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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第七章 立体几何 第七节


课时作业 一、填空题 1.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直 线 EF 和 BC1 所成的角为________. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AB=BC=AA1=2, 则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), → =(0,-1,1),BC → =(2,0,2), 则EF 1 → ·BC → =2, ∴EF 1 → ,BC → 〉= ∴cos〈EF 1 2 1 =2, 2×2 2 ∴EF 和 BC1 所成角为 60°. 答案 60° 2.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2. 若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°,则 AD 的长为________. |m·n| 1 1 则由 cos 60°= |m||n| ,得 2 =2,即 a= 2, a +2 故 AD= 2. 答案 2 3.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影, P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所 成角为________. 解析 如图所示, 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz. 设 OD=SO=OA=OB=OC=a, 则 A(a,0,0),B(0,a,0), a a? ? C(-a,0,0),P?0,-2,2?. ? ? → =(2a,0,0), 则CA a a? → → =? ?-a,-2,2?,CB AP =(a,a,0). ? ? 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1), → ·n CB a 1 → 则 cos〈CB,n〉= = =2. 2 → ||n| 2a · 2 |CB → ,n〉=60°, ∴〈CB ∴直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90°-60°=30°. 答案:30° 4.如图是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角,得到四面体 ABCD,则 下列叙述正确的是________. → ·AC → =0; ①BD ②平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直; ③异面直线 BC 与 AD 所成的角为 60°; ④四面体 ABCD 有外接球; ⑤直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 30°. 解析 依题意得,BD⊥平面 ABC, 又 AC?平面 ABC,因此有 BD⊥AC, → ·AC → =0,①正确.由于平面 BCD 与平 所以BD 面 ACD 不垂直,因此平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量不垂直,②不正 确.对于③,作 AE⊥BC 于 E, 设 AB=AC=2a,直线 BC 与 AD 所成的角为 θ, 2 6a 则 BC=2 2a,BD= 3 .以 E 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 2 6 则 E(0,0,0),A(0,0, 2a),B(0,- 2a,0),C(0, 2a,0),D( 3 a,- 2a,0), ? 2 6 → =(0,2 2a,0),AD → =? ? 则BC a,- 2a,- 2a?, 3 ? ? → ·AD →| |BC → → 所以 cos θ=|cos〈BC,AD〉|= → |·|AD →| |BC = (2 2a)2· 30 = 10 , 因此直线 BC 与 AD 所成的角不是 60°,③不正确.对于④⑤,依题意得,BD ⊥平面 ABC, 直线 DC 与平面 ABC 所

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