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1.3.1函数的基本性质——单调性


1.3 函数的基本性质 ——单调性

观察下面函数y=x的图象

y y=x
1

-1 O

x

注:函数y=x的图象由左至右是上升的

观察下面函数的图象

y

y?x

2

x

O
注:函数的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

x

O

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

x

O

y

y? x

2

f ( x1 )

x1 O

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x

x1O

y

y? x

2

f ( x1 ) O

x

x1

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x
f ( x1 )
O

2

x1

x

y

y? x f ( x1 )
2

O

x1

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y
x1<x2
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
x1<x2
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x1<x2 x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x1<x2 x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x1<x2? f(x1)<f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x1<x2? f(x1)<f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x)
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y=f(x) f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y=f(x) 在给定区间上任取x1, x2 f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y=f(x) 在给定区间上任取x1, x2 x1<x2 ? f(x1)>f(x2) f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y=f(x) f(x2) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y=f(x) 在给定区间上任取x1, x2 x1<x2 ? f(x1)>f(x2) f(x1) f(x2) 函数f (x)在给定 x1 O x2 x 区间上为减函数.

增函数、减函数的概念:

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

函数单调性的概念:
如果函数 y=f(x)在某区间上是增函 数或减函数,那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,这一区间叫 做 y=f(x)的单调区间.

在单调区间上增函数的图象是上升 的,减函数的图象是下降的.

例1 右图是定义在 3 2 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 O 象,根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 y=f(x)的单调区间, -2 图象法 -3 以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2, 1),[1, 3),[3, 5], 其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1. 设x1, x2∈给定的区间,且x1<x2; 2. 计算f(x1)-f(x2) 至最简; 3. 判断上述差的符号;
4. 下结论 (若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 定义法 变式1:函数f(x)=-3x+2在R上是增函数 还是减函数?

变式2:函数f(x)=kx+b(k≠0)在R上是增
函数还是减函数?并证明.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数? 3 变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的 x 单调性.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数?

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数? 3 变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的 x 单调性.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数? 3 变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的 x 单调性. 3 结论:函数f(x)= 在其定义域上不具有 x
单调性.

课堂小结
1.两个定义:增函数、减函数. 2.两种方法: 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法.

课后作业
1.阅读教材P.27 -P.29; 2.教材P.39:2题


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