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第七章 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


一轮复习讲义

二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域. 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线. 当我 们在坐标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域 时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它 的坐标(x, y)代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同 , 所 以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+ By0+C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 哪一侧的平面区域.

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要点梳理
2.线性规划相关概念 名称 约束条件

忆一忆知识要点

意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 欲求 最大值 或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足 线性约束条件 的解 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或

线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题

最小值问题 主页

要点梳理
3.应用

忆一忆知识要点

利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线,从而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最 小值.

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[难点正本

疑点清源]

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时, 经常采用“直线定 界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线; 若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个 特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式, 则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一 侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

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2.线性规划是数形结合的体现 (1)线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一个方 面的体现,将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来,是 一种较快地求最值的方法. (2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范 围,不可将范围盲目扩大.

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二元一次不等式(组)表示 平面区域
?x-y+5≥0 ? 例 1 画出不等式组?x+y≥0 ?x≤3 ? 列问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

表示的平面区域,并回答下

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(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的 交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要注 意是否包含边界. (2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.
解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方

的点的集合. x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

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?x-y+5≥0 ? 所以,不等式组?x+y≥0 ?x≤3 ? 表示的平面区域如图所示.
结合图中可行域得
? 5 ? x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ?

?-x≤y≤x+5, ? (2)由图形及不等式组知? ?-2≤x≤3,且x∈Z. ?

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点;

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当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点;
当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点;
∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).

探究提高
本题主要考查不等式表示的平面区域、 数列求和及不等式的应用 等基础知识,考查了数形结合的方法和逻辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点 集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时, 若数目较小时, 可画网格逐一数 出;若数目较大,则可分 x=m 逐条分段统计.

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变式训练 1
?y-2x≤0, ? 满 足 条 件 ?x+2y+3>0, ?5x+3y-5<0 ?

的区域中共有整点的个数为

4 ________.
如图, 画出可行域, 由可行域知有 4 个整点, 分别是(0,0), (0,-1),(1,-1),(2,-2).

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求目标函数的最值问题
?7x-5y-23≤0 ? 例 2 已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 值和最小值. ,求 4x-3y 的最大

目标函数 z=4x-3y 是直线形式,可通过平行移动,求最值.
?7x-5y-23≤0 ? 不等式组?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?



表示的区域如图所示.

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可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值. ?7x-5y-23=0 ? 解方程组? , ?4x+y+10=0 ?
?x=-1 ? 得? ?y=-6 ?



则 A(-1,-6).
?x+7y-11=0 ? 解方程组? ?4x+y+10=0 ? ?x=-3 ? ,得? ?y=2 ?

.

则 B(-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18.

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探究提高
(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可 能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解, 要注意分析线性目标函数所表示的 几何意义——在 y 轴上的截距或其相反数.

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变式训练 2
已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域 ?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2 ? → → [0,2] 上的一个动点,则OA· 的取值范围是________. OM

→ → 作出可行域,如图所示,由题意OA· =-x+y. OM
设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点 (1,1)时 z 有最小值,zmin=-1+1=0;过点 → → (0,2)时 z 有最大值,zmax=0+2=2,∴OA· OM 的取值范围是[0,2].

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线性规划的简单应用
例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的 午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单 位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐 需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋 白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费 用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花 费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
根据题意设出午餐和晚餐的单位数,以此表示出所花的费用,用 线性规划求所花费用的最小值.

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设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单

位,所花的费用为 z 元,则依题意,得 z=2.5x+4y,且 x,y 满 ?x≥0,y≥0, ?x≥0,y≥0, ? ? ?12x+8y≥64, ?3x+2y≥16, 足? 即? ?6x+6y≥42, ?x+y≥7, ?6x+10y≥54, ?3x+5y≥27. ? ? 作出可行域如图, z 在可行域的四个顶点 A(9,0), 则 B(4,3), C(2,5),
D(0,8)处的值分别是

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zA=2.5×9+4×0=22.5,
zB=2.5×4+4×3=22,
zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32.
比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

探究提高
解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结 合求解;(4)作答.

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变式训练 3
某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广 告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分 别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公 司所做的每分钟广告, 能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能 使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得 ?x+y≤300, ? ?500x+200y≤90 000, ?x≥0,y≥0. ?

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目标函数为 z=3 000x+2 000y. ?x+y≤300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5x+2y≤900, ?x≥0,y≥0. ? 式组所表示的平面区域,
即可行域,如图: 作直线 l:3 000x+2 000y=0, 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

作出二元一次不等

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?x+y=300, ? 联立? ?5x+2y=900. ?

解得 x=100,y=200.
∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y =700 000(元).
即该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广 告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

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思想与方法
利用几何意义求解非线性目标函数的最值问题
?x-4y+3≤0 ? (16 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ? y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.



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审题视角
y-0 (x,y)是可行域内的点.(1)z= 可以理解为点(x,y)与点 x-0 (0,0)连线的斜率.(2)x2+y2 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线 长度的平方.(3)x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 可以理 解为点(x,y)与(-3,2)的距离的平方.结合图形确定最值.

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规范解答 解 ?x-4y+3≤0 ? 由约束条件?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ? ,作出(x,y)

的可行域如图所示. ?x=1, ? 由? ?3x+5y-25=0 ? ? 22? 解得 A?1, 5 ?. ? ?
?x=1, ? 由? ?x-4y+3=0 ?

解得 C(1,1). 解得 B(5,2). [6 分]

?x-4y+3=0, ? 由? ?3x+5y-25=0 ?

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y y-0 (1)∵z=x= . x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5
方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=OC= 2,dmax=OB= 29.∴2≤z≤29. [12 分]

[8 分]

(2)z=x2 +y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平

(3)z=x2+y2 +6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行 域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的 点 到 ( - 3,2) 的 距 离 中 , dmin = 1 - ( - 3) = 4 , dmax = ?-3-5?2+?2-2?2=8. ∴16≤z≤64.
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[16 分]

批阅笔记

(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值 的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数 赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形 结合的应用意识,不知道从其几何意义入手解题.

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方法与技巧
1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平面的对应 性.对于 A>0 的直线 l:Ax+By+C=0,Ax+By+C>0 对 应直线 l 右侧的平面; Ax+By+C<0 对应直线 l 左侧的平面. 由一组直线围成的区域形状常见的有:三角形、四边形、多 边形以及扇形域和带状域等. 2.转化:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值,将函数 z a z =ax+by 转化为直线的斜截式:y=-bx+b,通过求直线的 z 截距b的最值间接求出 z 的最值.

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方法与技巧
3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整数最优解 的直线距实数最优解最近. 4.线性规划应用题建模的思路:一般以“资源——产品——收 益”为主线;设元时将产品数量设为 x、y,将收益多少设为 z,资源数量为常数 a、b、c 等.这样 z 与 x、y 之间的关系 就是目标函数;而 x、y 与 a、b、c 等之间的关系就是约束条 件.

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失误与防范
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不 等式标准化. z 2.在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时,要注意: z z 当 b>0 时,截距b取最大值时,z 也取最大值;截距b取最小 z 值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距b取最大值时,z 取最 z 小值;截距b取最小值时,z 取最大值.

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? x ? 4 y ≤ ?3, ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? x ≥ 1. ? y

(1)若z=2x+y,求z的最值.

5

C
x-4y+3=0

(2)若z=2x-y,求z的最值.
(3)若z=x2+y2,求z的最值. (4)若
z ? y x ,

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

求z 的最值.

x

(5)求可行域的面积和整点个数. (6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有 无数个, 求m的值.
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? x ? 4 y ≤ ?3, ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? x ≥ 1. ? y

(1)若z=2x+y,求z的最值.
Z m ax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z m in ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 .

5

C
x-4y+3=0

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

(2)若z=2x-y,求z的最值.
Z m ax ? 2 ? 5 ? 2 ? 8 , Z m in ? 2 ? 1 ? 4.4 ? ? 2.4.

x

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? x ? 4 y ≤ ?3, ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? x ≥ 1. ?

y
5

(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x ? y )min ? 12 ? 12 ?
2 2

C
x-4y+3=0

2, 29,

( x ? y )max ? 52 ? 22 ?
2 2

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

? zmin ? 2, zmax ? 29.

x

(4)若

z ?

y x

,

求z 的最值.
4 .4 ? 4 .4 , 1 2 ? ? 0 .4 . 5

z m ax ? k O C ?

z m ax ? k O A

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? x ? 4 y ≤ ?3, ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? x ≥ 1. ?

(5)求可行域的面积和 整点个数. 5
S? 1 | BC | h 2 1 ? ? 3.4 ? 4 ? 6.8. 2

y

C
x-4y+3=0

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

4 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 10

x

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? x ? 4 y ≤ ?3, ? 例1.已知x、y满足 ? 3 x ? 5 y ≤ 25. ? x ≥ 1. ?

(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有 无数个,求m的值. y
y ? ? mx ? z
5

C
x-4y+3=0

解:当直线y=-mx+z与直线 AC重合时,线段AC上的任 意一点都可使目标函数z=y +mx取得最大值. 而直线AC的斜率为 ? 3 ,
3 ? ?m ? ? , 5

A B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

5 3 即 m? . 5

x

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? x ? 0, ? 例 2 .设 不 等 式 组 ? y ? 0 , 所 表 示 的 平 面 区 域 为 D n ,记 D n 内 的 格 ? y ≤ ? n ( x ? 3 ), ?
点 (即 横 坐 标 和 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 )的 个 数 为 f ( n ) ( n ? N ) . (1 )求 f (1), f ( 2 ) 的 值 ,猜 出 f ( n ) 的 表 达 式 (不 必 证 明 ); (2 )记 T n ?
?

f (n ) f (n ? 1) 2
n

,若 对 于 一 切 正 整 数 n ,总 有 T n ≤ m 成 立 ,求

实数 m 的取值范围;

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解: (1)由 x ? 0, ? n( x ? 3) ≥ y ? 0, 得 0 ? x ? 3. 解: (1)由 x ? 0, ? n( x ? 3) ≥ y ? 0, 得 0 ? x ? 3. 所以 Dn 内的格点在直线 x ? 1, x ? 2 上. 所以 D 内的格点在直线 x ? 1, x ? 2 上. 当 n=1n 时,
(1, 2 ), ( 2, 1),

直线 y ? ?( x ? 3) 与直线 x ? 1, x ? 2 的交点分别为

当 n=2 时, 直线 y ? ?2( x ? 3) 与直线 x ? 1, x ? 2 的交点分别为 (1, 4), (2, 2) ,又 (1,1), (1, 2), (1,3), (2,1) 在区域 D2 内. 所以区 域 D2 内的整点个数为 f (2) ? 6. 同理 n=3 时,f ( 3 ) ? 9 . 猜测: f ( n ) ? 3 n .
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又(1,1)在区域D1内. (1, 2), (2,1) , 又 (1,1) 在区域 D1 内. 所以区域 D1 内的整点个数为 f (1) ? 3.

( 2 ) Tn ?
Tn Tn ? 1

f ( n ) f ( n ? 1) 2
?
n

?

3n(3n ? 3) 2
n

,

( 3 n ? 3 )( 3 n ? 6 ) ? 当 n ? 1 时,T n n ? 2 ? 2 n 当 n ? 2 时, n2? 2 ? 1; 当 n ? 2 时, 当 n ? 1 时, n ? 2 ? 1; 当 n ? 2 时, 当 n ? 1 时, n2n 2 1; ? n 当 n ? 1 时, 2n ? 1; 当 n ? 2 时, n2n2 ? 1. 当 n ≥ 3 时, n ? 2 ? 当 n ≥ 3 时, n2? 2 ? 1. 当 n ≥ 3 时, n2n 2 ? 1. ? n 当 n ≥ 3 时, 2n ? 1. 2n 所以 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? ? ? Tn , 所以 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? ? ? Tn , 所以 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? ? ? Tn , 所以 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? ? ? Tn , 故的最大值是 T2 ? T3 ? 27 . 故的最大值是 T2 ? T3 ? 27 . 2 故的最大值是 T2 ? T3 ? 27 . 2 27 2 故的最大值是. T2 ? T3 ? 27 . ?m ≥ 2 2 ? n?2 2 ? . f ( n ) f ( n ? 1) 2n
n?1

n ? 2 ? 1; n2? 2 ? 1; n ? 2 ? 1; n n2n2 ? 1; ? 2n 2n

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? x ? 0, ? ? y ? 0, 【1】设不等式组 ? y ≤ ? n ( x ? 4 ) ?
n

所表示的平面区域为 D ,
n

记 D 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个 数为 a n ( n ? N ) ,则 a 3 等于
?

.

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【1】已知点 A(0, 0), B(1, 2), C(5, 1), D(2, -1),其中 在不等式组 内的点是

B .

? x ? 0, ? ? y ? 0, ? 4 x ? 3 y ? 12 ?

所表示的平面区域

9+2(7+5+3+1)= 41

41 【2】满足 | x | + | y | ≤4 的整点的个数是______. y ?4 4 ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? -4 ? ? ? ?o ? ? ? ? ? x ? ? ??? ? ? 4 ? ??? ? ??? -4? o 3 x
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【3】已知x、y满足条件
(1) 求
2 2

? x ? 2 y ? 2 ≥ 0, ? ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0. 1

y B

N M

( x ? 1) ? ( y ? 1) 的 最 值 ;

5 zmin = . zmax = 2, 5 y? 2 ( 2 )求 z = 的取值范围. x?1

A
O
2

x

k B N ? 1, k A N ? ? 2 .

z ≥ 1 ,或 z ≤ ?2
? 3 x ? 2 y ≤ 10, ? ? x ? 4 y ≤ 11, ? x ? 0, y ? 0 ?

【4】画出满足线性约束条件

的可行域,

4 则该可行域中共有______个整点?
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【5】已知x, y满足

?x? y≥ 0 ? ?x ? y≤ 1, ? y ≥ ?1 ?

求 z=2x+y 的最值.

斜率为 -2 的直线在y轴上的截距 问题 : z几何意义是_____________________________. 解: 作画出可行域 平移直线 l: 2x+y=z 当l 过点B 时z 最小, 当l 过点C时z最大.
计 算 , 得 B ( ? 1, ? 1), C ( 2, ? 1)

? z m in ? ? 3, z m ax ? z C ? 3.

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【6】已知x, y满足

?x? y≥ 0 ? ?x ? y≤ 1. ? y ≥ ?1 ?

y ? 2x ? z

(1)若 z =2x-y, 则z的最 小值是_______; ?1 (2)若 z =x-2y , 则z的最
?1 小值是_______. 2
z y? 1 x? 2 2

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【6】已知x,

? x ? y ≥ 0, ? y满足 ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

(3)若 z ? x ? my ( m ? 0 ) 取得最小值的点有无穷 -1 . 多个,则m=
z y ? ? 1 x? m m

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【6】已知x,

? x ? y ≥ 0, ? y满足 ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

(4)若 z ? x ? m y 取得最大值的点有无穷多个, 则m= . 1
z y ? ? 1 x? m m

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【6】已知x,

? x ? y ≥ 0, ? y满足 ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

若 z ? x ? my ( m ? 0 ) 取得最小值的点有无 穷多个,则m= -1 .
z y ? ? 1 x? m m ? 1 ? 1 ? m ? ?1 m

(1 , 1) 2 2

( ?1, ?1)

(2, ?1)

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【6】已知x,

? x ? y ≥ 0, ? y满足 ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

若 z ? x ? m y 取得最大值的点有无穷多个, 则m= 1.
z y ? ? 1 x? m m

① m ? 0 时, ? 1 ? ?1 ? m ? 1 m ② m ? 0 时,

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【6】已知x, y满足

若 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? r 2 ( r ? 0 ), 求r 的最小值.
rmin ?| AG |
? 10 . 2

? x ? y ≥ 0, ? ? x ? y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r
2 2

2

G
M

rmin ? d
? | ?1 ? 1 | 1 ? ( ?1)
2 2

P ( x, y )

?

2.

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0≤k ≤ 4 3

y

? 4 ≤ ?k ≤ 0 3 ? 0≤k ≤ 4 3

x

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[?3, 3).

??? ? ??? ??? ? ? ? | O A | cos ? O A , O P ? ??? ??? ? ? ? 2 3 cos ? OA, OP ? . ??? ??? ? ? ? ? O A , O P ? ? ( 3 0 ? , 1 5 0 ? ], ??? ??? ? ? ? 2 3 cos ? O A , O P ? ? [ ? 3, 3 ).
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y

x

? x ? 2 y ≤ 10, ?2 x ? y ≥ 3, ? 【1】 (07 山东)设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D ?0 ≤ x ≤ 4, ? y ≥1 ?
中的点 P ( x,y ) 到直线 x ? y ? 10 距离的最大值是

走进高考

y

4 2



d?

| 1 ? 1 ? 10 | 2

? 4 2.

A(1,1)

o
主页

x

走进高考

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? 【 2】 08 山 东 ) 设 二 元 一 次 不 等 式 组 ? x ? y ? 8 ≥ 0, 所 表 示 的 平 ( ? 2 x ? y ? 14 ≤ 0 ? 面 区 域 为 M , 使 函 数 y ? a (a> 0, a ? 1 )的 图 象 过 区 域 M 的 a 的
x

y

取值范围是

[2,9] .

o
主页

x

走进高考

25 6

y
x-y+2=0

A ( 4 ,6 )

4 a ? 6 b ? 12
2 ? 3 ? ( 2 ? 3 )( a ? b ) a b a b 3 2

2

z=ax+by
-2 O 2

x

3x-y-6=0

3 b a ? 2 ? ? ( ? )≥ 2 ? 3 ? 2 ? 2 5 . 3 2 a b 3 2 6

主页

走进高考

3,-11

y

zmax ? 3? 5 ? 4? 3 ? 3, zmin ? 3? 3 ? 4? 5 ? ? 11.
o
主页

x

5 ?1

?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 【 6】 0 7 安 徽 ) 如 果 点 P 在 平 面 区 域 ? x ? 2 y ? 1 ≤ 0 上 , 点 ( ?x ? y? 2≤ 0 ? Q 在 曲 线 x ? ( y ? 2)
2 2

走进高考

? 1 上 ,那 么 P Q

的最小值为

5 ?1

.

y
2 1 -1 P

o
-1

1

2

x

Q
-2

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? y ≥ 1, ? 【 7】 0 8 陕 西 ) 已 知 实 数 x, y 满 足 ? y ≤ 2 x ? 1, 果 目 标 函 数 ( 如 ? x ? y ≤ m. ? z ? x ? y 的 最 小 值 为 ?1, 则 实 数 m 等 于

走进高考

5

.

解 :画 出 x, y 满 足 的 可 行 域 ,可 得 直 线 y ? 2 x ? 1 与 直 线 x ? y ? m 的 交 点

? y ? 2x ?1 使 目 标 函 数 z ? x? y 取 得 最 小 值 , 故 ? ? x ? y ?A (m, 3 ) 2 x ? m ?1 3 ,y ? 2m ? 1 3 m ?1 3 ? 2m ? 1 3
o


y

y ? 2x ? 1

, 解 得

x? y ? m
? ?1 ? m ? 5
y ?1

代 入 x ? y ? ?1 得

x

主页

? y ≥ 1, ? 【 7 】 0 8 陕 西 ) 已 知 实 数 x, y 满 足 ? y ≤ 2 x ? 1, 果 目 标 函 数 ( 如 ? x ? y ≤ m. ? z ? x ? y 的 最 小 值 为 ?1, 则 实 数 m 等 于
.

走进高考

y

y ? 2x ? 1

A(2, 3)

x? y ? m
y ?1

o
主页

x

? 【8】2011· ( 湖北) 已知向量 a ?

走进高考

? ? x ? z , 3 ? , b ? ? 2, y ? z ? ,

? ? 且 a ? b .若 x , y 满足不等式 x ? y ≤ 1 ,则 z 的取值范围



.

y A(0,1)

l1
D(-1,0) O B(1,0) x

? ? a ? b ? 2( x ? z ) ? 3( y ? z ) ? 0

C(0,-1)

l2

? z ? 2x ? 3y
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?y≥ x ? 【9】(2011·湖南)设 m ? 1 ,在约束条件 ? y ≤ m x 下,目标函 ?x ? y ≤ 1 ?

走进高考

数 z ? x ? m y 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为

.

y

z ? x ? 5 y 在点 (
1 m
2

1

1? m 1? m

,

m

) 取最大值,



? ? 2 解得1 ? m ? 2 ? 1 . 2 m 11 m? 1 ? m ? 2 ? 1 ? m ? 2 ? 1. ? 1? m 1? m

o

x

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解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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