的平面部分) 上各点都沿着同一个方向移动相同的距离

所经过的空间部分。
如果多边形水平放置,则移动后的多边

形也水平放置。

如何理解棱柱?
② 棱柱的主要结构特征: 1)两个底面互相平行; 2)其余每相邻两个面的交线互相平行,

各侧面是平行四边形。

问题1:有两个面互相平行,其余各面都是四

边形的几何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所示。

问题2:有两个面互相平行,其余各面都是平

行四边形的几何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所示。

3.棱柱的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等(见图)

3.棱柱的分类: (2)按侧棱与底面的关系分类:

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

4.棱柱的表示:
(1)用表示各顶点的字母表示棱柱:

如棱柱ABCD-A1B1C1D1;
(2)用一条对角线端点的两个字母来 表示,如棱柱AC1.
A1 D1 C1 B1 C B

D

A

5.特殊的四棱柱:
(1)底面是平行 四边形的棱柱叫做 平行六面体; (2)侧棱与底面 垂直的平行六面体 叫做直平行六面体;

5.特殊的四棱柱:
(3)底面是矩 形的直平行六 面体叫做长方 体; (4)棱长都相 等的长方体叫 做正方体.

几种四棱柱(六面体)的关系:
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体
底面是

矩形
侧棱与底面 边长相等 底面为 正方形

正方体

正四棱柱

长方体

例1.设有四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有 两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面 体是直平行六面体;④对角线相等的平 行六面体是直平行六面体。以上四个命 题中,真命题的个数是( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解:①不正确。 除底面是矩形外还应满足侧 棱与底面垂直才是长方体。
②不正确。 当底面是菱形时就不是正方体。 ③不正确。 是两条侧棱垂直于底面一边而非 垂直于底面,故不一定是直平行六面体。 ④正确。 因为对角线相等的平行四边形是矩 形,由此可以推测此时的平行六面体是直平 行六面体。 故而选A.

例2.已知集合 A={正方体},B={长方体},
C={正四棱柱},D={平行六面体},E={四 棱柱},F={直平行六面体},则( B ) ( A)

A? B?C ? D? F ? E

( B) A ? C ? B ? F ? D ? E ( C) C ? A ? B ? D ? F ? E

(D)它们之间不都存在包含关系

练习题: 1.下面没有体对角线的一种几何体是
( A ) (A)三棱柱 (B)四棱柱

(C)五棱柱

(D)六棱柱

2.用一个平面去截正方体,截面多边形 的边数不可能是(
(A)4 (C)6
D



( B) 5 ( D) 7

三、棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点?

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围 成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形 叫做棱锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

2.相关概念:

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱

棱锥的高

D
E A O B

棱锥的侧面

C
棱锥的底面

3. 如何理解棱锥? (1) 棱锥是多面体中的重要一种,它有 两个本质的特征: ①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形,二者缺一不可。 (2)有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 是棱锥吗?

4.棱锥的表示与分类:

棱锥S-ABCD 或者 棱锥S-AC

S

D

E
A

O
B

C

(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等,其中三棱锥又叫四面 体!

三棱锥 (四面体)

四棱锥

五棱锥

(2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边 形,并且它的顶点又在过底面中心且与底 面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥!
S

D

E
A

O
B

C

5.正棱锥的性质:棱锥和棱台.gsp (1)正棱锥的侧棱都相等,各侧面都是 全等的等腰三角形; (2)等腰三角形底边上的高都相等,叫 做棱锥的斜高!

例1.有四个命题:① 各侧面是全等的等 腰三角形的四棱锥是正四棱锥;② 底面

是正多边形的棱锥是正棱锥;③ 棱锥的
所有侧面可能都是直角三角形;④ 四棱

锥的四个侧面中可能四个都是直角三角
形。其中正确的命题有 ③④ .

例2. 已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11,计算它的高和斜高。 解:设VO为正四棱锥V- ABCD的高,作OM⊥BC于 点M,则M为BC中点, 连接OM、OB,则 VO⊥OM,VO⊥OB.

因为底面正方形ABCD的面积是16,所以 BC=4,MB=OM=2,

OB ? BM ? OM ? 2 2
2 2

又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB 中,由勾股定理得

VO ? VB ? OB
2 2

2 2

? (2 11) ? (2 2) ? 6

在Rt△VOM中,由勾股定理得
VM ? 62 ? 22 ? 2 10

即正四棱锥的高为6,斜高为 2 10

练习题:
1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是
( C ) (A)底面为正多边形 (B)各侧棱都相等 (C)各侧面与底面都是全等的正三角形 (D)各侧面都是等腰三角形

2.过正方体三个顶点的截面截得一个正
三棱锥,若正方体棱长为 a,则截得的正

三棱锥的高为

3 a 3



3.正四面体棱长为 a,M,N为其两条相 对棱的中点,则MN的长是
2 a 2



4.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等, 则该棱锥一定不是( D ) (A)三棱锥 (B)四棱锥

(C)五棱锥 (D)六棱锥

四.棱台及相关概念
1.定义:棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底面间的部分叫做棱台.棱锥和棱 台.gsp

2.棱台的元素

①两个底面多边 形间的关系? 相似 ②上下底面对应 边间的关系? 上底面 底面 平行不等

侧面 侧棱 下底面 底面
③侧面是什么平面图形? 梯形 ④侧棱之间的关系? 延长后交于一点

3.棱台的表示: 棱台可用表示上、下底面的字母来命名, 如可以记 作 棱 台ABCD-A’B’C’D’, 或 记 作 棱 台AC’.

4.棱台的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱台、 四棱台、五棱台等;

(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台。正棱台的各侧面都是全等的等腰梯 形,等腰梯形的高称为棱台的斜高。

正棱锥

正四棱台

5.正棱台的性质: (1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等。

棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个 点时形成的空间图形, 棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥 底面的平面截棱锥所得到的图形,

要注意的是棱台的各条侧棱延长后,
将会交于一点,即棱台可以还原成棱锥.

棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小


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