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3.2《一元二次不等式及其解法》(人教版必修5)好


一元二次不等式及其解法

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一元二次不等式的解法 判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O 的图象 x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 的根 x O 没有实根 x △=0 y △<0 y

有两相等实根 有两相异实根 x1=x2= ? b x1, x2 (x1<x2) 2a

ax2+bx+c>0 或 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 } 的解集

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

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Φ

求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 的程序 框图: 框图

△≥0

b x≠? 2a

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x< x1或x> x2

题2:解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
因为△ 解: 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 } 另解:由于4 另解:由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0

题3:解不等式 x2 + 2x – 3 >0 :解不等式解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 整理, 因为△ 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 无实数根 所以原不等式的解集为ф 所以原不等式的解集为
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解一元二次不等式ax 解一元二次不等式 2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是: 的步骤是: (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) 化成标准形式 ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号, 判定△ 判定 的符号, 并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; 并求出方程 的实根; (3)写出不等式的解集 写出不等式的解集. 写出不等式的解集

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不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 不等式 ( ) < 对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围 都成立, 的取值范围. ∈ 都成立 的取值范围
分析:开口向下,且与 轴无交点 分析:开口向下,且与x轴无交点 。 由题目条件知: 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. , 因此a 因此 < -1/3。 。 (2)a = 0时,不等式为 ) 时 不等式为-x-1 <0 不符合题意。 不符合题意。 1? ? 综上所述: 的取值范围是 综上所述:a的取值范围是 ? a | a < ? ? 3? ?

二次不等式ax?+bx+c>0的解集是全体实数的 二次不等式 的解集是全体实数的 条件是______. 条件是 a>0时,⊿=b?-4ac<0 时
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一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 流水线生产的摩托车数量x(辆 y(元 x( 关系: y = -2 x2 + 220x. 关系: . 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 6000元以上 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 220x 得到 -2x2 + 220 > 6000 移项整理, 110x 移项整理,得 x2 - 110 + 3000 < 0. 因为△=100>0, 0,所以方程 110x+3000=0 +3000=0有两个实数根 因为△=100 0,所以方程 x2-110 +3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y= 110x+3000的图象, +3000的图象 由函数 =x2-110 +3000的图象, 得不等式的解为50 50<x<60. 得不等式的解为50 60. 因为x只能取整数 只能取整数, 因为 只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时, 51辆到59辆之间时 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益. 6000元以上的收益 ks5u精品课件 能够获得6000元以上的收益.

例3、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千 1 1 米/小时)有如下关系 s = 20 x + 180 x ,在一次交通事故测得这 种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆车刹车前的车速至少是 多少?(精确到0.01km/h)
2

解:设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h,根据 题意,我们得到 1 x + 1 x2 > 39.5 20 180 移项整理,得 x2 + 9x ? 7110 > 0 2
Q? > 0, 方程x + 9x ? 7110 = 0有2个实根, 即:1 ≈ ?88.94, x2 ≈ 79.94 x 由方程x2 + 9x ? 7110 = 0的图像,可得 不等式 解集 的 为 {x | x < ?88.94,或x > 79.94}

在这个实际问题中,x>0,所以这辆车刹车的车速至少为 79.94km/h。
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习题3.2 A组 第4题 习题 组 题
已知集合A = { x| x ? 16 < 0}, B = {x | x 2 ? 4 x + 3 > 0}, 求A U B 2 解: x ? 16 < 0 , 即( x + 4 )( x ? 4 ) < 0 . Q
2

∴ x1 = 4 , x 2 = ? 4 . ∴ A = { x | ? 4 < x < 4 }

Q x 2 ? 4 x + 3 > 0 , 即( x ? 3 )( x ? 1) > 0
∴ x1 = 3 , x 2 = 1 . ∴ B = { x | x < 1或 3 < x } 故A U B = R
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解 于 等 x ? ax ? 2a < 0. 关 x不 式
2 2

方程x 2 ? ax ? 2a 2 = 0.的判别式? = a 2 + 8a 2 = 9a 2 ≥ 0
得方程的两根为x1 = 2a, x2 = ? a. (1)若a > 0, 则 ? a < x < 2a

(2)若a = 0, 则原不等式为x < 0, 此时解为Φ
2

(3)若a < 0, 则2a < x < ?a.
综上所述,原不等式的 解集为:)当a > 0时,{x | ?a < x < 2a}; (1 (2)当a = 0时, Φ; )当a < 0时,{x | 2a < x < ?a}. (3

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x ? 16 > 0, 可化为不等式组 如 2 x ? 4x + 3
2

{
{

x
x

2

? 16 > 0

x2 ? 4x + 3 > 0
2


? 16 < 0 x2 ? 4x + 3 < 0

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一、一个图 二、解一元二次不等式的步骤
三、解含其他字母的一元二次不等式 四、解分式不等式

有没有作 业?

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一元二次不等式的解法 判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O 的图象 x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 的根 x O 没有实根 x △=0 y △<0 y

有两相等实根 有两相异实根 x1=x2= ? b x1, x2 (x1<x2) 2a

ax2+bx+c>0 或 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 } 的解集

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ
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Φ

解一元二次不等式ax 解一元二次不等式 2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是: 的步骤是: (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) 化成标准形式 ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符合, 判定△ 判定 的符合, 并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; 并求出方程 的实根; (3)写出不等式的解集 写出不等式的解集. 写出不等式的解集
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解 于 等 x ? ax ? 2a < 0. 关 x不 式
2 2

方程x 2 ? ax ? 2a 2 = 0.的判别式? = a 2 + 8a 2 = 9a 2 ≥ 0
得方程的两根为x1 = 2a, x2 = ? a. (1)若a > 0, 则 ? a < x < 2a

(2)若a = 0, 则原不等式为x < 0, 此时解为Φ
2

(3)若a < 0, 则2a < x < ?a.
综上所述,原不等式的 解集为:)当a > 0时,{x | ?a < x < 2a}; (1 (2)当a = 0时, Φ; )当a < 0时,{x | 2a < x < ?a}. (3

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x ? 16 > 0, 可化为不等式组 如 2 x ? 4x + 3
2

{
{

x
x

2

? 16 > 0

x2 ? 4x + 3 > 0
2


? 16 < 0 x2 ? 4x + 3 < 0
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习题3.2
A组 第2题 B组 第2题

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