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(教师用书)高中数学 1.1.1+2 变化率问题 导数概念课件 新人教A版选修2-2_图文

1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能: (1)理解平均变化率的概念,会求函数的平均变化率; (2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; (3)理解导数的概念,会求函数在某点的导数或瞬时变化 率. 2.过程与方法: (1)通过对大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到 瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变 化率就是导数; (2)通过动手计算培养学生观察、 分析、 比较和归纳能力; (3)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、 从特殊到一般的数学思想方法. 3.情感态度与价值观: (1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识,培 养学生思维的科学性、严密性,不断认识数形结合和等价转 化的数学思想; (2)通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的 概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣; (3)通过对变化率与导数的学习,不断培养自主学习、合 作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研 精神,提高参与意识和合作精神. ●重点、难点 重点:函数在某点处附近的平均变化率、瞬时速度、瞬 时变化率的概念及导数概念的形成, 难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数 概念的理解. ●教学建议 1.函数的平均变化率及其意义 关于函数的平均变化率及其意义的教学,建议从教材中 的两个实例“气球膨胀率”、“高台跳水中运动员的平均速 度”来体会如何用数学知识来描述生活中的自然现象,并让 学生学会用数学知识解释相关的这些现象. 2.瞬时速度 关于运动物体在某时刻瞬时速度的教学,建议教师引导 学生用接近于这一时刻的一个很短的时间段内的平均速度去 近似描述它在该时刻的速度,这时的时间段可以无限趋向于 0,但决不等于 0. 3.导数的概念与瞬时变化率 (1)关于导数的概念的教学,建议教师在教学中充分利用 学生对瞬时速度这个具体物理模型所具有的直观认识,让学 生充分经历从平均速度中探究到瞬时速度,体会整个过程中 的逼近思想, 然后再推广到一般的情形,包括方法、思想以 及形式的迁移. (2)关于瞬时变化率的教学,建议教师采用类比的方法, 把函数中的变量看成是运动中的时间, 把函数值看成是路程, 把某点处的瞬时变化率看成是在某时刻的瞬时速度. ●教学流程 演示结束 课 标 解 读 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背 景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率.(重 点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导 数.(重点、难点) 4.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及导数 的概念.(易混点) 函数的平均变化率 【问题导思】 假设如图 1-1-1 是一座山的剖面示意图,并建立如图 所示平面直角坐标系.A 是出发点,H 是山顶.爬山路线用 函数 y=f(x)表示. 图 1-1-1 自变量 x 表示某旅游者的水平位置,函数值 y=f (x)表示 此时旅游者所在的高度.设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐 标为(x2,y2). 1.若旅游者从点 A 爬到点 B,自变量 x 和函数值 y 的改 变量分别是多少? 【提示】 自变量 x 的改变量为 x2-x1,记作 Δx,函数 值的改变量为 y2-y1,记作 Δy. 2.y 的改变量的大小能否判断山路的陡峭程度? 【提示】 有关. 不能.山路的陡峭程度也与自变量 x 的变量 3.怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度? Δy y2-y1 【提示】 对山路 AB 来说,用 = 可近似地刻画 Δx x2-x1 其陡峭程度. 1.函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1、x2,当自变 量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子 f?x2?-f?x1? 称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. x2-x1 习惯上用 Δx 表示 x -x ,即 Δx= x2-x1 .可把 Δx 看做 2 1 是相对于 x1 的一个“增量”, 可用 x1+Δx 代替 x2.类似地, Δy Δy = f(x2)-f(x1) .于是,平均变化率可表示为 Δx . 2.函数平均变化率的几何意义 已知 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数 y=f(x)的图象上两 Δy f?x2?-f?x1? 点,则平均变化率 = 表示割线 P1P2 的 斜率 Δx x2-x1 . 瞬时速度、导数的概念 【问题导思】 1 2 物体作自由落体运动的方程是 S(t)=2gt . 1.试求物体在[3,3+Δt]这段时间内的平均速度? 【提示】 1 9 1 2 Δs= g(3+Δt) - g=3gΔt+ g(Δt)2, 2 2 2 Δs 1 1 v = =3g+2gΔt=g(3+2Δt). Δt 2.当 Δt 趋近于 0 时,问题 1 中的平均速度趋近于几? 怎样理解这一速度? Δs 【提示】 当 Δt 趋近于 0 时, 趋近于 3g,这时的平均 Δt 速度即为 t=3 时的瞬时速度. 1.瞬时速度 (1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. (2)一般地,设物体的运动规律是 s=s(t),则物体在 t0 到 Δs s?t0+Δt?-s?t0? t0+Δt 这段时间内的平均速度为 = .如果 Δt Δt Δt Δs 无限趋近于 0 时, 无限趋近于某个常数 v,我们就说当 Δt Δt Δs 趋向于 0 时, 的 极限 是 v,这时 v 就是物体在时刻 t=t0 Δt s?t0+Δt?-s?t0? Δs 时的瞬时速度,即瞬时速度 v=lim = lim . Δt→0 Δt Δt→0 Δt 2.导数的定义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0

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