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二项式定理十大典型例题配套练习


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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 年 级:高二 辅导科目:数学 课 时 数: 3 学科教师:

教学内容

1.二项式定理:
0 n 1 n ?1 r n?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ,

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 ( a ? b) 的二项展开式。
n
r ②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn (r ? 0,1, 2, ???, n) .

③项数:共 (r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 Cn a
r n?r

r n?r r a b 表示。 b r 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn

3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 ( a ? b) 与 (b ? a ) 是不同的。
n n

③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数和等于 n .
0 1 2 r n , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系数是 a 与 b 的系 ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 Cn

数(包括二项式系数) 。 4.常用的结论: 令 a ? 1, b ? x, 令 a ? 1, b ? ? x, 5.性质:
0 n k k ?1 ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn , · · · Cn ? Cn 0 1 2 r n n ②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2 , 0 1 2 2 r r n n (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x (n ? N ? ) 0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? (?1)n Cn x (n ? N ? )

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1

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1 2 r n 变形式 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ? 1 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
0 1 2 3 n 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n Cn ? (1 ? 1) n ? 0 ,

0 2 4 2r 1 3 2 r ?1 从而得到: Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ??? ?

1 n ? 2 ? 2n ?1 2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
0 n 0 1 n ?1 2 n?2 2 n 0 n ( a ? x ) n ? Cn a x ? Cn a x ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 0 n 1 2 2 n?2 n n 0 ( x ? a ) n ? Cn a x ? Cn ax n ?1 ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0

令x ? 1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ?② (a ? 1) n ? (a ? 1) n (奇数项的系数和) 2 (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a1 ? a3 ? a5 ? ? an ? (偶数项的系数和) 2 ① ? ②得, a0 ? a2 ? a4 ? ? an ?
n

⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值。 如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 C
n

n ?1 2 , n

C

n ?1 2 同时取得最大值。 n

⑥系数的最大项:求 (a ? bx) 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为 A1 , A2 , ???, An ?1 ,设第 r ? 1 项系数最大,应有 ?

? Ar ?1 ? Ar ,从而解出 r 来。 ? Ar ?1 ? Ar ? 2

专题一
题型一:二项式定理的逆用;
1 2 3 2 n n ?1 例: Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 6 ? ? ? Cn ? 6 ?

.

n 0 1 2 2 3 3 n n 解: (1 ? 6) ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 6 ? Cn ? 6 ? ? ? Cn ? 6 与已知的有一些差距,

1 2 3 n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ?

1 1 2 n (Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ) 6
2

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?

1 0 1 1 1 2 n (Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ? 1) ? [(1 ? 6) n ? 1] ? (7 n ? 1) 6 6 6
.

1 2 3 n 练: Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n ?1 Cn ? 1 2 3 n 解:设 Sn ? Cn ,则 ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n ?1 Cn

1 2 2 3 3 n n 0 1 2 2 3 3 n n 3Sn ? Cn 3 ? Cn 3 ? Cn 3 ? ? ? Cn 3 ? Cn ? Cn 3 ? Cn 3 ? Cn 3 ? ? ? Cn 3 ? 1 ? (1 ? 3) n ? 1

? Sn ?

(1 ? 3)n ? 1 4n ? 1 ? 3 3

题型二:利用通项公式求 x n 的系数; 例:在二项式 ( 4 解:由条件知 Cn

1 3 2 n ? x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ,求含有 x 3 的项的系数? x
2 ? 45 ,即 Cn ? 45 ,? n2 ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? ?9(舍去)或n ? 10 ,由

n?2

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ( x 3 )r ? C10 x

?

1

2

10? r 2 ? ? r 4 3

,由题意 ?

10 ? r 2 ? r ? 3, 解得r ? 6 , 4 3

6 3 则含有 x 3 的项是第 7 项 T6?1 ? C10 x ? 210 x3 ,系数为 210 。

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数? 2x 1 1 1 r r 18? 2 r r 解: Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? )r ? C9 x (? )r x ? r ? C9 (? )r x18?3r ,令 18 ? 3r ? 9 ,则 r ? 3 2x 2 2 1 3 21 9 3 故 x 的系数为 C9 (? ) ? ? 。 2 2
练:求 ( x 2 ? 题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式 ( x 2 ?

1 2 x

)10 的展开式中的常数项?

r 解: Tr ?1 ? C10 ( x 2 )10? r (

5 20 ? r 45 5 8 1 8 r 1 r ( ) ? ) r ? C10 ( ) x 2 ,令 20 ? r ? 0 ,得 r ? 8 ,所以 T9 ? C10 2 2 256 2 2 x

1

1 6 ) 的展开式中的常数项? 2x 1 3 3 r r 6?r 1 r 6?2 r 解: Tr ?1 ? C6 ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 ,所以 T4 ? (?1) C6 ? ?20 (2 x)6?r (?1)r ( )r ? (?1)r C6 2 ( ) x 2x 2 1 练:若 ( x 2 ? ) n 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? ____. x
练:求二项式 (2 x ?

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4 4 2 n ?12 解: T5 ? Cn ,令 2n ? 12 ? 0 ,得 n ? 6 . ( x 2 ) n ?4 ( ) 4 ? Cn x

1 x

题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式 ( x ? 3 x )9 展开式中的有理项?
r r 解: Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? x 3 )r ? (?1)r C9 x 1 1 27 ?r 6

,令

27 ? r ? Z ,( 0 ? r ? 9 )得 r ? 3或r ? 9 , 6

27 ? r 3 4 x ? ?84 x 4 , ? 4 , T4 ? (?1)3 C9 6 27 ? r 9 3 当 r ? 9 时, x ? ? x3 。 ? 3 , T10 ? (?1)3 C9 6
所以当 r ? 3 时, 题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 例:若 ( x 2 ?

1
3

x 1

2

) n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ,求 n .

解:设 ( x 2 ?

3

x

2

) n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1 , ???an ,

令x ? ?1 ,则有 a0 ? a1 ? ???an ? 0, ①, 令x ? 1 ,则有 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? (?1)n an ? 2n , ②
将①-②得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? ???) ? ?2n , ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? ?2n ?1 , 有题意得, ?2n?1 ? ?256 ? ?28 ,? n ? 9 。 练:若 ( 3

1 5 1 n ? ) 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1024 ,求它的中间项。 x x2
n ?1

0 2 4 2r 1 3 2 r ?1 解:? Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ??? ? 2n ?1 ,? 2

? 1024 ,解得 n ? 11

61 ? 1 6 5 1 5 ?4 15 所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 , T5?1 ? C ( ) ( 2 ) ? 462 ? x , T6?1 ? 462 ? x x x
5 3 n

题型六:最大系数,最大项; 例:已知 ( ? 2 x) n ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项 的系数是多少?
4 6 5 2 解:? Cn ? Cn ? 2Cn ,? n ? 21n ? 98 ? 0, 解出 n ? 7或n ? 14 ,当 n ? 7 时,展开式中二项式系数最大的项是

1 2

35 3 1 4 3 4 1 3 4 T4和T5 ?T4的系数 ? C7 ( ) 2 ? , , T5的系数 ? C7 ( ) 2 ? 70, 当 n ? 14 时,展开式中二项式系数最大 2 2 2 7 1 7 7 的项是 T8 ,?T8的系数 ? C14 ( ) 2 ? 3432 。 2
精锐教育网站:www.1smart.org 4

中国领先的个性化教育品牌 练:在 (a ? b) 2 n 的展开式中,二项式系数最大的项是多少? 解:二项式的幂指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大,即 T2 n
2 ?1

? Tn ?1 ,也就是第 n ? 1项。

练:在 (

x 1 ? 3 ) n 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 2 x

解:只有第 5 项的二项式最大,则

n 1 ? 1 ? 5 ,即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 C86 ( ) 2 ? 7 2 2

练:写出在 ( a ? b) 7 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项? 解:因为二项式的幂指数 7 是奇数,所以中间两项( 第4,5项 )的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有
3 4 3 4 3 4 T4 ? ?C7 a b 的系数最小, T5 ? C7 a b 系数最大。

练:若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 ( ? 2 x) n 的展开式中系数最大的项?
0 1 2 解:由 Cn ? Cn ? Cn ? 79, 解出 n ? 12 ,假设 Tr ?1 项最大,? ( ? 2 x) ? ( ) (1 ? 4 x)

1 2

1 2

12

1 2

12

12

r r r ?1 r ?1 ? ? Ar ?1 ? Ar ?C12 4 ? C12 4 ?? ?? r r ,化简得到 9.4 ? r ? 10.4 ,又? 0 ? r ? 12 ,? r ? 10 ,展开式中系数最 r ?1 r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ? ?C12 4 ? C12 4

大的项为 T11 ,有 T11 ? ( ) C12 4 x
12 10 10

1 2

10

? 16896 x10

练:在 (1 ? 2 x)10 的展开式中系数最大的项是多少? 解:假设 Tr ?1 项最大,? Tr ?1 ? C10 ? 2 x
r r r

r r r ?1 r ?1 ? ? Ar ?1 ? Ar ? 2(11 ? r ) ? r ?C10 2 ? C10 2 ?? ?? r r 解得 ,化简得到 6.3 ? k ? 7.3 ,又? 0 ? r ? 10 , ? r ?1 r ?1 ? r ? 1 ? 2(10 ? r ) ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ? ?C10 2 ? C10 2 ,

7 7 7 2 x ? 15360 x 7 . ? r ? 7 ,展开式中系数最大的项为 T8 ? C10

题型七:含有三项变两项; 例:求当 ( x ? 3 x ? 2) 的展开式中 x 的一次项的系数?
2 5
r 2 5? r r 解法①: ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? [( x 2 ? 2) ? 3x]5 , Tr ?1 ? C5 ( x ? 2) (3x) ,当且仅当 r ? 1 时, Tr ?1 的展开式中才有 x 1 4 4 1 2 4 的一次项,此时 Tr ?1 ? T2 ? C5 ( x ? 2) 3x ,所以 x 得一次项为 C5C4 2 3x 1 4 4 它的系数为 C5C4 2 3 ? 240 。

2 5 5 5 0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 5 解法②: ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ? (C5 x ? C5 x ? ??? ? C5 )(C5 x ? C5 x 2 ? ??? ? C5 2 )

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5

中国领先的个性化教育品牌 故展开式中含 x 的项为 C5 xC5 2 ? C5 x 2 ? 240 x ,故展开式中 x 的系数为 240.
4 5 5 4 4

练:求式子 ( x ?

1 ? 2)3 的常数项? x

解: ( x ?

1 1 1 6 6?r 6?2 r r r ,得 (?1) r x ( ) r ? (?1)6 C6 x ? 2)3 ? ( x ? ) ,设第 r ? 1 项为常数项,则 Tr ?1 ? C6 x x x

3 ? ?20 . 6 ? 2r ? 0 , r ? 3 , ?T3?1 ? (?1)3 C6

题型八:两个二项式相乘; 例: 求(1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中x 的系数.
3 4 2

解:? (1 ? 2 x) 的展开式的通项是C3 ? (2 x) ? C3 ? 2 ? x ,
3 m m m m m n n n n (1 ? x)4的展开式的通项是Cn 4 ? ( ? x) ? C4 ? ?1 ? x , 其中m ? 0,1, 2,3, n ? 0,1, 2,3, 4,

令m ? n ? 2, 则m ? 0且n ? 2, m ? 1且n ? 1, m ? 2且n ? 0,因此(1 ? 2 x)3 (1 ? x) 4
0 2 1 1 0 的展开式中x 2的系数等于C3 ? 20 ? C4 ? (?1)2 ? C3 ? 21 ? C4 ? (?1)1 ? C32 ? 22 ? C4 ? (?1)0 ? ?6 .

练: 求(1 ? 3 x ) (1 ?
6

1 10 ) 展开式中的常数项. 4 x

解: (1 ?

3

x )6 (1 ?

m n 4 m ?3 n ? 1 10 m 3 n m n 4 12 ) 展开式的通项为 C x ? C x ? C ? C ? x 6 10 6 10 4 x

?m ? 0, ?m ? 3, ?m ? 6, 其中m ? 0,1, 2, ???, 6, n ? 0,1, 2, ???,10, 当且仅当4m ? 3n, 即 ? 或? 或? ?n ? 0, ?n ? 4, ?n ? 8,
0 0 3 4 6 8 时得展开式中的常数项为C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? 4246 .

练:已知(1 ? x ? x )( x ?
2

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N *且2 ? n ? 8, 则n ? ______ . 3 x

解: ( x ?

1 n n?r n?4r ) 展开式的通项为Cr ? x ?3r ? Cr , 通项分别与前面的三项相乘可得 n ?x n ?x 3 x

n?4r r r Cr , Cn ? x n?4 r ?1 , Cn ? x n?4 r ? 2 ,? 展开式中不含常数项, 2 ? n ? 8 n ?x

? n ? 4r且n ? 4r ? 1且n ? 4r ? 2,即n ? 4,8且n ? 3,7且n ? 2,6,? n ? 5.
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在( x ? 2)
2006

的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____ .

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6

中国领先的个性化教育品牌 解: 设( x ? 2)
2006

=a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2006 x 2006 -------①

(? x ? 2) 2006 =a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a2006 x 2006 -------② ① ? ②得2(a1 x ? a3 x3 ? a5 x5 ? ? ? a2005 x 2005 ) ? ( x ? 2) 2006 ? ( x ? 2) 2006

1 ? ( x ? 2)2006 展开式的奇次幂项之和为S ( x) ? [( x ? 2)2006 ? ( x ? 2)2006 ] 2
3? 2006

1 2 2 当x ? 2时, S ( 2) ? [( 2 ? 2) 2006 ? ( 2 ? 2) 2006 ] ? ? 2 2
题型十:赋值法;

? ?23008

例:设二项式 (3 3 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若

1 x

p ? s ? 272 ,则 n 等于多少?
0 n 解:若 (3 3 x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n ,有 P ? a0 ? a1 ? ??? ? an , S ? Cn ? ?? ?Cn ? 2n ,

1 x

n 令 x ? 1 得 P ? 4 ,又 p ? s ? 272 ,即 4 ? 2 ? 272 ? (2 ? 17)(2 ? 16) ? 0 解得 2 ? 16或2 ? ?17(舍去) ,
n n n n n n

?n ? 4.
? 1 ? ? 练:若 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为多少? x? ? ? 1 ? n ? 解:令 x ? 1 ,则 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 2 ? 64 ,所以 n ? 6 ,则展开式的常数项为 x? ?
3 C6 (3 x )3 ? (?

n

n

1 3 ) ? ?540 . x

练: 若(1 ? 2 x) 解: 令x ?

2009

? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R), 则

a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009

a a a a a a 1 , 可得a0 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? 0,? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?a0 2 2009 2 2 2 2 2 2 2 22009 a a a 在令x ? 0可得a0 ? 1,因而 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?1. 2 2 2 22009
5 5 4 3 2 1

练: 若( x ? 2) ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____ . 解: 令x ? 0得a0 ? ?32, 令x ? 1得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?1,

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 31.
题型十一:整除性;

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中国领先的个性化教育品牌 例:证明: 32 n ? 2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除 证: 3
2n?2

? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9

0 n ?1 1 n n ?1 2 n 1 n ?1 ? Cn ? Cn ?1 8 ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 0 n ?1 1 n n ?1 2 0 n ?1 1 n n ?1 2 ? Cn ? Cn ? Cn ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8 ?1 8 ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8 ? 8( n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9 ? Cn ?1 8

由于各项均能被 64 整除? 32 n ? 2 ? 8n ? 9(n ? N * )能被64整除

1、(x-1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是 2、 Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ? ? 3 Cn ?
0 1 2 2 n n
11

11

f (1) ? f (?1) ? (?2)11 / 2 ? ?1024 2
2、

2、4

n

3、 ( 3 5 ?

1 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5



王新敞
奎屯

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3、3,9,15,21 4、(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1) 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 展开式系数之和,故令 x=1,则所求和为 3 5、求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数 5、(1 ? x ? x )(1 ? x )
2 10
2 10 4 5 5 5
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5

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9 4 4 ? (1 ? x 3 )(1 ? x )9 ,要得到含 x4 的项, 必须第一个因式中的 1 与(1-x) 展开式中的项 C9 (? x )

作积,第一个因式中的-x 与(1-x) 展开式中的项 C9 ( ? x ) 作积,故 x 的系数是 C9 ? C9 ? 135
3 9

1

4

1

4

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6、求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数
2 10

2

10

3

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(1 ? x )[1 ? (1 ? x )10 ] ( x ? 1)11 ? ( x ? 1) 3 4 ( 1 ? x) ? 6、 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? = ,原式中 x 实为这分子中的 x ,则所 x 1 ? (1 ? x )
求系数为 C11
7
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7、若 f ( x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) (m ? n ? N) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时,x 的系数最小?
m n
2

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8

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2 7、由条件得 m+n=21,x 的项为 C m x ? C n x ,则 C 2 m ? C n ? (n ?
2

2

2

2

2

21 2 399 ) ? . 因 n∈N,故当 n=10 或 11 时上式有 2 4

最小值,也就是 m=11 和 n=10,或 m=10 和 n=11 时,x 的系数最小 8、自然数 n 为偶数时,求证:
2 3 4 n ?1 n ?1 1 ? 2C1 ? Cn n ? Cn ? 2Cn ? Cn ? ? ? 2Cn n ? 3? 2

2

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8、原式= (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ) ? (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? 2 ? 2
0 1 2 n 1 3 5 n

n ?1

n ?1

n ?1

? 3.2 n ?1

9、求 80 被 9 除的余数 9、 80
11

11

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0 1 10 ? (81 ? 1)11 ? C11 8111 ? C11 8110 ? ? ? C11 81 ? 1 ? 81k ? 1(k ? Z ) ,

∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴ 81 被 9 除余 8
2 5

11

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奎屯

新疆

10、在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 10、 ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2)
2 5 5
5

王新敞
奎屯

新疆

5

在(x+1) 展开式中, 常数项为 1, 含 x 的项为 C 5 ? 5x , 在(2+x) 展开式中, 常数项为 2 =32, 含 x 的项为 C 5 2 x ? 80 x
1
5 5

1

4

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80 x) ? 5x(32) ? 240 x ,此展开式中 x 的系数为 240 11、求(2x+1) 展开式中系数最大的项 11、设 Tr+1 的系数最大,则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数,即有
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

12

r r ?1 r r ?1 13? r ?C12 ? 2C12 ? C12 212? r ? C12 2 ? ? r 12? r ? r r ?1 r ?1 ? C12 12 11? r ? C12 2 ?2C12 ? C12

1 1 ? 3 ? r ? 4 ,? r ? 4 3 3
∴展开式中系数最大项为第 5 项,T5= 16C12 x ? 7920 x
4 4 4

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9


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