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10.5 电场强度与电势的微分关系


10.5 电场强度与电势的微分关系
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、

Aab = q∫ E ? dl = q(ua ? ub ) = Wa ?Wb
a

b

讨 论

. A >0 ab

Wa > Wb

2. Aab < 0

Wa < Wb

q>0 q<0

ua > ub
ua < ub

q >0

ua < ub
ua > ub

q<0

一、 等势面 等势面 : 电场中电势相等的点组成的曲面

+

电偶极子的等势面

+

等势面的性质 ⑴等势面与电力线处处正交, 等势面与电力线处处正交, 电力线指向电势降落的方向。 电力线指向电势降落的方向。 ★a,b为等势面上任意两点移动 从a到b 为等势面上任意两点移动q,从 到 为等势面上任意两点移动
a
b

∵ua = ub

Aab = q(ua ? ub ) = 0
π
2
u

★令q在面上有元位移 dl 令 在面上有元位移

dA = qE ? dl = qE cosθdl = 0 ∴θ =
★沿电力线移动 + q 沿电力线移动

c

d

E

Acd = Wc ?Wd = q(uc ? ud ) > 0 ∴uc > ud

⑵等势面较密集的地方场强大,较稀疏的地方场强小。 等势面较密集的地方场强大,较稀疏的地方场强小。 规定:场中任意两相临等势面间的电势差相等 规定 场中任意两相临等势面间的电势差相等

课堂练习:由等势面确定 课堂练习:由等势面确定a、b点的场强大小和方向 点的场强大小和方向 已知 u1 ? u2 = u2 ? u3 > 0
Ea Eb

b
a

u3

u2 u1

二、场强与电势梯度的关系
单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功

u+ du +

u
El

n
a
θ
dl

E ? dl = E cosθdl = u ? (u + du)

b

E cosθdl = ?du
E在 dl方向上的分量
电场强度沿某 一方向的分量 一般

E
El dl = ?du
沿该方向电势的 变化率的负值

du El = ? dl

u = u( x, y, z)
?u ?u Ey = ? Ez = ? ?y ?z

?u 所以 Ex = ? ?x

∴E = Exi + Ey j + Ez k

?u ?u ?u j + k) = ?( i + ?x ?y ?z
u的梯度 gradu 或 的梯度: 的梯度

?u
du E = ? n0 dn

∴E = ?gradu = ??u

的方向与u的梯度反向 即指向u降落的方向 的梯度反向, E的方向与 的梯度反向,即指向 降落的方向 物理意义:电势梯度是一个矢量,它的大小为电势沿 物理意义:电势梯度是一个矢量,它的大小为电势沿 矢量 大小 等势面法线方向的变化率,它的方向 方向沿等势面法线方 等势面法线方向的变化率,它的方向沿等势面法线方 向且指向电势增大的方向。 向且指向电势增大的方向。

例1.利用场强与电势梯度的关系, 计算均匀带电 .利用场强与电势梯度的关系, 细圆环轴线上一点的场强。 细圆环轴线上一点的场强。 解 : u = u( x) =

1 4πε 0

q
2 2

R +x q 1 ?u ? ) ∴Ex = ? =? ( 2 2 ?x 4πε 0 R + x ?x 1 qx = 4 0 ( R2 + x2 )32 πε

Ey = Ez = 0

E = Exi =

1

qx
3 2

4πε0 (R2 + x2 )

i

例2.计算电偶极子电场中任一点的场强 . 1 px 解: u = u( x, y) = 3 2 2 2 4πε 0 ( x + y ) 1 px ?u ? ) Ex = ? = ? ( 3 ?x ?x 4πε0 ( x2 + y2 ) 2

1 px ?u ? ) Ey = ? = ? ( 3 πε ?y ?y 4 0 ( x2 + y2 ) 2
E=?
E=

B点(x=0) 点 A点(y=0) 点

p 4 0y πε
i
3

i

y
?B

p 2πε0 x3

r
?q

?

θ
O l

l

?

+q

A
?

x


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