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2009年高考试题——数学理(上海卷)Word版


2009 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 一.填空题 (本大题满分 56 分) 1. 若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位),则其共轭复数 z =__________________ .

R , 2. 已知集合 A ? ?x | x ? 1? ,B ? ?x | x ? a? , 且 A ?B ?
则实数 a 的取值范围是______________________ .

4 5 x
3. 若行列式 1 x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,

7 8 9
则 x 满 足 的 条 件 是 ________________________ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是____________________________ . 5.如图, 若正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面连长为 2,高 为

4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________(结果用 反三角函数表示). 6.函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 7.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随机变量 ? 表示 选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? ____________(结果用最简分数表示). 8.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S 2 , S 3 ,满 足的等量关系是___________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. 已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b > 0 )的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a2 b2

PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF

-1-

10. 在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? ________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?
3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1 围成图形的面积是

时 ,不等式 sin 11.当 0 ? x ? 1

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.

12.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2?

d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 .
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若

2) , (3, 4) , (?2, 3) , 以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点 (?2, 1) , (3, (4, 5) , (6, 6) 为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站,使 6 个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14. 将 函 数 y ?

6?) 的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0,

? (0 ? ? ? ? ) ,得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的
最大值为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二.选择题(本大题满分 16 分)

“?2 ? a ? 2” 15. 是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的
2

(A)必要不充分条件 (C)充要条件 16.若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? ( A) 0 (B)

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

1 16

(C)

1 4

1 ,则 P ? E I F ? 的值等于 4 1 (D) 2

17.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染 的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地 新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 (B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3
-2-

18.过圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B,

?AOB 被圆分成四部分 (如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| ,
则直线 AB 有( ( A) 0 条 ) (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条

三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定 区域内写出必要的步骤 19(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小。W
.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x f ( x) ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? ? x?4
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x ) 表示
*

对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2) 根据经验, 学科甲、 乙、 丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , (121,133] 。 当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科。

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。
-3-

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 已知双曲线 c : 2
(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分。 已知函数 y ? f ( x) 的反函数。定义:若对给定的实数 a(a ? 0) ,函数 y ? f ( x ? a) 与 ; 若 函 数 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互 为 反 函 数 , 则 称 y ? f ( x) 满 足 “ a 和 性 质 ” 。 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质” (1) 判断函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;.s.5.u.c.o.m (2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 满分 8 分。 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2) 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是 数列 ?bn ? 中的一项,请证明。

-4-

上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准 解答 一, (第 1 题至第 14 题) 1,i 2.ɑ≤1 61 ? 2

8 3. x ? 3
7,

?2 x , x ? 1 4y?? ? x ? 2, x ? 1
8 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 12,14

5 arctan 5

4 7

9.3

10.

3? 3 4
2 3

11,k≤1

13, (3,3) 二、 (第 15 题至第 18 题) 题号 代号 15 A

14, arctan

16 B

17 C

18 D

三、 (第 19 题至第 23 题) 19, 【解】如图,建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0) 、 C(0,2,0) A1(2,0,2) , B1(0,0,2) 、C1(0,2,2) ??2 分 设 AC 的中点为 M,∵BM⊥AC, BM⊥CC1; ∴BM⊥平面 A1C1C,即 BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向 量。??5 分 设平面 A1B1C1 的一个法向量是 n ? ( x, y, z)

???? ?

?

=(x,y,z) , ??7 分

???? , AC 1 =(-2,2,-2)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

???? ? A1B1 =(-2,0,0)

? ??? ? ? ???? ? n ? AB ? ?2 x ? 0, n ? A1C ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令z ? 1, 解得x ? 0, y ? 1 ? ? n ? (0,1,1)...................10分 ? ???? ? 设法向量 n与BM 的夹角为 ? ,二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小为 ? ,显然 ? 为锐角

-5-

? ???? ? n ? BM 1 ? ? cos ? ? cos ? ? ? ???? ? ? , 解得? ? 2 3 n BM …………………….14 分 ? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为

?
3
0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

20.证明(1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85……………….9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 21.(1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2 分 2

? 直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ……….8 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

当k ?

2 时,d ? 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,
-6-

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当k ?

2 , t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0………………………………..13 分 2
2 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ?1) ? 0

将 y0 ? kx0 ? t

( *)

?k ?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立
故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分 22(1)解,函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ?1 ( x) ?
2

x ?1( x ? 1)

? g ?1 ( x ?1) ? x ( x ? 0)
而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ?1), 其反函数为 y ?
2

x ?1 ?1( x ? 1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质” , k ? 0.

x ?b x ? 2?b ( x ? R),? f ?1 ( x ? 2) ? …….6 分 k k x ? b ? 2k 而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R), 得反函数 y ? ………….8 分 k ? f ?1 ( x) ?

-7-

由“2 和性质”定义可知

x ? 2 ? b x ? b ? 2k = 对 x ? R 恒成立 k k

? k ? ?1, b ? R, 即所求一次函数为 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) ………..10 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设 a ? 0 , x0 ? 0 ,且点 ( x0 , y0 ) 在 y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数 y ? f ?1 (ax) 图 象上, 故

f (ax0 ) ? y0 ,可得 ay0 ? f ( x0 ) ? af (ax0 ) ,

. . . . . .12 分

f ?1 (ay0 ) ? x0 ,
令 ax0 ? x ,则 a ?

x f ( x0 ) x x 。? f ( x0 ) ? 。 f ( x) ,即 f ( x ) ? 0 x x0 x0

. . . . . .14 分

综上所述, 1 ? b1qn?1 ? bn f ( x) ? 而f
?1

k k k (k ? 0) ,此时 f (ax) ? ,其反函数就是 y ? , x ax ax
. . . . . .16 分 . . . . . .2

(ax) ?

k ,故 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数 。 ax

23.[解法一](1)由 am ? am?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , 分 整理后,可得 k ? 2m ?

4 ? ,? m 、 k ? N ,? k ? 2 m 为整数,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3
. . . . . .5 分 (*)

? 不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)若

an ?1 a1 ? nd ? bn ,即 ? b1q n?1 , a1 ? (n ? 1)d a

n?1 (ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1q ? bn 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 lim

. . . . . .7 分

a1 ? nd ? 1, (*)式等号右边的极限只有 n ?? a ? ( n ? 1) d 1

当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 . . . . . .10 分

-8-

【解法二】设 an ? nd ? c, 若

an?1 ? bn , 且?bn ? 为等比数列 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m an



an? 2 an?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an? 2 ? qa 2 n?1 an?1 an

?(dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N *都成立, ?a2 ? qd 2 ....7分
(i) (ii) 若 d=0,则 an ? c ? 0,?bn ? 1, n ? N * w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若 d ? 0, 则q=1,?bn ? m (常数)即
*

dn ? d ? c ? m ,则 d=0,矛盾 dn ? c

综上所述,有 an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N ,

an?1 ? bn , an

10 分

(3) an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N * w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设 am?1 ? am?2 ? ??? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2

? 4m ? 2 p ? 3 ?

3k ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N . p

13 分

取 k ? 3s ? 2,4m ? 32 s?2 ? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1)2 s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0, 由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,

15 分

2 ? (4 ?1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?4m ? 4(M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,?存在整数m满足要求 .
故当且仅当 p=3s,s ? N 时,命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k = Ck ? 4 ? Ck ? 4
0 k 1 k ?1

?

?

? (?1) ? ??? Ckk ?1 ? 4 ? (?1)k ?1 ? Ckk ? (?1)k ? 4M ? (?1)k , M ? Z ,
1分

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k 成立 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
-9-

也即 3(4m+9)=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k 成立 2分 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk 也即 5(4m+13)=3k,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 10 -


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