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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1求函数零点近似解的一种计算方法——二分法


2.4.2

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

一、基础过关 1.用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 说法正确的是 A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是 ε D.重复计算次数与 ε 无关 2.下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( ) ( )

3.对于函数 f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2 011)<0,f(2 012)<0,f(2 013)>0, 则下列叙述正确的是 A.函数 f(x)在(2 011,2 012)内不存在零点 B.函数 f(x)在(2 012,2 013)内不存在零点 C.函数 f(x)在(2 012,2 013)内存在零点,并且仅有一个 D.函数 f(x)在(2 011,2 012)内可能存在零点 4.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是 A.[-2,1] C.[0,1] B.[-1,0] D.[1,2] ( ) ( )

5.若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在的区间为 ________.(只填序号) ①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞) x f(x) 1 136.123 2 15.542 3 -3.930 4 10.678 5 -50.667 6 -305.678 ④[3,4]

6.用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下 一个有根的区间是________.

7.用二分法求方程 x3-x-1=0 在区间[1.0,1.5]内的实根.(精确到 0.1) 8.已知函数 f(x)=x2+x+a (a<0)在区间(0,1)上有零点,求实数 a 的取值范围. 二、能力提升 9. f(x)=3x+3x-8, 设 用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0, f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间 A.(1,1.25) C.(1.5,2) B.(1.25,1.5) D.不能确定 ( )

10.利用计算器,列出自变量和函数值的对应关系如下表: x 0.2 1.0 1.8 2.6 3.4
x 2

y=2x 1.149 2.0 3.482 6.063 10.556

y=x2 0.04 1.0 3.24 6.76 11.56

x 0.6 1.4 2.2 3.0 ?

y=2x 1.516 2.639 4.595 8.0 ?

y=x2 0.36 1.96 4.84 9.0 ? ( )

那么方程 2 =x 的一个根位于下列哪个区间内 A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

11.函数 f(x)的图象如下图所示,则该函数变号零点的个数是________.

12.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一 台天平,请问:你最多称几次就可以发现这枚假币? 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0,并利用二分法证 明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.

答案
1.B 2.A 3.D 4.A 5.③④⑤ 6.[2,2.5] 7.解 令 f(x)=x3-x-1,f(1.0)=-1<0, f(1.5)=0.875>0. 用二分法逐项计算,列表如下: 区间 (1.0,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 中点的值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.297 0.225 -0.052 0.083

∵区间[1.312 5,1.343 75]的左右端点精确到 0.1 时的近似值为 1.3,∴方程 x3-x-1=0 在区 间[1.0,1.5]内的实根的近似解为 1.3. 1 8.解 由于函数 f(x)的图象的对称轴是 x=- ?(0,1),所以区间(0,1)上的零点是变号零点, 2 因此,有 f(0)f(1)<0,即 a(2+a)<0,所以-2<a<0. 9.B 10.C 11.3 12.解 第一次各 13 枚称重,选出较轻一端的 13 枚,继续称;第二次两端各 6 枚,若平衡, 则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的 6 枚继续称; 第三次两端各 3 枚,选出较轻的 3 枚继续称; 第四次两端各 1 枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币. ∴最多称四次. 13.证明 ∵f(1)>0, ∴3a+2b+c>0,即 3(a+b+c)-b-2c>0, ∵a+b+c=0,∴-b-2c>0, 则-b-c>c,即 a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0. 1 在[0,1]内选取二等分点 , 2 1? 3 3 1 则 f?2?= a+b+c= a+(-a)=- a<0. ? 4 4 4 ∵f(0)>0,f(1)>0, 1 1 ∴f(x)在区间?0,2?和?2,1?上至少各有一个零点, ? ? ? ?

又 f(x)最多有两个零点,从而 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.


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