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安徽省合肥一中2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 z1=(m2+m+1)+(m2+m﹣4)i,m∈R,z2=3﹣2i,则 m=1 是 z1=z2 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

3.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a,b,c 不都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数 5.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.? xα∈R,f(xα)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,xα)单调递减 D.若 xα 是 f(x)的极值点,则 f′(xα)=0 6.用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,由 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应添 加的项是( ) A.2k+1 B.2k+2 C. (2k+1)+(2k+2) D. (k+1)+(k+2)+…+2k 7.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处的切线方程是( ) A.y=2x﹣1 B.y=x C.y=3x﹣2 D.y=﹣2x+3 8.下面使用类比推理正确的是( ) A.直线 a∥b,b∥c,则 a∥c,类推出:向量 ,则

B.同一平面内,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b.类推出:空间中,直线 a,b,c, 若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b

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C. b, b, 实数 a, 若方程 x2+ax+b=0 有实数根, 则 a2≥4b. 类推出: 复数 a, 若方程 x2+ax+b=0 有实数根,则 a2≥4b D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为 x2+y2=r2.类推出:以点(0,0,0)为球 心,r 为半径的球的方程为 x2+y2+z2=r2 9.点 P 是曲线 y=x2﹣1nx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的距离的最小值是( ) A.1 B. C.2 D.2 10.C A.C +C +C B.C +C +…+C C.C 的值为( D.C )

11.若 f(n)为 n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如 142+1=197,1+9+7=17,则 f(14)=17, 记 f1(n)=f(n) ,f2=f(f1(n) )…fk+1=fk(f(n) ) ,k∈N*则 f2016(8)=( ) A.3 B.5 C.8 D.11 12.已知函数 y=f(x)对任意的 x∈(﹣ , )满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中 ) ) C.f(0)>2f( )

f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,则下列不等式成立的是( A. f(﹣ )<f(﹣ f( ) ) B. f( )<f(

D.f(0)>

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.由 1,2,3,4 可以组成 个没有重复数字的正整数. 14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;三维空间中球的二 S=4πr2, V= πr3; 维测度 (表面积) 三维测度 (体积) 四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3, 则猜想其四维测度 W= .

15.已知 an=( )n,把数列{an}的各项排成如下的三角形:

记 A(s,t)表示第 s 行的第 t 个数,则 A(11,12)= . 3 2 16.已知 f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 .

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设复数 Z=lg(m2+2m﹣14)+(m2﹣m﹣6)i,求实数 m 为何值时? (Ⅰ)Z 是实数; (Ⅱ)Z 对应的点位于复平面的第二象限. 18. (1)已知 0<x< ,证明:sinx<x<tanx; 在 x∈(0,π)上为减函数.

(2)求证:函数 f(x)=

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意 n∈N*都有: (Sn﹣1)2=anSn; (1)求 S1,S2,S3; (2)猜想 Sn 的表达式并证明. 20.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1= (Ⅰ)证明数列{ (Ⅱ)求证: .

﹣1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; ai(ai﹣1)<3

21.已知向量 =(ex,lnx+k) , =(1,f(x) ) , ∥ (k 为常数,e 是自然对数的底数) , x y=f x 1 f 1 y F x =xe f x ′( ) 曲线 ( )在点( , ( ) )处的切线与 轴垂直, ( ) . (1)求 k 的值及 F(x)的单调区间; =﹣x2+2ax 1], (2) 已知函数 g (x) (a 为正实数) , 若对任意 x2∈[0, 总存在 x1∈ (0, +∞) , 使得 g(x2)<F(x1) ,求实数 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)= 的图象为曲线 C,函数 g(x)= ax+b 的图象为直线 l.

(1)当 a=2,b=﹣3 时,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的最大值; (2)设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1,x2,且 x1≠x2,求证: (x1+x2)g(x1+x2) >2.

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2015-2016 学年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 z1=(m2+m+1)+(m2+m﹣4)i,m∈R,z2=3﹣2i,则 m=1 是 z1=z2 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据复数相等的条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:当 m=1,则 z1=(m2+m+1)+(m2+m﹣4)i=3﹣2)i,此时 z1=z2,充分性成 立. 若 z1=z2,则 ,







,即 m=1 或 m=﹣2,此时必要性不成立,

故 m=1 是 z1=z2 的充分不必要条件, 故选:A 2.设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】由 f(x)的图象可得在 y 轴的左侧,图象下降,f(x)递减,y 轴的右侧,图象先 下降再上升,最后下降,即有 y 轴左侧导数小于 0,右侧导数先小于 0,再大于 0,最后小 于 0,对照选项,即可判断. 【解答】解:由 f(x)的图象可得,在 y 轴的左侧,图象下降,f(x)递减, 即有导数小于 0,可排除 C,D;
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再由 y 轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降, 函数 f(x)递减,再递增,后递减, 即有导数先小于 0,再大于 0,最后小于 0, 可排除 A; 则 B 正确. 故选:B. 3.由曲线 y= A. B.4 ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6 )

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键, 要确定出曲线 y= , 直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 【解答】解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a,b,c 不都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数 【考点】反证法与放缩法. 【分析】 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 【解答】 解: 根据反证法的步骤, 假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”.
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即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 5.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.? xα∈R,f(xα)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(﹣∞,xα)单调递减 D.若 xα 是 f(x)的极值点,则 f′(xα)=0 【考点】函数在某点取得极值的条件;命题的真假判断与应用. 【分析】利用导数的运算法则得出 f′(x) ,分△>0 与△≤0 讨论,列出表格,即可得出. 2 【解答】解:f′(x)=3x +2ax+b. (1)当△=4a2﹣12b>0 时,f′(x)=0 有两解,不妨设为 x1<x2,列表如下 x x2 (﹣∞,x1) x1 (x1,x2) (x2,+∞) f′(x) 0 0 + ﹣ + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知: ①x2 是函数 f(x)的极小值点,但是 f(x)在区间(﹣∞,x2)不具有单调性,故 C 不正 确. ②∵ +x3+ax2+bx+c= +f(x)= ﹣ +2c, = ∵ ∴点 P +f(x)= , 为对称中心,故 B 正确. ,故 D 正确. ,

③由表格可知 x1,x2 分别为极值点,则

④∵x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即? xα ∈R,f(xα)=0,故 A 正确. (2)当△≤0 时, ,故 f(x)在 R 上单调递增,①此时不存在极

值点,故 D 正确,C 不正确; ②B 同(1)中②正确; ③∵x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即? xα ∈R,f(xα)=0,故 A 正确. 综上可知:错误的结论是 C. 由于该题选择错误的,故选:C. 6.用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,由 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应添 加的项是( ) A.2k+1 B.2k+2 C. (2k+1)+(2k+2) D. (k+1)+(k+2)+…+2k
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【考点】数学归纳法. 【分析】由数学归纳法可知 n=k 时,左端为 1+2+3+…+2k,到 n=k+1 时,左端左端为 1+2+3+…+2k+(2k+1)+(2k+2) ,从而可得答案. 【解答】解:∵用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=n(2n+1)时, 当 n=1 左边所得的项是 1+2; 假设 n=k 时,命题成立,左端为 1+2+3+…+2k) ; 则当 n=k+1 时,左端为 1+2+3+…+2k+(2k+1)+(2k+2) , ∴由 n=k 到 n=k+1 时需增添的项是(2k+1)+(2k+2) . 故选:C. 7.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处的切线方程是( ) A.y=2x﹣1 B.y=x C.y=3x﹣2 D.y=﹣2x+3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由 f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,可求 f(1)=1,对函数求导可得,f′(x)=﹣ 2f′(2﹣x)﹣2x+8 从而可求 f′(1)=2 即曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率 k=f′ (1)=2,进而可求切线方程. 【解答】解:∵f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,∴f(1)=2f(1)﹣1∴f(1)=1 ∵f′(x)=﹣2f′(2﹣x)﹣2x+8 ∴f′(1)=﹣2f′(1)+6∴f′(1)=2 根据导数的几何意义可得,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率 k=f′(1)=2 ∴过(1,1)的切线方程为:y﹣1=2(x﹣1)即 y=2x﹣1 故选 A. 8.下面使用类比推理正确的是( ) ,则

A.直线 a∥b,b∥c,则 a∥c,类推出:向量

B.同一平面内,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b.类推出:空间中,直线 a,b,c, 若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b C. b, b, 实数 a, 若方程 x2+ax+b=0 有实数根, 则 a2≥4b. 类推出: 复数 a, 若方程 x2+ax+b=0 有实数根,则 a2≥4b D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为 x2+y2=r2.类推出:以点(0,0,0)为球 心,r 为半径的球的方程为 x2+y2+z2=r2 【考点】类比推理. 【分析】本题考查的知识点是类比推理,我们根据判断命题真假的办法,对四个答案中类比 所得的结论逐一进行判断,即可得到答案. 【解答】解:对于 A, = 时,不正确; 对于 B,空间中,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b 或 a⊥b 或相交,故不正确; 对于 C,方程 x02+ix0+(﹣1±i)=0 有实根,但 a2≥4b 不成立,故 C 不正确; 对于 D,设点 P(x,y,z)是球面上的任一点,由|OP|=r,得 x2+y2+z2=r2,故 D 正确. 故选:D. 9.点 P 是曲线 y=x2﹣1nx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的距离的最小值是( A.1 B. C.2 D.2
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【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两点间的距离公式. 【分析】画出函数的图象,故当点 P 是曲线的切线中与直线 y=x﹣2 平行的直线的切点时, 然后求解即可. 【解答】解:由题意作图如下,

当点 P 是曲线的切线中与直线 y=x﹣2 平行的直线的切点时,最近; 故令 y′=2x﹣ =1 解得,x=1; 故点 P 的坐标为(1,1) ; 故点 P 到直线 y=x﹣2 的最小值为 故选:B. = ;

10.C A.C

+C

+C B.C

+C

+…+C C.C

的值为( D.C



【考点】组合及组合数公式. 【分析】利用组合数公式解答. 【解答】解:原式= +…+C 故选 D 11.若 f(n)为 n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如 142+1=197,1+9+7=17,则 f(14)=17, 记 f1(n)=f(n) ,f2=f(f1(n) )…fk+1=fk(f(n) ) ,k∈N*则 f2016(8)=( ) A.3 B.5 C.8 D.11 【考点】归纳推理. 【分析】根据题中的对应法则,算出 f1(8) 、f2(8) 、f3(8) 、f4(8)的值,从而发现规律 * fk+3(8)=fk(8)对任意 k∈N 成立,由此即可得到答案. 【解答】解:∵82+1=65,∴f1(8)=f(8)=6+5=11, 同理,由 112+1=122 得 f2(8)=1+2+2=5;由 52+1=26,得 f3(8)=2+6=8,
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+C = =

+C

+C ;

+… +C

=

+C

+C

+…+C

=

+C

=

+C

可得 f4(8)=6+5=11=f1(8) ,f5(8)=f2(8) ,…, * ∴fk+3(8)=fk(8)对任意 k∈N 成立 又∵2016=3×672, ∴f2016(8)=f2013(8)=f2000(8)=…=f3(8)=8. 故选:C.

12.已知函数 y=f(x)对任意的 x∈(﹣



)满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中 ) ) C.f(0)>2f( )

f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,则下列不等式成立的是( A. f(﹣ )<f(﹣ f( ) ) B. f( )<f(

D.f(0)>

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据条件构造函数 g(x)= 的关系即可得到结论. 【解答】解:构造函数 g(x)= , ,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间

则 g′(x)=

=

(f′(x)cosx+f(x)sinx) ,

∵对任意的 x∈(﹣



)满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0, , )单调递增,

∴g′(x)>0,即函数 g(x)在 x∈(﹣

则 g(﹣

)<g(﹣

) ,即





,即

f(﹣

)<f(﹣

) ,故 A 正确.

g(0)<g(

) ,即



∴f(0)<2f( 故选:A.

) ,

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.由 1,2,3,4 可以组成 64 个没有重复数字的正整数.
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【考点】计数原理的应用. 【分析】根据数位的个数分为 4 类,根据分类计数原理得到结果. 【解答】解:根据数位的个数分为 4 类,故 A41+A42+A43+A44=64. 故答案为:64. 14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;三维空间中球的二 S=4πr2, V= πr3; 维测度 (表面积) 三维测度 (体积) 四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3, 则猜想其四维测度 W= 2πr4 . 【考点】类比推理. 【分析】 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度, 从而得 到 W′=V,从而求出所求. 【解答】解:∵二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发 现 S′=l 三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V= πr3,观察发现 V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3,猜想其四维测度 W,则 W′=V=8πr3; ∴W=2πr4; 故答案为:2πr4 15.已知 an=( )n,把数列{an}的各项排成如下的三角形:

记 A(s,t)表示第 s 行的第 t 个数,则 A(11,12)=



【考点】归纳推理. 【分析】观察发现:数阵由连续的项的排列构成,且第 m 行有 2m﹣1 个数,根据等差数列 求和公式,得出 A(11,12)是数阵中第几个数字,即时数列{an}中的相序,再利用通项公 式求出答案. 【解答】解:由数阵可知,A(11,12)是数阵当中第 1+3+5+…+17+19+12=112 个数据, 也是数列{an}中的第 112 项, 而 a112= , .

所以 A(11,12)对应于数阵中的数是 故答案为: .

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16.已知 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 ②③ . 【考点】命题的真假判断与应用;函数在某点取得极值的条件. 【分析】f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值 点 1,3 及 a、b、c 的大小关系,由此可得结论 【解答】解:求导函数可得 f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1) (x﹣3) ∵a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. ∴a<1<b<3<c 设 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc ∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc ∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9 ∴b+c=6﹣a ∴bc=9﹣a(6﹣a)< ∴a2﹣4a<0 ∴0<a<4 ∴0<a<1<b<3<c ∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0 ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0 故答案为:②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设复数 Z=lg(m2+2m﹣14)+(m2﹣m﹣6)i,求实数 m 为何值时? (Ⅰ)Z 是实数; (Ⅱ)Z 对应的点位于复平面的第二象限. 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】 (Ⅰ)Z 是实数,即虚部为零,令 m2﹣m﹣6=0,解之即可; (Ⅱ)Z 对应的点位于复平面的第二象限,可得实部为负,虚部为正,由此关系即可解得. 【解答】解: (I)Z 是实数,则有 m2﹣m﹣6=0,解得 m=3,或 m=﹣2; 又当 m=﹣2 时,m2+2m﹣14<0,所以 Z 是实数时,m=3; (II)Z 所对的点位于第二象限,则有 0<m2+2m﹣14<1 且 m2﹣m﹣6>0 解得﹣5<m<﹣1﹣

18. (1)已知 0<x<

,证明:sinx<x<tanx; 在 x∈(0,π)上为减函数.

(2)求证:函数 f(x)=

【考点】利用导数研究函数的单调性;三角函数线. 【分析】 (1)构造函数 f(x)=x﹣sinx,g(x)=tanx﹣x,求导,即可证明;
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(2)直接求导,讨论 【解答】证明: (1)当 0<x< 则 f′(x)=1﹣cosx>0,g′(x)= 故 f(x)和 g(x)在(0,

两种情况(利用第一问结论) . 时,令 f(x)=x﹣sinx,g(x)=tanx﹣x, ﹣1>0,

)上单调递增,

故 f(x)>f(0)=0,g(x)>g(0)=0, ∴x>sinx,且 tanx>x,∴sinx<x<tanx. (2)f(x)= 直接求导,f′(x)=

0<x<

,x<tanx,∴xcosx<sinx,∴xcosx﹣sinx<0,∴f′(x)<0,在 x∈(0,



上为减函数. ≤x<π,xcosx≤0,sinx>0,∴xcosx﹣sinx<0,∴f′(x)<0,在 x∈[ 函数. 综上所述,函数 f(x)= 在 x∈(0,π)上为减函数. ,π)上为减

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意 n∈N*都有: (Sn﹣1)2=anSn; (1)求 S1,S2,S3; (2)猜想 Sn 的表达式并证明. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (1)由(Sn﹣1)2=anSn,可得 Sn= (2)猜想 ,再用数学归纳法证明. ,即可求 S1,S2,S3;

【解答】解: (1)∵(Sn﹣1)2=anSn, ∴ ,

∴Sn= 又 ∴S1= , (2)猜想



, , , .下面用数学归纳法证明:

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1°当 n=1 时,

,猜想正确; ,

2°假设当 n=k 时,猜想正确,即

那么,n=k+1 时,由

,猜想也成立,

综上知,

对一切自然数 n 均成立.

20.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=



(Ⅰ)证明数列{ (Ⅱ)求证:

﹣1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; ai(ai﹣1)<3

【考点】等比关系的确定;数列递推式;不等式的证明. 【分析】 (1)对 an+1= 两边求倒数得 ﹣1= ( ﹣1) ,由 a1=2 得出数列{ ﹣

1}是首项为﹣ ,公比为 的等比数列.写出其通项公式化简可得数列{an}的通项公式; (2)利用 ai(ai﹣1)= =



=



证出即可.

【解答】 (Ⅰ)解:由 a1=2,an+1=

得,对 n∈N*,an≠0.

从而由 an+1= ﹣1= (

两边取倒数得,

= +





﹣ 1) ,

∵a1=2, ∴数列{ ∴

﹣1=﹣ . ﹣1}是首项为﹣ ,公比为 的等比数列. =﹣

﹣1=﹣ ?

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=1﹣

=

.∴an=



故数列{an}的通项公式是 an=



(Ⅱ)∵an=





ai(ai﹣1)=

(i=1,2, ,n) ,

当 i≥2 时, ∵ai(ai﹣1)= < = = ﹣

, ∴ai(ai﹣1)=a1(a1﹣1)+a2(a2﹣1)+…+an(an﹣1) = + +… +



+(



)+(



)+…+(





=2+1﹣

=3﹣

<3.

21.已知向量 =(ex,lnx+k) , =(1,f(x) ) , ∥ (k 为常数,e 是自然对数的底数) , x 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴垂直,F(x)=xe f′(x) . (1)求 k 的值及 F(x)的单调区间; =﹣x2+2ax 1], (2) 已知函数 g (x) (a 为正实数) , 若对任意 x2∈[0, 总存在 x1∈ (0, +∞) , 使得 g(x2)<F(x1) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)利用向量平行的条件求出函数 y=f(x) ,再求出此函数的导函数,函数在点(1, f(1) )处的切线与 x 轴平行,说明 f′(1)=0,则 k 值可求;从而得出 F(x)的解析式,求 出函数 F(x)的定义域,然后让导函数等于 0 求出极值点,借助于导函数在各区间内的符 号求函数 F(x)的单调区间.

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(II)对于任意 x2∈[0,1],总存在 x1∈(0,+∞) ,使得 g(x2)<F(x1) ,等价于 g(x) max<F(x)max,再求得 F(x)取得最大值;利用二次函数的图象,对 a 进行分类讨论,得 出 g(x)在[0,1]上的最大值,由 g(x)在[0,1]上的最大值小于 F(x)max 得 a 的范围, 结合分类时 a 的范围得 a 的取值范围. 【解答】解: (I)由已知可得:f(x)= ,





由已知, ∴k=1… ∴F(x)=xexf'(x)= 所以 F'(x)=﹣lnx﹣2… 由 由 ∴F(x)的增区间为







,减区间为



(II)∵对于任意 x2∈[0,1],总存在 x1∈(0,+∞) ,使得 g(x2)<F(x1) , ∴g(x)max<F(x)max… 由(I)知,当 时,F(x)取得最大值 .…

对于 g(x)=﹣x2+2ax,其对称轴为 x=a 当 0<a≤1 时, ∴ ,从而 0<a≤1… ,

当 a>1 时,g(x)max=g(1)=2a﹣1, ∴ 综上可知: ,从而 … …

22.已知函数 f(x)=

的图象为曲线 C,函数 g(x)= ax+b 的图象为直线 l.

(1)当 a=2,b=﹣3 时,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的最大值; (2)设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1,x2,且 x1≠x2,求证: (x1+x2)g(x1+x2) >2. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;分析法和综合法.

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【分析】 (1)由 a=2,b=﹣3,知

,x∈(0,

1) ,F'(x)>0,F'(x)单调递增,x∈(1,+∞) ,F'(x)<0,F'(x)单调递减,由此能 求出 F(x)=f(x)﹣g(x)的最大值. (2)设 x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证 由此入手,能够证明(x1+x2)g(x1+x2)>2. 【解答】解: (1)∵ , ,

, x∈(0,1) ,F'(x)>0,F'(x)单调递增, x∈(1,+∞) ,F'(x)<0,F'(x)单调递减, ∴F(x)max=F(1)=2 g (2) 不妨设 x1<x2, 要证 (x1+x2) (x1+x2) >2, 只需证 ,











,即

,∴





,x∈(x1,+∞) .只需证 ,

,令

,则

,G(x)在

x∈(x1,+∞)单调递增. G(x)>G(x1)=0,∴H′(x)>0,∴H(x)在 x∈(x1,+∞)单调递增.H(x)>H (x1)=0,

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H(x)=(x+x1)ln

﹣2(x﹣x1)>0,∴(x1+x2)g(x1+x2)>2.

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2016 年 9 月 1 日

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