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2015届复习等差数列及其前n项和


?典例?

1 已 知 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 a 1 = , a n =-2S n S n-1 2

(n ? 2且n ? N ? ).
?1? (1)求证:数列 ? ? 是等差数列. ? Sn ?

(2)求 S n 和 a n .

一题多变:若将条件改为“a 1 =2,S n =

S n -1 (n ? 2 ) ” ,如何求解. 2 S n -1 ? 1

1

?类题通法?
1. 判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而通项公式和前 n 项和 公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
2. 用定义证明等差数列时,常采用两个式子 a n ?1 -a n =d 和 a n -a n-1 =d,但它们的

意义不同,后者必须加上“n ? 2 ” ,否则 n=1 时,a 0 无定义.

?针对训练?
在数列 ?a n ?中,a 1 =-3,a n =2a n-1 +2 n +3(n ? 2 且 n ? N ? ). (1)求 a 2 ,a 3 的值; (2)设 b=
an ? 3 (n ? N ? ),证明 ?b n ? 是等差数列. n 2

考点三:等差数列的性质及最值

?典例?
A.18

(1) ( 2014 ·武昌联考)已知数列 ?a n ? 是等差数列, a 1 +a 3 +a 5 =105 , ( )

?a n ?的前 n 项和为 S n , a 2 +a 4 +a 6 =99, 则使得 S n 达到最大的 n 是
B.19 C.20 D.21

(2)设数列 ?a n ?,?b n ? 都是等差数列,若 a 1 +b 1 =7,a 3 +b 3 =21,则 a 5 +b 5 =________

?类题通法?
1. 等差数列的性质

(1) 项的性质:在等差数列 ?a n ?中,a m -a n =(m-n)d ?

am - an =d(m ? n) , m-n

其几何意义是点(n,a n ) , (m,a n )所在直线的斜率等于等差数列的公 差。
2

(2) 和的性质:在等差数列 ?a n ?中。S n 为其前 n 项和,则 ① S 2 n =n(a 1 +a 2 )=?=n(a n +a n ?1 ) ; ② S 2 n -1 =(2n-1)a n
2 求等差数列前 n 项和 S n 最值的两种方法

(1) 函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n =an 2 +bn,通过配方或 借助图像求二次函数最值的方法求解。 (2) 邻项变号法: ① a 1 >0,d<0 时,满足

?

a m ?0 a m ?1 ?0

的项数 m 使得 S n 取得最大值为 S m 的项数 m 使得 S n 取得最小值为 S m

② 当 a 1 <0,d>0 时,满足

?

a m ?0 a m ?1 ?0

?针对训练?

迁移应用

3


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