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2018版高中数学(人教A版)必修5同步练习题:必修5 第3章 3.4 学业分层测评21

学业分层测评(二十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 ?a+b?2 cd 的最小值是( A.0 C.2 【解析】 【答案】 ) B.1 D.4 ?a+b?2 ?x+y?2 4xy cd = xy ≥ xy =4,当且仅当 x=y 时等号成立. D ) 1 2.设 x>0,则 y=3-3x- x的最大值是( A.3 C.3-2 3 【解析】 B.3-2 2 D.-1 1? 1 ? y=3-3x- x=3-?3x+x?≤3-2 ? ? 1 3x· x=3-2 3, 1 3 当且仅当 3x=x ,即 x= 3 时取等号. 【答案】 C ) 3.下列函数中,最小值为 4 的函数是( 4 A.y=x+ x C.y=ex+4e-x 【解析】 4 B.y=sin x+sin x D.y=log3x+logx81 A、D 不能保证是两正数之和,sin x 取不到 2,只有 C 项满足两项 均为正,当且仅当 x=ln 2 时等号成立. 【答案】 C 4.已知 m=a+ ( ) A.m>n C.m=n 【解析】 1 (a>2),n=22-b2(b≠0),则 m,n 之间的大小关系是 a-2 B.m<n D.不确定 ∵a>2,∴a-2>0. 1 1 =(a-2)+ +2≥2 a-2 a-2 ?a-2?× 1 +2=4(当且仅当 a-2 a-2 又∵m=a+ 1 = ,即 a=3 时,“=”成立). a-2 即 m∈[4,+∞),由 b≠0 得 b2≠0, ∴2-b2<2,∴22-b2<4,即 n<4. ∴n∈(0,4),综上易知 m>n. 【答案】 A ) 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C.2 【解析】 B.4 11 D. 2 ∵x+2y+2xy=8,∴y= 8-x >0. 2x+2 8-x 9 ∴0<x<8,∴x+2y=x+2· =(x+1)+ -2≥2 2x+2 x+1 当且仅当 x+1= 【答案】 二、填空题 B 9 ?x+1?· -2=4. x+1 9 ,即 x=2 时,取“=”号,此时 x=2,y=1. x+1 6.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造 价每平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 【解析】 设水池的造价为 y 元,长方体底的一边长为 x m,由于底面积为 4 4 m2,所以另一边长为x m.那么 4? ? ?2x+2· y=120· 4+2· 80· x? ? ? ? 4? =480+320?x+x?≥480+320· 2 ? ? 4 x· x =1 760(元). 当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元. 【答案】 1 760 x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+3x+1 7.若对任意 x>0, 【解析】 1 因为 x>0,所以 x+ ≥2. x 当且仅当 x=1 时取等号,所以有 x = x +3x+1 2 1 1 1 ≤ = , 1 2+3 5 x+ x +3 即 x 1 的最大值为5, x +3x+1 2 1 故 a≥5. 【答案】 ?1 ? ?5,+∞? ? ? 8.设 a>0,b>0,给出下列不等式: ①a2+1>a; 1?? 1? ? ②?a+a??b+b?≥4; ? ?? ? ?1 1? ③(a+b)?a+b?≥4; ? ? ④a2+9>6a. 其中恒成立的是________(填序号). 【解析】 1? 3 ? 由于 a2+1-a=?a-2?2+4>0,故①恒成立; ? ? 1 1 由于 a+a≥2,b+b≥2, 1?? 1? ? ∴?a+a??b+b?≥4,故②恒成立; ? ?? ? 1 1 由于 a+b≥2 ab,a+b≥2 1 ab, ?1 1? ?a+b?≥4,故③恒成立;当 a=3 时,a2+9=6a,故④不能恒成 ∴(a+b)· ? ? 立. 【答案】 三、解答题 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4 +x 的最大值; x-3 ①②③ 1 3 (2)已知 x,y∈R+,且 x+y=4,求x +y 的最小值. 【解】 ∴f(x)= (1)∵x<3,∴x-3<0, 4 4 +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 ? 4 ? =-?3-x+?3-x??+3 ? ? ≤-2 4 · ?3-x?+3=-1, 3-x 4 =3-x,即 x=1 时取等号, 3-x 当且仅当 ∴f(x)的最大值为-1. (2)法一:∵x,y∈R+, ?1 3? ?y 3x? ∴(x+y)?x+y ?=4+?x+ y ?≥4+2 3. ? ? ? ? y 3x 当且仅当x= y ,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. 1 3 3 又 x+y=4,∴ x+ y≥1+ 2 , 1 3 3 故x+ y的最小值为 1+ 2 . 法二:∵x,y∈R+,且 x+y=4, 1 3 x+y 3?x+y? ? y 3x? ∴x+ y= 4x + 4y =1+?4x+4y?≥1+2 ? ? y 3x 3 4x· 4y=1+ 2 . y 3x 当且仅当4x=4y,即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号, 1 3 3 故x+ y的最小值为 1+ 2 . 10.某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车使用多 少年时,它的年平均费用最少? 【解】 设使用 x 年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费用构成以 0.2 万元为首项,0.2 万元为公差的等差数列. 因此,汽车使用 x 年总的

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