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§3.2.1对数的概念


江苏省淮州中学

第6课时

曾宁江

§3.2.1对数的概念

宿豫中学高一数学备课组

一、问题情境
问题1: 某种储蓄按复利计算,若本金1000元,每年利 率2.25%, ⑴写出本息和y(元)随时间x(年)变化的函数关系式; ⑵几年后,本息和达到1500元?

问题2:在第3.1.2节的例4中,我们研究了 一种放射性物质不断变化为其他物质的过 程。设该物质最初的质量是1,则经过x年 x 后,该物质的残留量 y ? 0.84 , 由此,知道了经过的时间x,就能求 出该物质的残留量y; 反过来,知道了该物质的残留量y,怎 样求出所经过的时间x呢? 特别地,经过多少年这种物质的残留量 为原来的一半?

二、数学建构:

一般地 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N 那么就称b是以a为底N的对数,记作 logaN=b 其中,a叫做对数的底数(base of logarithm) ,N叫做 真数(proper number) . 注:1. logaN读作“以a为底N的对数”; 2.对数式,指数式其实是同一种数量关系的不同 指数 对数 形式;
幂 真数

ab=N

底数 底数

logaN=b

一般地 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N 那么就称b是以a为底N的对数,记作 logaN=b 其中,a叫做对数的底数(base of logarithm) ,N叫做 真数(proper number) . 注:3.定义中为何规定a>0,a≠1; 4.书写logaN时,底数a要写小,写低,真数N要大.

三、运用数学 例1 将下列指数式改写成对数式
3 ⑴5 =125

1 - 4 ⑵2 = 16

?1? ⑶ ? 3 ? =5.37 ? ?

m

⑷1.0225x=1.5

例2 将下列对数式改写成指数式

⑴ log1 9 ? ?2
3

⑵log510=x

⑶log10a=-2.963

例3 求下列各式的值(a>0,a≠1)
⑴log416 ⑵ log1 27
9

⑶loga1

⑷logaa

注: 1. loga1=0,logaa=1,(a>0,a≠1);
2.以10为底的对数称为常用对数,log10N记作lgN;

3.以无理数e(=2.718 28…)为底的对数称为自然对 数,logeN记作lnN.

四、课堂练习: 一、填空:
题号
(1)

指数式

对 数 式

2 ? 16
4

log 2 16 ? 4
1 log ? ?3 3 27

(2)

3

?3

1 ? 27

(3)

5 ? 25
a

log5 25 ? a

2.已知a ? 0, a ? 1, N ? 0, b ? R. (1) log a a ? _____, 2
2

5 log a a ? _____,
5

-3 log a a ? _____,
?3 b

log a a ?

1 5

1 _____, 5

一般地, log a a ? _____, b 请证明这个结论; (2) 证明:a loga N ? N (口答,略)

五、回顾小结 本课学习了对数的概念,关键是抓住对数式与 指数式的关系,并能熟练进行对数式与指数式的转 换.
课外作业 1.P74 练习3、4、5;习题3.2⑴1~2; 2.预习课本P75~76 2.对数的运算性质 预习题:⑴对数有哪些运算性质?如何证明? ⑵对数的运算性质有什么作用?


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