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南充高中2012年素质技能邀请赛数学试题


南充高中 2012 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 30 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番 号填入答题卷的相应位置) 1.在等腰直角三角形 ABC 中, ?C ? 900 , AC ? 6 , D 是 AC 上的一点, 若 tan ?DBA ? A.

1 ,则 AD 的长为 5
B.2 C. 1 D.2 2 P . O

2

2.如图 AB 是⊙ O 的直径, l1 , l2 是⊙ O 的两条切线, A 且 l1 ∥ AB ∥ l2 ,若 P 是 l1 上一点,直线 PA, PB B

l1

C S 分别交 l2 于点 C , D ,设⊙ O 的面积为 S1 , ?PCD 的面积为 S2 ,则 1 等于

D

l2

S2

A.

?

B.

? 2

C.

? 4

D.

? 8

3. 若直角三角形的两直角边长为 a , b ,斜边长为 c ,斜边上的高为 h ,则

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? D. 2 a b h a b h 4.以正三角形 ABC 的高为半径作⊙ O 与边 AB 相切, 使⊙ O 在边 AB 上滚动, 切点为 P , ⊙ O 交 CA 于 M ,交 CB 于 N ,则弧 MPN
A. ab ? h
2

B. a ? b ? 2h
2 2

2

C.

A. 在 00 到 30 0 间变化

B. 保持 30 0 不变 C. 在 60 0 到 90 0 间变化 D. 保持 60 0 不变
2

5.设 ab ? 0 ,且函数 f1 ( x) ? x ? 2ax ? 4b 与 f 2 ( x) ? x2 ? 4ax ? 2b 有相同的最小值 u ; 函数 f3 ( x) ? ? x ? 2bx ? 4a 与 f4 ( x) ? ? x2 ? 4bx ? 2a 有相同的最大值 v ,则 u ? v 的值
2

A. 必为正数

B. 必为负数
2

C. 必为 0

D. 符号不能确定

6. ? , ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? 1 ? 0 的两个实根,若 ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? 1 ,则实数 k 的取值范围是
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 第1页 共6页

A. k ? C. k ?

5?2 5 ?2 或k ? ? 5?2

B. k ? D. k ? ?

5?2 5?2

二、填空题(每小题 5 分,共计 50 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 7.某人抛掷甲乙两个均匀正方体, (正方体每面依次标有数字 1~6)甲出现的点数为 x , 乙出现的点数为 y ,则 x ? y ? 1 的概率为

8.在直角坐标系中有四个点 A(?6,3) , B(?2,5) , C (0, m) , D(n,0) ,当四边形

ABCD 周长最短时, m ? n ?
9.如图是 9 个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边 三角形的边长为 a ,则六边形的边长为 10.关于 x 的不等式 (2a ? b) x ? a ? 2b 的解为 x ?

5 ,则关于 2

x 的不等式 ax ? b ? 0 的解为
11.一次函数 y ? f ( x) 满足 f

? f ? f ( x)?? ? ?8 x ? 3 ,则函数 f ( x) ?
A P C B
0

12.如图 P 为正方形 ABCD 内的一点,

PA ? 1, PB ? 2 , ?APB ? 135 ,则 PC ?
13. 2 3 ? 2 2 ? 17 ? 12 2 等于

D

14.在直角三角形 ABC 中, ?C ? 900 , ?CAB ? 300 , AD 平分 ?CAB 交 BC 于 D ,

AB AC ? 的值 CD CD 15. 等腰梯形 ABCD 中,腰 AB ? CD ? m ,对角线 AC ? BD ,锐角 ?ABC ? ? ,则 该梯形的面积为(用 m, ? 表示)
则 16.设 O 为 ?ABC 的外心,且外接圆半径为 1,连结 AO, BO, CO 并延长分别交于对边 于 L, M , N ,则

1 1 1 ? ? 的值为 AL BM CN

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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/ / / / / / / / / / / / / / / 密/ / / / / / / / / / / / / / 封/ / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /

第Ⅱ卷(答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 题号 答案 二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 7.______________________ 9.______________________ 11._____________________ 13._____________________ 8.______________________ 10.______________________ 12.______________________ 14.______________________ 1 2 3 4 5 6

考号_________________

姓名________________ 初中就读学校___________________________

15._____________________ 16._____________________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分)某工程由甲、乙两队合作 6 天完成,厂家需付甲、乙两队 8700 元;乙、 丙两队 10 天完成, 厂家需付乙丙两队共 9500 元; 丙两队合作 5 天完成全部工作的 甲、

2 , 3

厂家需付甲、丙两队共 5500 元。 (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? (2)若工期要求不超过 15 天完成全部工程,问:可用哪队单独完成此项工程花钱最少? 请说明理由。

18. (本小题 10 分)已知关于 x 的方程 (a ? 1)(
2

x 2 x ) ? (2a ? 7)( ) ? 1 ? 0 有实数根 x ?1 x ?1

(1)求 a 的取值范围 (2)若原方程的两个实数根为 x1 , x2 ,且

x1 x 3 ? 2 ? ,求 a 的值 x1 ? 1 x2 ? 1 11

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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19. (本小题 12 分)如图, ?ABC 中,AB ? AC , AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D , 在 以 DE ? AC ,垂足为 E . (1)判断 DE 与⊙ O 的位置关系,并证明你的结论; (2)如果⊙ O 的直径为 9, cos B ?

1 ,求 DE 的长 3

20.如图,等腰梯形 ABCD 中, CD ∥ AB ,对角线 AC 与 BD 交于 O , ?ACD ? 60 点 S 、 P 、 Q 分别是 OD 、 OA 、 BC 的中点 C D (1)求证: ?PQS 是等边三角形 S
0

(2)若 AB ? 5, CD ? 3 ,求 ?PQS 的面积 (3)若 ?PQS 的面积与 ?AOD 的面积之比为 7:8, 求梯形上、下两底之比 CD : AB A P B O Q

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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21. (本小题 12 分)如图,已知直线 y ? 2 x ? 6 交 x 轴于 A ,交 y 轴于 C ,抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 经过 A, C 两点及 x 轴上另一点 B ,且 AB ? 1 , ?ABC 为钝角。
(1)求抛物线的解析式 (2)若点 D 的坐标为(-3,0) ,在直线 y ? 2 x ? 6 上求一点 P ,使 ?APD 与 ?AOC 相似 (3)在(1) (2)的条件下,在抛物线位于 x 轴上方的图像上是否存在点 M ,使四边形

APBM 的面积等于 ?AMD 的面积的
理由

13 倍?如果存在,求出点 M 的坐标,否则请说明 6
y D. 0 B A x

C

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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22. (本小题 14 分)如图, 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 点 四边形 AOCB 是梯形,
2 AB ∥ OC ,点 A 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,且 OA ? 8)? 10 ? OC ? 0 ,OB ? OC . (

(1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从 C 点出发,沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH ? OB ,垂足为 H ,设 ?HBP 的面积为 S ( S ? 0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(直接写出自变量 t 的取值范围) ; (3)(2) 在 的条件下, 过点 P 作 PM ∥ CB 交线段 AB 于点 M , 过点 M 作 MR ? OC , 垂足为 R ,线段 MR 分别交直线 PH 、OB 于点 E 、G ,点 F 为线段 PM 的中点,连结 EF . ①判断 EF 与 PM 的位置关系; ②当 t 为何值时, EG ? 2 ?

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