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必修五1.1.1正弦定理导学案及课时作业

第一章 解三角形
§1.1.1 正弦定理
【情景激趣】 有一个旅游景点, 为了吸引更多的游客, 想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索 道。已知一座山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米,在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角 是 450,在另一座山顶 B 测得山脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 300。求需要建多长的索道?

B A
45
300

1500

C
【学习过程 】 一、课前准备 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系 精确地表示出来? 二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, a b 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 , ? sin A sin B c b 同理可得 , ? sin C sin B a b c 从而 . ? ? sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试推导.
1

1.叙述正弦定理的内容: 2.正弦定理的变形 ①边化角: a = ②角化边: sin ? ?

,b = , sin ? ?

,c= , sin C ?

; ;

3.正弦定理的推论: a : b : c ? 从而知正弦定理的基本作用为: ① ② 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作_______ 【交流释疑】 (二)合作探讨 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , B ? 60 , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , C ? 60 , a ? 12 cm,解三角形.

规律总结:

类型二

已知两边及其中一边的对角解三角形

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45 , a ? 2, 求b和B, C .

2

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a 和A, C .

规律总结:

类型三 判断三角形的形状 例 3 在 ?ABC中,已知 a 2 tan B ? b 2 tan A ,试判断三角形的形状。

变式:已知在 ?ABC中, b sin B ? c sin C ,且 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ,试判断三角形的形状。

规律总结:

3

类型四 三角形面积公式

1 ab sin C ,并运用此结论解决下面问题: 2 (1)在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , b ? 3 , C ? 150 ? ,求 S ?ABC ;
仿照正弦定理的证法一,证明 S ?ABC ?

(2)在 ?ABC 中,已知 c ? 10 , A ? 45? , C ? 30? ,求 b 和 S ?ABC ; ?

规律总结:

【反思回忆】 ● 目标回忆 ● 构建体系 ● 总结规律 ● 完善存疑 【课时练习】 完成课时作业(一)

4

课时作业(一) 第一章 解三角形

§1.1.1 正弦定理
1. 正弦定理适用的范围是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 ( D.任意三角形 )

2. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6, B ? 120 ,则 a 等于 A. 6 B.2 C. 3 D. 2 ( D. 2b cos B ) ( )

3.在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于 A. 2b sin A B. C. 2b sin B

4. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于

( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 D.2∶2∶ 3 5 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为 ( ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系不能确定
0 0 6.在△ABC 中, C ? 105 , B ? 45 , c ? 5 ,则 b 的值为





A

5( 3 ? 1)

B

5( 3 ? 1)

C 10

D

5( 6 ? 2 )
( )

7.在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 4 , sin B ? A

2 ,则 sin A = 3

3 4

B

1 6

C

1 2

D1 ( )

8.在 △ ABC 中,已知 B ? 30 , b ? 50 3 , c ? 150 ,那么这个三角形是

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 9.根据下列条件, 判断三角形解的情况, 其中正确的是 ( A、 a ? 8, b ? 16, A ? 30 ,有两解
?



B、 b ? 18, c ? 20, B ? 60 ,有一解
?

C、 a ? 5, b ? 2, A ? 90 ,无解
?

D、 a ? 30, b ? 25, A ? 150 ,有一解
?

10. ?ABC 中, C=2B, 则 A、

b a

s n i 3B 等于 s n i B a B、 b

( C、



a c

D、

c a


11. 三角形两边之差为 2, 夹角的余弦值为 A、3 和 5 B、4 和 6

3 。 该三角形的面积为 14, 则这两边分别为 ( 5
C、5 和 7 D、6 和 8 ( D、以上答案都不对

12. 在 ?ABC 中, A=60°, 则角 B 等于 a ? 4 3, b ? 4 2 , A、45°或 135° B、135° C、45°
5



13.在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C 等于 14.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 1, B ? 30 ,则三角形的面积等于 15. 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状为 16.在 ?ABC 中,已知 b ? c ? 8 , ?B ? 30? , ?C ? 45? ,则 b ? 17.在 ?ABC 中,如果 ?A ? 30? , ?B ? 120? , b ? 12 ,那么 a ? 是 .
?

。 ,c ? . , ?ABC 的面积 .

18 在 ?ABC 中, bc ? 30 , S ?ABC ?

15 3 ,则 ? A ? 2

19. 在△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,已知 a=2 3 ,b=2,△ABC 的面积 S= 3 ,求角 C

20..在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A,B 为锐角, sin A =

5 , 5

sin B =

10 10

(1) 求 A+B 的值: (2) 若 a-b=

2 -1,求 a,b,c 的值

6


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