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2014年湖北省数学(理)试题及答案


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。

1. i 为虚数单位,则 ( A. ? 1

1? i 2 ) ?( 1? i
C. ? i



B. 1

D. i

2. 若二项式 (2 x ? ) 的展开式中
7

a x

1 的系数是 84,则实数 a ? ( x3
D.



A.2

B.

5

4

C. 1

2 4


3. 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C, B ? CU C 是“ A ? B ? ? ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 4.根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5
? 0 .5

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y
A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0.b ? 0

5.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

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A. ①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

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6.若函数 f ( x), g ( x)满足 ① f ( x) ? sin

?

1 ?1

f ( x) g ( x)dx ? 0, 则称 f ( x), g ( x)为区间?? 1,1? 上的一组正交函数,给出三组函数:

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 2 2


其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随 x ? y ? ? 2 ? ?y ? x ? 2 ? 0 ?
机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为( A. )

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中 记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ? 式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? A.

1 2 L h. 它实际上是将圆锥体积公 36


2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 75

22 7

B.

25 8

C.

157 50

D.

355 113

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 倒数之和的最大值为( A. ) C.3 D.2

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的

4 3 3

B.

2 3 3

10. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ?

1 2 2 ( | x? a |? ) |x? 2 a ? | 2a 3 若) . 2

?x ? R, f ( x ? 1) ? f ( x), 则实数 a 的取值范围为(
A. [? , ]



1 1 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C. [? , ]

1 1 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
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(一)必考题(11—14 题) 11.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________.

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?

? ?

?

12.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相等的四段弧,则 a ? b ? ________.
2 2

13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为

I ? a ? ,按从大到小排成的三位数记为 D ? a ? (例如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 , D ? a ? ? 851 ).阅读如图所示的
程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.

14.设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b?? 的直线与

x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ?x ? 的平均数,记为 M f (a, b) ,例如,当 f ?x? ? 1( x ? 0) 时,可得
M f ( a, b) ? c ? a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2

(1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (2)当当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2 ab ; a?b

(二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,P 为⊙ O 的两条切线, 切点分别为 A, B , 过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点, 若 QC ? 1, CD ? 3, 则 PB ? _____

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)
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?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 ?y ? 3 ?

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C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________

17、 (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位:

)随时间

( 单 位 ;h ) 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ;

(1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?

18(本小题满分 12 分) 已知等差数列 满足: =2,且 , (1) 求数列 的通项公式.

成等比数列.

(2) 记 为数列 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 在,说明理由.

若存在,求 n 的最小值;若不存

19(本小题满分12分) 如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1 , A1D1 的中点,点
P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移动,且 DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2? .

(1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 平面 EFPQ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说 明理由.

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20.(本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年 的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系;

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年 总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 21.(满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹 为 C. (1)求轨迹为 C 的方程 (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时 k 的 相应取值范围。

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数学(理) (湖北卷)参考答案 一、 选择题 (1)A (2)C (3)C (4)B (5)D (6)C 二、 填空题

(7)D (8)B (9)A (10)B

(11) ? 3

(12)2 (13)495 (14) x ;x 或 k1 x ; k 2 x (15)4 (16) ( 3,1)

三、 解答题 (17)解: (I)因为 f (t ) ? 10 ? 2( 又 0 ? t ? 24 ,所以

3 ? 1 ? ? ? cos t ? sin t ) ? 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

7? ? ? , ? 1 ? sin( t ? ) ? 1 , 3 12 3 3 12 3 ? ? ? ? 当 t ? 2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 ; 12 3 12 3

?

?

?

t?

?

?

于是 f (t ) 在 [0,24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12?C ,最低温度为 8?C ,最大温差为 4?C (II)依题意,当 f (t ) ? 11时实验室需要降温. 由(1)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin(

t ? ), 12 3 ? ? 1 ? ? 所以 10 ? 2 sin( t ? ) ? 11 ,即 sin( t ? ) ? ? , 12 3 2 12 3 7? ? ? 11? 又 0 ? t ? 24 ,因此 ,即 10 ? t ? 18 , ? t? ? 6 12 3 6
故在 10 时至 18 时实验室需要降温. (18)解: (I)设数列 {a n } 的公差为 d ,依题意, 2,2 ? d ,2 ? 4d 成等比数列,
2 2 所以 (2 ? d ) ? 2(2 ? 4d ) ,化简得 d ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4 ,

?

?

当 d ? 0 时, an ? 2 ;当 d ? 4 时, an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2 , 从而得数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2 或 an ? 4n ? 2 . (II)当 an ? 2 时, S n ? 2n ,显然 2n ? 60 n ? 800 ,不存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 .成立

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当 an ? 4n ? 2 时, S n ?
2

n[2 ? (4n ? 2)] ? 2n 2 , 2
2

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令 2n ? 60n ? 800 ,即 n ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800成立, n 的最小值为 41. 综上所述,当 an ? 2 时,不存在满足题意的 n ; 当 an ? 4n ? 2 时,不存在满足题意的 n ; n 的最小值为 41. (19)解: (I)证明:如图 1,连结 AD1 ,由 ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,知 BC1 // AD1 , 当 ? ? 1 时, P 是 DD1 的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FP // AD1 , 所以 BC1 // FP , 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 // 平面 EFPQ . (II)如图 2,连结 BD ,因为 E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点, 所以 EF // BD ,且 EF ?

1 BD ,又 DP ? BQ , DP // BQ , 2

所以四边形 PQBD 是平行四边形, 故 PQ // BD ,且 PQ ? BD , 从而 EF // PQ ,且 EF ?

1 PQ , 2

在 Rt?EBQ 和 Rt ?FDP 中,因为 BQ ? DP ? ? , BE ? DF ? 1, 于是, EQ ? FP ? 1 ? ?2 ,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形, 同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形, 分别取 EF 、 PQ 、 MN 的中点为 H 、 O 、 G ,连结 OH 、 OG , 则 GO ? PQ , HO ? PQ ,而 GO ? HO ? O ,

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故 ?GOH 是平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角的平面角, 若存在 ? ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则 ?GOH ? 90 ,
?

连结 EM 、 FN ,则由 EF // MN ,且 EF ? MN ,知四边形 EFNM 是平行四边形, 连结 GH ,因为 H 、 G 是 EF 、 MN 的中点,所以 GH ? ME ? 2 ,
2 2 在 ?GOH 中, GH ? 4 , OH ? 1 ? ? ? (
2

2 2 1 ) ? ?2 ? , 2 2

OG2 ? 1 ? (2 ? ? ) 2 ? (

2 2 1 ) ? (2 ? ? ) 2 ? , 2 2
2

2 2 2 由 OG ? OH ? GH 得 (2 ? ? ) ?

1 1 2 ? ?2 ? ? 4 ,解得 ? ? 1 ? , 2 2 2

故存在 ? ? 1 ? 向量法:

2 ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 2

以 D 为原点,射线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴的正半轴建立如图 3 的空间直角坐标系 D ? xyz ,

由已知得 B(2,2,0), C1 (0,2,2), F (1,0,0), P(0,0, ? ) , 所以 BC1 ? (?2,0,2) , FP ? (?1,0, ? ) , FE ? (1,1,0) , (I)证明:当 ? ? 1 时, FP ? (?1,0,1) ,因为 BC1 ? (?2,0,2) , 所以 BC1 ? 2FP ,即 BC1 // FP , 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 // 平面 EFPQ .
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(II)设平面 EFPQ 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

由?

? ?FE ? n ? 0 ? ?FP ? n ? 0

可得 ?

?x ? y ? 0 ,于是取 n ? (? ,?? ,1) , ?? x ? ? z ? 0

同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ? (? ? 2,2 ? ? ,1) , 若存在 ? ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m ? n ? (? ? 2,2 ? ? ,1) ? (? ,?? ,1) ? 0 , 即 ? (? ? 2) ? ? (2 ? ? ) ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 1 ?

2 , 2

故存在 ? ? 1 ? (20)解:

2 ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 2

(I)依题意, P 1 ? P ( 40 ? X ? 80 ) ?

10 ? 0.2 , 50

P2 ? P(80 ? X ? 120 ) ?

35 5 ? 0.7 , P3 ? P( X ? 120 ) ? ? 0.1 , 50 50

由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年入流量找过 120 的概率为:

9 9 1 0 1 P ? C4 (1 ? P3 ) 4 ? C4 (1 ? P3 )3 P3 ? ( ) 4 ? 4 ? ( )3 ? ? 0.9477 . 10 10 10
(II)记水电站年总利润为 Y (单位:万元) ① 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,所以一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y ? 5000 , EY ? 5000 ?1 ? 5000 . ② 安装 2 台发电机. 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 ,

) ? P(40 ? X ? 80) ? P 因此 P( y ? 4200 1 ? 0.2 ,
当 X ? 80 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 10000 ,

) ? P( X ? 80) ? P 因此 P(Y ? 10000 1?P 2 ? 0.8 .由此得 Y 的分布列如下:

Y
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4200

10000

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P

0.2

0.8

所以 EY ? 4200 ?1 ? 10000 ? 2 ? 8840 . ③ 安装 3 台发电机. 依题意,当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 1600 ? 3400 , 因此 P(Y ? 3400 ) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 ; 当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 此时 P(Y ? 9200 ) ? P(80 ? X ? 120) ? P2 ? 0.7 , 当 X ? 120 时,三台发电机运行,此时 y ? 5000? 3 ? 15000, 因此 P(Y ? 15000 ) ? P( X ? 120) ? P 3 ? 0.1 ,

由此得 Y 的分布列如下:

Y

34 0.2

9200 0.8

15000 0.1

P

所以 EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 . 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. (21)解:
2 2 (I)设点 M ( x, y ) ,依题意, | MF |?| x | ?1 ,即 ( x ? 1) ? y ?| x | ?1 ,

整理的 y ? 2(| x | ? x) ,
2

所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? ?
2

?4 x( x ? 0) . ?o, ( x ? 0)
2

(II)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1 : y ? 4 x( x ? 0) , C2 : y ? 0( x ? 0) , 依题意,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,

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由方程组 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? y ? 4x
2

得 ky2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0



当 k ? 0 时,此时 y ? 1 ,把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程得 x ? 所以此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 ( ,1) . 当 k ? 0 时,方程① 的判别式为 ? ? ?16(2k 2 ? k ? 1)

1 , 4

1 4



设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ,0) ,则由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x0 ? (i)若 ?

2k ? 1 ③ k

?? ? 0 1 ,由② ③ 解得 k ? ?1 或 k ? . 2 ? x0 ? 0

1 2 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点.
(ii)若 ?

即当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C 2 有一个公共点,

?? ? 0 ?? ? 0 1 1 或? ,由② ③ 解得 k ? {?1, } 或 ? ? k ? 0 , 2 2 ? x0 ? 0 ? x0 ? 0

即当 k ? {?1, } 时,直线 l 与 C1 有一个共点,与 C 2 有一个公共点.

1 2

1 ,0) 时 ,直线 l 与 C1 有两个共点,与 C 2 没有公共点. 2 1 1 故当 k ?{?1, } ? [? ,0) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点. 2 2
当 k ? [? (iii)若 ?

?? ? 0 1 1 ,由② ③ 解得 ? 1 ? k ? ? 或 0 ? k ? , 2 2 ? x0 ? 0

1 2 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点.

即当 k ? (?1 ) ? (0, ) 时,直线 l 与 C1 有两个共点,与 C 2 有一个公共点.

1 2

综上所述,当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点;

1 2 1 1 当 k ?{?1, } ? [? ,0) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点; 2 2 1 1 当 k ? (?1 ) ? (0, ) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点. 2 2 ln x 1 ? ln x ,所以 f ?( x) ? , x x2
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(22)解: (I)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,因为 f ( x) ?

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当 f ?( x) ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ( x) 单调递减; 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e,??) .
e e ? ? (II)因为 e ? 3 ? ? ,所以 e ln 3 ? e ln ? , ? ln e ? ? ln 3 ,即 ln 3 ? ln ? , ln e ? ln 3 ,

x x 于是根据函数 y ? ln x 、 y ? e 、 y ? ? 在定义域上单调递增,

所以 3 ? ? ? ? , e ? e ? 3 ,
e e 3 3

?

?

故这 6 个数的最大数在 ? 3 与 3? 之中,最小数在 3e 与 e 3 之中, 由 e ? 3 ? ? 及(I)的结论得 f (? ) ? f (3) ? f (e) ,即

ln ?

ln 3 ? 3 3 ? 得 ln ? ? ln 3 ,所以 3 ? ? , ? 3 ln 3 ln e e 3 e 3 由 得 ln 3 ? ln e ,所以 3 ? e , ? 3 e


ln ?

?

?

ln 3 ln e , ? 3 e

?

综上,6 个数中的最大数为 3? ,最小数为 3e .
e 3 e e 3 (III)由(II)知, 3 ? ? ? ? , 3 ? e ,又由(II)知,

ln ?

?

?

ln e , e

故只需比较 e 3 与 ? e 和 e ? 与 ? 3 的大小, 由(I)知,当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? f (e) ? 在上式中,令 x ?

ln x 1 1 ,即 ? , x e e
e

e2

?

,又

e2

?

? e ,则 ln

e2

?

?

?

,即得 ln ? ? 2 ?

e

?



由① 得, e ln ? ? e(2 ?

e

?

) ? 2.7 ? (2 ?

2.71 ) ? 2.7 ? (2 ? 0.88) ? 3.024 ? 3 , 3.1

3 e e 3 即 e ln ? ? 3 ,亦即 ln ? ? ln e ,所以 e ? ? ,

又由① 得, 3 ln ? ? 6 ?
e 3

3e

?
e

? 6 ? e ? ? ,即 3 ln ? ? ? ,所以 e? ? ? 3 ,
?
3

综上所述, 3 ? e ? ? ? e ? ? ? 3 ,即 6 个数从小到大的顺序为 3e , e 3 , ? e , e ? , ? 3 , 3? .

?

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