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河北省邢台市高中数学1.4圆的极坐标方程练习4_4

1.4 圆的极坐标方程 一、选择题 1.已知点 P 的极坐标为(1,π ),那么过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( A.ρ =1 1 C.ρ =- cos θ B.ρ =cos θ 1 D.ρ = cos θ ( ). ). 2.在极坐标系中,圆心在( 2,π )且过极点的圆的方程为 A.ρ =2 2cos θ C.ρ =2 2sin θ B.ρ =-2 2cos θ D.ρ =-2 2sin θ π? ? 3.极坐标方程 ρ =2sin?θ + ?的图形是 4? ? ( ). 4.曲线的极坐标方程 ρ =4sin θ 化成直角坐标方程为 A.x +(y+2) =4 C.(x-2) +y =4 二、填空题 2 2 2 2 ( 2 ). B.x +(y-2) =4 D.(x+2) +y = 4 2 2 2 5.两曲线 ρ sin θ =2 和 ρ =4sin θ (ρ >0,0≤θ <2π )的交点的极坐标是____________. 6.极点到直线 ρ (cos θ -sin θ )=2 的距离为________. 7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ =4cos θ 于 A、B 两点,则|AB|= ________. 8.极坐标方程 5ρ cos 2θ +ρ -24=0 所表示的曲线焦点的极坐标为______________. 三、解答题 2 2 5 ? π? 9.(求直线的极坐标方程)求过点 A?2, ?,并且与极轴垂直的直线的极坐标方程. 6? ? 10.将下列直角坐标方程和极坐标方程互化. (1)y =4x; (2)y +x -2x-1=0; (3)ρ cos 2 2 2 2 2 θ =1; 2 (4)ρ cos 2θ =4; (5)ρ = 1 . 2-cos θ ? π? 11.(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上,求圆心为 A?8, ?,半径为 5 的圆的极坐标方程. 3? ? 6 圆的极坐标方程答案 1 解析 如图所示,设 M 为直线上任一点,设 M(ρ ,θ ). 在△OPM 中,OP=OM·cos∠POM, ∴1=ρ ·cos(π -θ ),即 ρ =- 答案 C 2 解析 如图所示,P( 2,π ),在圆上任找一点 1 . cos θ M(ρ ,θ ),延长 OP 与圆交于点 Q,则∠OMQ=90°, 在 Rt△OMQ 中,OM=OQ·cos∠QOM ∴ρ =2 2cos(π -θ ),即 ρ =-2 2cos θ . 答案 B π? π π ? 3 解析 ∵ρ =2sin?θ + ?=2 sin θ ·cos +2cos θ ·sin 4? 4 4 ? = 2(sin θ +cos θ ), ∴ρ = 2ρ sin θ + 2ρ cos θ , ∴x +y = 2x+ 2y, ∴?x- 2 2 2 ? ? 2?2 ? 2? 2 + ? ?y- ? =1, 2? ? 2? 2? ? 2 , ?. 2 2 ? ? ∴圆心的坐标为? 结合四个图形,可知选 C. 答案 C 4 解析 由已 知得 ρ =4ρ sin θ , ∴ x +y =4y,∴x +(y-2) =4. 答案 B π? ? 3 ? ? 5 答案 ?2 2, ?,?2 2, π ? 4? ? 4 ? ? 6 解析 直线 ρ (cos θ -sin θ )=2 的直角坐标方程为 x-y-2=0,极点的直 角坐标为(0,0), ∴极点到直线的距离为 d= 答案 2 |-2| 1 +(-1) 2 2 2 2 2 2 2 = 2. 7 解析 过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程 为 x=3,曲线 ρ =4cos 7 θ 化为直角坐标方程为 x + y -4x=0,把 x=3 代入上式,得 9+y -12=0, 解得,y1= 3,y2=- 3,所以|AB|=|y1-y2|=2 3. 答案 2 3 8 解析 原方程化为直角坐标系下 的方程为 - =1, 4 6 ∴c= a +b = 10,双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为( 10,0),(- 10, 0),故在极坐标系下,曲线的焦点坐标为( 10,0),( 10,π ). 答案 ( 10,0),( 10,π ) 9 解 在直线 l 上任取一点 M,如图: 2 2 2 2 2 x2 y2 ? π? 因为 A?2, ?, 6? ? 所以|OH|=2cos π = 3. 6 在 Rt△OMH 中,|OH|=ρ cos θ = 3, 所以所求直线的方程为 ρ cos θ = 3. 10 解 (1)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y =4x, 得(ρ sin θ ) =4ρ cos θ ,化简得 ρ sin θ =4cos θ . (2)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y +x -2x-1=0, 得(ρ sin θ ) +(ρ cos θ ) -2ρ cos θ -1=0, 化简得 ρ -2ρ cos θ -1=0. (3)∵ρ cos ∴ρ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ =1, 2 cos θ +1 =1, 2 即 ρ cos θ +ρ =2 , ∴x+ x +y =2, 整理有 y =4-4x. (4)∵ρ cos 2θ =4, ∴ρ (cos θ -sin θ )=4. 化简得 x -y =4. 1 (5)∵ρ = , 2-cos θ ∴1=2ρ -ρ cos θ ,∴1=2 x +y -x, 整理得 3x +4y -2x-1=0. 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 解 在圆上任取一点 P(ρ ,θ ),那么,在△AOP 中, |OA|=8,|AP|=5,∠AOP= π? π ? -θ 或?θ - ?. 3? 3 ? 2 2 2 ?π ? 8 +ρ -5 , 由余弦定理得 cos? -θ ?=

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