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【高考解码】(新课标)高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想

【高考解码】 (新课标)2015 届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整 合思想、化归与转化思想
一、分类与整合思想 分类与整合思想又叫分类讨论思想.分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分 各种不同的情况予以分析解决.分类讨论思想覆盖面广,利于考查学生的逻辑思维能力,同 时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,应用分类讨论思想,应注重理解和掌握分 类的原则、方法与技巧,做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗 漏地分析讨论”.在高考中必定考查分类讨论,特别是这几年的压轴题. 预测在 2015 年的高考题中:继续与函数综合考查,结合函数与方程思想以及等价转化思 想,考查学生分析问题、解决问题的能力.分类讨论思想解题的步骤为: (1)确定分类讨论的对象:即对哪个参数进行讨论; (2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层 不越级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决: (4)归纳总结:将各类情况归纳与总结. 1.由概念、法则、公式引起的分类讨论 (1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、 直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负 数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前 n 项和 Sn 公式等. (3)由函数的性质,定理,公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性,基本不等式 等. 2 2 【例 1】 (1)已知圆 x +y =4,则经过点 P(2,4),且与圆相切的直线方程为________. 2 (2)若 loga <1,则 a 的取值范围是( ) 3

? 2? ?2 ? A.?0, ? B.? ,1? ? 3? ?3 ? ? 2? ?2 ? C.?0, ?∪(1,+∞) D.? ,+∞? ? 3? ?3 ? (3)等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值是( ) 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2 【解析】 (1)当直线的斜率不存在时,x=2 与圆相切,合题意.当直线的斜率存在时, |-2k+4| 3 设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y-2k+4=0.由题意得 =2.即 k= ,所以直 2 4 k +1
线方程为 x=2 或 3x-4y+10=0. 2 2 2 2 2 (2)由 loga <1 得 loga <logaa.当 a>1 时,a> ,所以 a>1;当 0<a<1 时,a< ,所以 0<a< . 3 3 3 3 3 2 所以 a 的取值范围是(0, )∪(1,+∞).故选 C. 3 a1-a3q (3)当 q=1 时,S3=3a3=21,∴合题意.当 q≠1 时,S3= =21,且 a3=7,∴q= 1-q

1 - ,故选 C. 2 【答案】 (1)x=2 或 3x-4y+10=0 (2)C (3)C 2.由变量或参数引起的分类讨论 由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致 所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.所以对分类复 杂的参数讨论题,必须科学的选定分类标准,使分类有条不紊,解答自然流畅. 2 【例 2】 已知 a∈R,求函数 f(x)=x |x-a|在区间[1,2]上的最小值. 2 【解】 设函数 f(x)=x |x-a|在区间[1,2]上的最小值为 m. ①当 a≤1 时, 3 2 在区间[1,2]上,f(x)=x -ax , ? 2 ? 2 因为 f′(x)=3x -2ax=3x?x- x?>0,x∈(1,2), ? 3 ? 则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a. ②当 1<a≤2 时, 2 在区间[1,2]上,f(x)=x |x-a|≥0, 由 f(a)=0,知 m=f(a)=0. ③当 a>2 时, 2 3 在区间[1,2]上,f(x)=ax -x , ?2 ? f′(x)=2ax-3x2=3x? a-x?. ?3 ? 若 a≤3,在区间(1,2)上,f′(x)>0,则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=a -1; 2 若 2<a<3,则 1< a<2, 3 2 ? 2 ? 当 1<x< a 时,f′(x)>0,则 f(x)是区间?1, a?上的增函数, 3 ? 3 ? 2 ?2 ? 当 a<x<2 时,f′(x)<0,则 f(x)是区间? a,2?上的减函数, 3 ?3 ? 因此当 2<a<3 时,m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 7 当 2<a≤ 时,4(a-2)≤a-1,故 m=f(2)=4(a-2), 3 7 当 <a<3 时,4(a-2)>a-1,故 m=f(1)=a-1. 2

?0,1<a≤2, ? 7 综上所述,函数的最小值 m=? a- ,2<a≤ , 3 7 ? ?a-1,a>3.
1-a,a≤1, 3.由图形位置或形状引起的分类讨论 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函数图象形状的变化;(4) 直线由斜率引起的位置变化; (5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变 化;(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.

x2 y2 【例 3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆 + =1 的焦距为 2,则 m 的值为( m 8
A.9 B.9 或 16 C.7 D.9 或 7

)

→ → → (2)已知 k∈Z, AB=(k,1), AC=(2,4), 若|AB|≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率为( 1 2 3 4 A. B. C. D. 7 7 7 7

)

【解析】 (1)当焦点在 x 轴上时,2 m-8=2,∴m=9. 当焦点在 y 轴上时,2 8-m=2,∴m=7.故选 D. → → 2 2 (2)由AB=(k,1),且|AB|≤4 得 k +1≤4,∴k ≤15,∴k=-3,-2,-1,0,1,2,3. → → → 当∠A 是直角时,AB·AC=0,∴2k+4=0,∴k=-2,合题意.当∠B 是直角时,BA=(- → → → → → k,-1),BC=BA+AC=(-k+2,3),由BA·BC=0 得(-k)(-k+2)+(-1)×3=0,∴k2- → → → → 2k-3=0,∴k=3 或 k=-1,合题意.当∠C 是直角时,CA=(-2,-4),CB=CA+AB=(k → → -2,-3),由CA·CB=0 得(-2)(k-2)+(-4)(-3)=0,∴k=8,不合题意.故△ABC 是 3 直角三角形的概率为 . 7 【答案】 (1)D (2)C 二、化归与转化思想 高中阶段,几乎每一个题目都要用到这一思想方法,而重视对化归与转化思想的考查, 已是高考数学命题多年来所坚持的方向,并以各种不同的层次融入试题中,通过对转化与化 归思想方法的运用,对考生的数学能力进行区分. 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法,从一种状况 转化为另一种情形,也就是转化到另一种情境,使问题得到解决,这种转化是解决问题的有 效策略.同时也是成功的思维方式. 1.由等与不等引起的化归与转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解 决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可 以将问题化繁为简,一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 2 2 【例 4】 (1)设 x,y 为正实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是________. x x (2)若关于 x 的方程 9 +(4+a)·3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围是________. 2 2 【解析】 (1)∵4x +y +xy=1, 3 3 2x+y 2 2 ∴(2x+y) =3xy+1= ×2xy+1≤ ×( ) +1, 2 2 2 8 2 ∴(2x+y) ≤ , 5 2 10 ∴2x+y 的最大值为 . 5 x (2)设 t=3 ,则原命题等价于关于 t 的方程 2 t +(4+a)t+4=0 有正解. 4 分离变量 a,得 a+4=-(t+ ),

t

4 ∵t>0,∴-(t+ )≤-4,

t

∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8]. 2 10 【答案】 (1) (2)(-∞,-8] 5 2.由特殊与一般引起的化归与转化 特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问 题进行一般化处理的方法.这类转化法一般的解题步骤是: 第一步:确立需转化的目标问题:一般将要解决的问题作为转化目标. 第二步:寻找“特殊元素”与“一般元素”:把一般问题转化为特殊问题时,寻找“特

殊元素”把特殊问题转化为一般问题时,寻找“一般元素”. 第三步:确立新目标问题:根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要 解决问题的关系,确立新的需要解决的问题. 第四步:解决新目标问题:在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题. 第五步:回归目标问题. 第六步:回顾反思:常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 特殊位置等.对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快捷地得 到答案;对于填空题,当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时, 可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.

x2 y2 【例 5】 若椭圆 C 的方程为 + =1,焦点在 x 轴上,与直线 y=kx+1 总有公共点, 5 m 那么 m 的取值范围为________. x2 y2 【解析】 + =1 的焦点在 x 轴上,∴0<m<5. 5 m
又直线与椭圆总有公共点,直线恒过点(0,1), 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上. 2 2 0 1 则 + ≤1,即 m≥1. 5 m 故 m 的取值范围为[1,5). 【答案】 [1,5) 3.由正与反引起的化归与转化 正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,一种充分体现对立统一、相互转化的 思想方法.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较 简单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.

? ? 2 3 【例 6】 若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x +? +2?x -2x 在区间(t,3)上总不为单 ?2 ? 调函数,则实数 m 的取值范围是________. 2 【解析】 g′(x) = 3x + (m + 4)x - 2 ,若 g(x) 在区间 (t,3) 上总为单调函数,则① g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立. 2 2 2 由①得 3x +(m+4)x-2≥0,即 m+4≥ -3x,当 x∈(t,3)时恒成立,∴m+4≥ -3x 恒
m x x
2 2 成立,∴m+4≥-1,∴m≥-5.由②得 3x +(m+4)x-2≤0,即 m+4≤ -3x,当 x∈(t,3)

x

2 37 时恒成立,∴m+4≤ -9,m≤- . 3 3 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为- <m<-5. 3 37 ? ? 【答案】 ?- ,-5? ? 3 ?


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