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高中数学人教A版必修二课件:3.1.1直线的倾斜角与斜率_图文

追求卓越,崇尚一流。 主编:杨树军 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 基础梳理 1.倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率的概念 倾斜角 前提条件 定义 直线l与x轴______ 取______作为基准,x轴 ______与直线l________ 之间所成的角 α 斜率 倾斜角不是____ 直线l倾斜角的 ________ k=tan α 表示或 记法 (1)相交 90° x轴 正向 向上方向 正切值 (2)倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) α=0° 0 0°<α<90° k>0 α=___ 斜率不 存在 90°<α<180° k<0 由上表可知直线l的倾斜角α的取值范围是________斜率 k的取值范围是(-∞,+∞). (2)90° 0°≤α<180° 练习1.当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角 为____. 2.过两点的直线的斜率公式 直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率k= ___________(x1≠x2). 练习2.当直线倾斜角为90°时它的斜率_______.α取值 范围是______. 练习3.(1)直线的倾斜角α确定后,斜率k的值与点p1,p2的 顺序是否有关? y 2 - y1 (2)当直线平行于y轴或与y轴重合时,上述公式k= x 2 - x1 还适用吗? y2-y1 练习1.0° 2. x -x 2 1 练习2.不存在 [0,π). 练习3.(1)无关.(2)不适用,因为此时斜率不存在. 思考应用 1.表示直线倾斜程度的量有什么? 解析:表示直线倾斜程度的量有直线的倾斜角和斜率, 它们分别从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度. 2.过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)且x1=x2时,直线的倾 斜角和斜率怎样? 解析:此时直线的倾斜角为90°,斜率不存在. 自测自评 1.如图所示,直线l与y轴垂直,则直线l的倾斜角为( A ) A.0° B.90° C.180° D.不存在 2.已知直线l的倾斜角α=30°,则其斜率k的值为( A.0 B. 3 3 B) C. 3 D.1 135° . 3.已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角为________ 直线的倾斜角与斜率 如图,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求l1, l2的斜率. 分析:对于直线l1的斜率,可通过计算tan 30°直接获得, 而直线l2的斜率则需要先求出倾斜角α2. 解析:l1的斜率 k1=tan α1=tan 30°= 3. 3 ∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°, ∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°) =-tan 60°=- 3 . 点评:此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率, 其中涉及三角函数的诱导公式及特殊角正切值,还用到了 平面几何知识,α2=α1+90°,然后再求tan α2即可. 跟踪训练 1.求倾斜角为下列数值的直线的斜率. (1)α=30°;(2)α=45°;(3)α=60°;(4)α=0°. 解析:(1)k=tan 30°= 3 ;(2)k=tan 45°=1; 3 (3)k=tan 60°= 3 ;(4)k=tan 0°=0. 根据斜率公式求斜率 已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2), (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时,求直线AD的斜 率的变化范围. 解析:(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 2-3 1 kAB= = , -4-3 7 -2-3 5 直线 AC 的斜率 kAC= = , 0-3 3 1 5 ∴直线 AB 的斜率为 ,AC 的斜率为 . 7 3 (2)如图,当D由B运动到C时, 直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所 ? 1, 5? 以直线AD的斜率的变化范围是 ?7 3? . 点评:(1)当已知两定点坐标,求过这两点的直线斜率 时可直接利用斜率公式求解,应用斜率公式时应先判定两定 点的横坐标是否相等,若相等,直线垂直x轴,斜率不存在; 若不等,再代入斜率公式求解. (2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法,当直线 绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂 直时,斜率由0逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方 向旋转到与x轴垂直时,斜率由0逐渐减小至-∞(即斜率不存 在). 跟踪训练 2.求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角 是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4);(2)(-3,5),(0,2); (3)(4,4),(4,5);(4)(10,2),(-10,2). 4-1 解析:(1)k= =3>0,则倾斜角是锐角; 2-1 2-5 (2)k= =-1<0,则倾斜角是钝角; 0-?-3? (3)倾斜角是 90° (无斜率); 2-2 (4)k= =0,则倾斜角为 0° . -10-10 三点共线问题 求证:A(1,1),B(4,7),C(-1,-3)三点共线. 证明:由斜率公式知kAB= 7- 1= 2, k =1+ 3= 2. AC 4- 1 1+ 1 则kAB=kAC且直线AB与AC均过点A,即直线AB与AC重合, 也即A、B、C三点共线. 点评:已知三点中,若任意两点连线的斜率相等,则此 三点一定共线;反之,当三点共线时,任意两点连线的斜率一 定相等(除非都不存在).解这类问题时要先对斜率是否存在作 出判断,有时要先进行讨论,然后再下结论. 跟踪训练 3.(巧解题)已知三点A(0,a),B(2,3),C(4,5a)在一条 直线上,求a的值,并求这条直线的倾斜角. 解析:∵三点的横坐标不等, ∴三点所共直线的斜率存在. 3-a 3-a 由斜率公式可得 kAB= = , 2 2-0 5a-3 5a-3 kBC= = . 2

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