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高中数学选修4-4测试题


高中数学选修 4-4 考试卷
姓名:___________ 总分:150 时间:90 分 命题人:厉飞 2013.8.4
)。
2 2

一、选择题:(每小题 6 分共 60 分) 1.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为( A. x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

C. ( x ? 2) ? y ? 4

D. ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

2.已知点 P 的极坐标是(1, ? ),则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ? ? 1 B. ? ? cos? C. ? ? ? )。

)。

1 cos?

D. ? ?

1 cos?

3.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A. ? x ? t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B. ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D. ? (t 为参数) ? ? y ? 2 sin ? ? 1

? x ? t ?1 C. ? (t 为参数) ? y ? 2t ? 1

1 ? x ? t ? (t 为参数)表示的曲线是( 4.方程 ? ? t ? ? y?2

)。

A.一条直线

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分 )。

? x ? 2 ? sin 2 ? 5.参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是( ? y ? ?1 ? cos 2?
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0

C. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3]

D. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3]

6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标 为( )

A.( 3 2 , ? )

3 4

B. ( ? 3 2 , ? )

5 4

C. (3, ? )

5 4

D. (-3, ? )

3 4

7.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相 交,则 k 的取值范围是( A. k ? ? )。

3 4

B. k ? ?

3 4

C. k ? R

D. k ? R 但 k ? 0

8. 已知过曲线
则 P 点坐标是

?

x?3cos? ? ? ? y ?4sin? ? 为参数,0 ? ? ? ? 上一点 P 原点 O 的直线 PO 的倾斜角为 , 4

A、(3,4)

B、 (? 12 , ? 12 ) 5 5

C、(-3,-4)

D、 (12 , 12 ) 5 5

9.若圆的方程为 ?

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 ( ? 为参数),直线的方程为 ? (t 为参数), ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? 6t ? 1
)。 C.相切 D.相离

则直线与圆的位置关系是( A. 相交过圆心

B.相交而不过圆心

1 ? x? ? t 10.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是( 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y

)。

y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.在同一平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 的伸缩变换是 。

12. 在极坐标中,若过点( 3 , 0 )且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A 、 B 两点,则 |AB|= 。

t ? ? x ? 2? 2 ? 13.设直线参数方程为 ? ( t 为参数),则它的斜截式方程为 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
14. 直线 ?



? ?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长为________ ? ? y ? 3t

三、解答题:本大题有 6 题,,共 66 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(12 分) 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:

⑴?

? x ? 5 cos? ( ? 为参数); ? y ? 4 sin ?

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ? y ? 4t

16(10 分).求以椭圆 x ? 4 y ? 16 内一点 A(1,-1)为中点的弦所在直线的方程。
2 2

17(12 分). 已知 x、y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最值。
2 2

18.(12 分) 如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺时 针方向排列),求点 P 的轨迹方程。
y P A

O

x

19.(12 分) 如图,过抛物线 y ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。
2

⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。(10 分)

y A 0 M x

B

20. (10 分)在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北 方向移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气 象台 A 所在地将遭受台风影响?持续多长时间? (注: 7 ? 2.65 , 2 ? 1.41 )

高二级数学选修 4-4 考试卷数学科答案(文科)
一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 D

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. ?

? x? ? x ; ? y? ? 4 y

12. 2 3 ;

13. y ?

3x ? 3 ? 2 3 ;

14. 2 10 。

三.解答题(8 分+8 分+8 分+10 分+10 分+10 分,共 54 分)

? x ? 5 cos? 15. (8 分) 解: ⑴. ∵? ? y ? 4 sin ?

?x x2 y2 ? cos? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ∴ ?5 两边平方相加, 得 ?y 25 16 ? ? sin ? ?4



x2 y2 ? ? 1 ∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的椭圆。 25 16

y y ? x ? 1 ? 3t ⑵.∵ ? ∴由 t ? 代入 x ? 1 ? 3t ,得 x ? 1 ? 3 ? ∴ 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 4 4 ? y ? 4t
∴它表示过(0,

4 )和(1, 0)的一条直线。 3

16.(8 分)解:设以 A(1,-1)为中点的弦所在的直线方程为 把它代入 x ? 4 y ? 16 得 (1 ? t cos ? ) ? 4(?1 ? t sin ? ) ? 16
2 2 2 2

?

x?1?t cos? ? ? y ??1?t sin? ? 为参数 ,

即 (cos ? ? 4sin ? )t ? 2(cos ? ? 4sin ? )t ? 11 ? 0
2 2 2

∵弦以 A(1,-1)为中点,∴交点所对应的参数 t1 和 t 2 有: t1 + t 2 =0

cos ? ? 4sin ? 1 ? 0 ∴ cos? ? 4sin ? =0,∴ tan ? ? 2 2 cos ? ? 4sin ? 4 1 ∴所求的直线方程为 y ? 1 ? ( x ? 1) 即 x-4y-5=0 4
∴? 17.(8 分)解:由 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的圆。
2 2

令 x ? 1 ? 2 cos?

y ? ?2 ? 2 s i n ? ,则

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )
(其中 tan ? ?

6 ? ?3 )∵-1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? 1 ?2

∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S 有最大值,为 S max ? 5 ? 2 10 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 10 ∴S 最大值为 S max ? 5 ? 2 10 ;S 最小值为 S min ? 5 ? 2 10 。

18.(10 分)解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x=5 的极坐标方程为 ?cos?=5 设 A(?0,?0),P(?,?)

? 点A在直线? cos? ? 5上

??0 c o ? s0 ?5

?1?

? ?O P A 为等腰三角形,且?O P A ? 120? ,而 OP ? ? , OA ? ? 0 以及?POA ? 30?
? ? 0 ? 3?,且? 0 ? ? ? 30? ?2? 3? cos?? ? 30?? ? 5

把<2>代入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为:

19.(10 分)解:⑴.∵依题意可知直线 OA 的斜率存在且不为 0 ∴设直线 OA 的方程为 y ? kx ( k ? 0 )

y A 0 M x

? y ? kx ∴联立方程 ? 2 ? y ? 2 px

2p 解得 x A ? 2 k

2p yA ? k

1 ? 1 ?y ? ? x 以 ? 代上式中的 k ,解方程组 ? k k 2 ? y ? 2 px ?
解得 x B ? 2 pk
2

B

y B ? ?2 pk ∴A(

2p 2p 2 , ),B( 2 pk , ? 2 pk )。 2 k k
1 1 ? y ? p( ? k ) k ?

? 2 ⑵.设 AB 中点 M(x,y),则由中点坐标公式,得 ? x ? p( k 2 ? k ) ?

消去参数 k,得 y ? px ? 2 p
2

2

;即为 M 点轨迹的普通方程。 y B2 B1 0 A x

20.(10 分)解:如图,以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向, 建立直角坐标系,则现在台风中心 B1 的坐标为(-300,0)。根据题意,

可知, t 小时后, B 的坐标为 ( ? 300 ? 40t cos 45? ,40t sin 45? ) , 即 ( ? 300 ? 20 2t ,20 2t ) , 因为以台风中心为圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 B 在圆上或 圆内时,气象台将受台风影响。 所以令 | AB |? 250 ,即 (?300 ? 20 2t ) ? (20 2t ) ? 250
2 2 2

整理得 16t ? 120 2t ? 275 ? 0 解得
2

15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 ?t ? , 1.99 ? t ? 8.61 4 4

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 6 个半小时。


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