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解三角形、数列、不等式练习


解三角形练习
1.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B. 4,在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 5.△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , sinB=

3 2 , b ? ac , 2

1 . 3

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 6.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

7.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

8.在锐角 ?ABC 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量

? B ? m ? (2sin( A ? C ), 3), n ? ? cos 2B, 2cos 2 ?1? ,且向量 m , n 共线。 2 ? ?
(1)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值。
1

3 9 已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= . 5
(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

不等式练习
a b 1.设 a 、 b 是实数,且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是( )

A.6

B. 4 2

C. 2 6

D.8

2.设 x、 y 是满足 2 x ? y ? 20 的正数,则 lg x ? lg y 的最大值是( A.50 B.2 C. 1 ? lg 5 D.1

3.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是(B) (A) (??,0) (B) (0,??) (C) (??, loga 3) (D) (loga 3,??)

2 4.设 f ? x ? ? 2 ? x ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是 ( ▲ ) A

A.(0,2)

B.(0,2]

C.(0,4]

D.(0,4)

5.已知点 ( x, y ) 满足 x+y≤6,y>0,x-2y≥0,则 (A) ?

y?4 的最大值为 x
(C)0

A (D)不存在

1 2

(B) ?

2 3

6.△ ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上),定义

??? ??? ? ?

f (M ) ? ( x, y, z) , 其 中 x, y, z 分 别 表 示 △MBC,△MCA,△MAB 的 面 积 , 若
1 1 4 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 ? 的最小值为 2 x y
(A)8 (B)9 D (C)16 (D)18

7.给出命题:已知 a 、 b 为实数,若 a ? b ? 1 ,则 ab ?

1 .在它的 4

逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( C ) A.3 B.2 C.1 D.0

?x ? y ? 5 ? 0 ? 8.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ▲ . -3

? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 9.已知 O 为直角坐标系原点, P, Q 的坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , cos ?POQ ?x ?1 ? 0 ?
2

的最小值等于

2 2



10.已知 a ? 0, b ? 0, 求证 11.解关于 x 的不等式

b2 a2 ? ? a?b a b

a?x ?0 x ?x?2
2

12.若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2b 在区间(0,1)(1,2)内各有一个零点,求 、 围。

b?2 的取值范 a ?1

数列练习
1.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 ? S2

2.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? 3.设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2 5 , 4

4.已知 {an } 为等比数列, n 是它的前 n 项和。 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 S 若 则 S5 = A.35 B.33 C.31 D.29

5.已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4a5a6 =

6.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D3? 2 2 )

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为( A.2 B.3C.4 D.5

3

a5 8.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 的值为( a3 1 A. 6 1 3 5 B. C. D. 3 5 6

)

a11 9.已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的 a10 最大值为( )

A.11 B.19C.20 D.21 10. 在数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an ? Sn 的表达式.

?1? 2S 2 (n ? 2). 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 2S n ? 1 ? sn ?

11.设 ?a n

?

为等差数列,Sn 为数列 ?a n

?的前 n

项和,已知 S7 = 7, S15 = 75. 记 Tn 为数列

? Sn ? ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n?
12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1, 2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式。 {a
13.已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 an 与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

14.知数列{ an }满足: a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ? 1)an ? (2n ? 3) ? 2n?1 , 数列 bn }的前 n 项和 {

S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列 an ? bn }的前n项和Wn . {
3 15.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,对任意的自然数 n≥2,an 是 3Sn-4 与 2- Sn- 2
1 的等差中项.

(1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn.

Sn 16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正整数 n
4

M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是________. 17.数列{an}满足 an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),已知 a3=95. (1)求 a1,a2; 1 (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= n(an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列?若存在,则求 3 出 t 的值;若不存在,请说明理由. 18.设 f(x)= ax (a≠0),令 a1=1,an+1=f(an),又 bn=an·n+1,n∈N*. a x+a
? n?

?1? (1)证明数列?a ?是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)求数列{bn}的前 n 项和.

5


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