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北京市第七中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案


北京市第七中学 2014~2015 学年度第一学期期中检测试卷

高三数学(理)
2 1.集合 M= x|x ? 4 , N ? ?x |1 ? x ? 3? ,则图中阴影部分所表示的集合是

2014.11

试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的.

?

?





A. ?x | ?2 ? x ? 3? C. ?x |1 ? x ? 2? 2. 设 ( )

B. ?x | ?2 ? x ? 2? D. ?x | 2 ? x ? 3?

m, n 是 两 条 不 同 的 直 线 , ? , ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , 下 列 命 题 中 正 确 的 是
B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? ( )

A. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

3. “ m ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? my ? 0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

4.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a , y ? x ? a 的图象,可能正确的是 (
y y y y

)

1

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

C A B 5.在等比数列 {an } 中,若 a4 ? 8 , q ? ?2 ,则 a7 的值为

D
( D. 48 )

A. ?64

B. 64

C. ?48

6.设 x, y ?R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) ,且 a ? c, b // c ,则 a ? b = A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

?

?

?

?

?? ?

? ?

(

)

? x ? 1, ? 2 2 7.已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? 2, 那么 x ? y 的取值范围是( ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?



A. [1, 4]

B. [1,5]

C. [ , 4]

4 5

D. [ ,5]
D1 C1

4 5

8. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。 设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? , 则 sin ? 的取值范围是 ( )
A1

B1

P

3 A.[ ,1] 3

6 B.[ ,1] 3

6 2 2 C.[ , ] 3 3

2 2 D.[ ,1] 3

D O A B

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 5 相切的圆的方程是 .

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 10.周期为 2 的函数 f ( x) 在 x ? [?1,1) 时,f ( x) ? ? , 则 f( )? 2 0 ? x ? 1, ? x,
2 11. 由曲线 y ? x ? 2 和曲线 y ? x 围成图形的面积为





12. 下列命题中: ① “平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题; ② “若 ab ? bc ,则 a ? c ”的否命题; ③ “若 a ? 5 ? Q ,则 a ? Q ”的逆命题. 正确的命题是____________________(请填入正确命题的序号) 13. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和下视图如图所示,则棱 BD 的长为___ ___. 三棱锥 D ? ABC 的体积为__ ___.
D

4

A

C

2 主视图

2

2 3 左视图

B

14. 定义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? Ax ? B( A, B为常数) ,使得

f ( x) ? g ( x) 对一切实数 x 都成立,那么称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.
下列说法正确的有: . (写出所有正确说法的序号)

① 对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
x ② g ( x) ? ex 为函数 f ( x) ? e 的一个承托函数;

x 不存在承托函数; x ? x ?1 1 1 ④ 函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g ( x) 的图象恰为 f ( x) 在点 P (1,? ) 处的切 12 5 x ? 4 x ? 11
③ 函数 f ( x ) ?
2

线,则 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 12 分) 在锐角△ABC 中,已知 b ? 5 , sin A ? (1)求 c 的值; (2)求 sin C 的值. 16.(本小题共 13 分) 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (cos x,sin x ? 2cos x) , f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设 0 ? x ?

7 15 7 , S?ABC ? . 4 4

?
2

,①若 a ? b ,求 x ;②求 f ( x) 的值域.

17. (本小题共 14 分) 如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (2) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,

求二面角C ? PB ? A的余弦值.

18.(本小题共 14 分)

x 2 ? a (a ? 2) x ( a ? 0 ). x ?1 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程;
已知函数 f ( x) ? (2)求函数 f ( x) 在 [0, 2] 上的最小值.

19. (本小题共 14 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是菱形,

AC ? BD ? O , ?PAC 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ,

P

F
A

D
O C

B

PB ? PD ? 6 , AP ? 4 AF .
(1)求证: PO ? 底面 ABCD ; (2)求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小; (3)在线段 PB 上是否存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF ?如果存在,求 果不存在,请说明理由.

BM 的值,如 BP

20. (本小题共 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am ,则称 {an } 是“H 数列”. (1)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ( n ?N ),证明: {an } 是“H 数列”; (2)设 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {an } 是“H 数列”,求 d 的值
?

北京市第七中学 2014~2015 学年度第一学期期中检测

高三数学(理)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1题 C 2题 D 3题 C 4题 D 5题 A 6题 B

2014.11

7题 D

8题 B

9. 11.

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 8
9 2

10. 12.

1 ① ③

13.

4 2

,

16 3 3

14.

① ②

三、解答题

15. 解: (I)由 S?ABC ?

1 15 7 bc sin A ? 2 4
可得, c ? 6

…....……..….…2 分 ……………..….….4 分 …………...…….....6 分

(II)由锐角△ABC 中 sin A ?

7 3 可得 cos A ? 4 4
3 ? 16 , 4

由余弦定理可得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A ? 25 ? 36 ? 60 ? 有: a ? 4 由正弦定理:

..….….8 分 …….. ….…….9 分 ………....…….10 分

c a , ? sin C sin A
6? 7 4 ?3 7 4 8

c sin A 即 sin C ? ? a

...........................12 分

16. (本小题共 13 分) 解: (1) f ( x) ? a ? b = sin x cos x ? cos x(sin x ? 2cos x) ?????1 分

= 2sin x cos x ? 2cos2 x = sin 2 x ? (1 ? cos 2 x)
= 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

?????3 分

2 k? ?

3? ), k ? Z 2 4 2 8 8 ? ? 3? 3? 7? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , k ? Z ,单调减区间为 (k? ? , k? ? ), k ? Z ?5 分 2 4 2 8 8 ? 2x ? ? 2 k? ? , k ? Z ,单调增区间为 (k? ? , k? ?
因为 a ? b ,所以 a ? b = 因为 0 ? x ? ②
f ( x) =

?

?

?

?

(2)①

?
2

,所以 x ?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 =0 4 4 或x ?

?

?????6 分 ?????8 分

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

2

因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ?

?
2

,所以 ?

?
4

? 2x ?

?
4

?

?

?

4

??
?

?
4

3? 。 4

?????10 分

, 即x ? 0时,f ( x) 取得最小值 ?2 ,
3? 时,f ( x) 取得最大值 2 ? 1 , 8

?
2

4

,即x ?

所以 f ( x ) 的值域为 ? ?2, 2 ? 1? 。

?

?

?????13 分

17.

??1 分 ??2 分

??3 分 ??4 分

??6 分

??8 分

??10 分 ??12 分

??14 分

18. 解: (1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

x 2 ? 3x , x ?1

……1 分 ………………3 分

f ?( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 , x ? ?1 ( x ? 1) 2

所以 f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 y ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 (2)

3 4

………………5 分

?x | x ? ?1?
f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a(a ? 2) [ x ? (a ? 2)]( x ? a) , ? ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

………..…………6 分

………..…………8 分

①当 a ? 0 时,在 (0, 2] 上导函数 f ?( x) ?

x2 ? 2 x ? 0 ,所以 f ( x) 在 [0, 2] 上递增,可得 f ( x) 的 ( x ? 1) 2

最小值为 f (0) ? 0 ;………………………………………………………………..…………10 分 ②当 0 ? a ? 2 时,导函数 f ?( x) 的符号如下表所示

x
f ?( x)
f ( x)

[0, a )


a
0 极小

( a, 2]


所以 f ( x) 的最小值为 f (a ) ?

a 2 ? a 2 (a ? 2) ? ?a 2 ; a ?1

………………..………12 分

③当 a ? 2 时,在 [0, 2) 上导函数 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [0, 2] 上递减,所以 f ( x) 的最小值为

f (2) ?

4 ? 2a(a ? 2) 2 4 4 ? ? a2 ? a ? 3 3 3 3

…………………..………14 分

19.(本小题共 14 分) 解: (1)因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , 所以 O 为 AC , BD 中点. 又因为 PA ? PC , PB ? PD , 所以 PO ? AC , PO ? BD , 所以 PO ? 底面 ABCD . (2)由底面 ABCD 是菱形可得 AC ? BD , 又由(Ⅰ)可知 PO ? AC , PO ? BD . 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . 由 ?PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB ? PD ? 6 , 可得 PO ? 3, OB ? OD ? 3 . -------------------3 分 -------------------4 分 -----------------1 分

z

P

F
x A

D
O C

By

所以 A(1,0,0), C(?1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0, 3) . 所以 CP ? (1,0, 3) , AP ? (?1,0, 3) . 由已知可得 OF ? OA ?

---------------------5 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? 3 3 AP ? ( ,0, ) 4 4 4

---------------------6 分

设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ? 3 y ? 0, ? ? n ? OB ? 0, ? 即?3 ? ? ??? 3 n ? OF ? 0, z ? 0. ? ? x? ? ?4 4
令 x ? 1 ,则 z ? ? 3 ,所以 n ? (1,0, ? 3) . --------------------8 分

??? ? ??? ? CP ? n 1 ? 因为 cos ? CP ? n ?? ??? ?? , 2 | CP | ? | n |
所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的正弦值为

------------------9 分

1 , 2
-------------------10 分

所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 30? . (3)设

BM ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 BP

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? (1, 3(1 ? ? ), 3? ) . ---------------11 分
若使 CM ∥平面 BDF ,需且仅需 CM ? n ? 0 且 CM ? 平面 BDF ,--------12 分 解得 ? ?

???? ?

1 ? [0,1] , 3

--------------------13 分

所以在线段 PB 上存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF . 此时

BM 1 = . BP 3

---------------14 分

20. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 2
n n?1

-------1 分

? 2n?1 ,

-------3 分

所以 an ? ?

?2, n ? 1,
n ?1 ?2 , n ? 2,



-------4 分

所以对任意的 n ? N * , Sn ? 2n 是数列 ?an ? 中的第 n ? 1 项, 因此数列 {an } 是“H 数列” 。 (2 )依题意, an ? 1 ? (n ? 1)d , Sn ? n ? 分

-------5 分

n(n ? 1)d 2

-------7

若 {an } 是“H 数列”, 则对任意的 n ? N * ,都存在 k ? N * 使得 ak ? Sn

n(n ? 1)d 2 n ? 1 n(n ? 1) 所以 k ? ? d 2 n(n ? 1) 又因为 k ? N * , ?N 2 n ?1 所以对任意的 n ? N * , ?Z 且 d ? 0 d
即 1 ? (k ? 1)d ? n ? 分 所以 d ? ?1

-------9 分 ------10 分

-------12

------13 分


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