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高三一轮总复习理科数学新课标第5章-第4节_图文

高三一轮总复习数学· 新课标(理科)

自 主 落 实 · 固 基 础

第四节
考纲传真

数列求和

高 考 体 验 · 明 考 情

1.掌握等差、 等比数列的前 n 项和公式.2.掌握

典 例 探 究 · 提 知 能

特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.
课 时 作 业





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自 主 落 实 · 固 基 础

1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? na1+n?n-1?d 2 Sn= = ; 2 (2)等比数列的前 n 项和公式: ?na1,q=1, ? Sn=?a1-anq a1?1-qn? = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q
菜 单

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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2.倒序相加法
自 主 落 实 · 固 基 础

如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两 项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和 即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法 推导的.

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典 例 探 究 · 提 知 能

3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的, 这个数列的前 n 项和可用错位相减法.
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4.裂项相消法
自 主 落 实 · 固 基 础

(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项 可以相互抵消,从而求得其和. (2)裂项时常用的三种变形: 1 1 1 ① =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1? ? 1 ② =2?2n-1-2n+1? ?; ?2n-1??2n+1? ? ? ③ 1 n+ n+1 = n+1- n.

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5.分组求和法
自 主 落 实 · 固 基 础

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而 后相加减. 6.并项求和法

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典 例 探 究 · 提 知 能

一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并 项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12 =(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.
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1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n

高 考 体 验 · 明 考 情

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a1-an+1 项和 Sn= .( 1-q

) )
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1 ? 1 1? ? 1 (2)当 n≥2 时, 2 =2?n-1-n+1? ( ? n -1 ? ?





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自 主 落 实 · 固 基 础

(3)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 之和时只要把上式等号 两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得( )

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(4)如果数列{an}是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期
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数列,那么 Skm=mSk(
【答案】

)
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(1)√ (2)√ (3)× (4)√





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2.(人教 A 版教材习题改编)一个球从 100 m 高处自由落 下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第 10 次 着地时,经过的路程是( ) B.100+100(1-2-9) D.100(1-2-9)

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A.100+200×(1-2-9) C.200(1-2-9)

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【解析】

第 10 次着地时,经过的路程为


100+2(50+25+?+100×2 9) =100+2×100×(2-1+2-2+?+2-9) 2-1?1-2-9? =100+200× 1-2-1 =100+200(1-2-9).
【答案】 A

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3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+ a2+?+a10=( A.15 【解析】 ) B.12 C.-12 D.-15

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∵an=(-1)n(3n-2),

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∴a1+a2+?+a10=(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+ 28)=3×5=15.
【答案】 A
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4 . (2014· 昆 明 模 拟 ) 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an =
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1 n+ n+1

;若前 n 项和为 10,则项数 n 为( B.99

)

A.120

C.11 D.121 n+1- n 【解析】 an= = n+1- n, ? n+1+ n?? n+1- n?
所以 a1+a2+?+an

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=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n) = n+1-1=10. 即 n+1=11,∴n+1=121,n=120.
【答案】
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A

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? ?5n+1 n是奇数, 5.数列{an}的通项公式 an=? n 则这 2 n是偶数, ? ? 2 个数列的前 2m 项的和是________.

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【解析】
典 例 探 究 · 提 知 能

数列{an}的奇数项组成首项为 6,公差为 10

的等差数列,偶数项组成首项为 2,公比为 2 的等比数列, m?m-1? 2?1-2m? 2 m+1 则 S2m=6m+ × 10 + = 5 m + m + 2 -2. 2 1-2
【答案】 5m2+m+2m+1-2
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考向 1 分组转化法求和 【例 1】 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、 二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在 下表的同一列.

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第一行 第二行 第三行

第一列 第二列 第三列 3 2 10 6 4 14 9 8 18

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(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足: bn=an+(-1)nln an, 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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【思路点拨】 (1)对 a1 分别为 3,2,10 时,逐一检验,可
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求 a2,a3; (2)bn 由几部分组成,可先分组,再分 n 为奇数与偶数两 种情况求解.
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【尝试解答】

(1)当 a1=3 时,不合题意;

当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比 q=3,故 an=2· 3n 1.


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(2)因为 bn=an+(-1)nln an=2· 3n 1+(-1)nln (2· 3n 1)=
- -

2· 3

n-1

+(-1) [ln 2+(n-1)ln 3]=2· 3

n

n-1

+(-1) (ln 2-ln 3)+

n

(-1)nnln 3,

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所以 Sn = 2(1 + 3 + ? + 3n - 1) + [ - 1 + 1 - 1 + ? + ( -
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1)n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+?+(-1)nn]ln 3,所以当 n 为 偶数时, 1-3n n n n Sn=2× + ln 3=3 +2ln 3-1; 1-3 2
?n-1 ? 1-3n ? ? 当 n 为奇数时, Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? - n ?ln 3 2 1-3 ? ?

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n-1 =3 - 2 ln 3-ln 2-1.
n

? n n ?3 +2ln 3-1,n为偶数, 综上所述,Sn=? ?3n-n-1ln 3-ln 2-1,n为奇数. 2 ?
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规律方法 1

某些数列的求和是将数列分解转化为若干

个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就要 通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理

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分解转化,特别注意在含有字母的数字中对字母的讨论.
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变式训练 1 若数列{an}是

? 1? ? 1 1? 1,?1+2?,?1+2+4?,?, ? ? ? ?

? 1 1 1 ? ? ? 1 + + +?+ - n 1 ? ?,?,试求数列{an}的前 n 2 4 2 ? ? ?1? 1-?2?n 1 1 1 ? ?

项和 Sn.

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【解】 an=1+2+4+?+
? 1? =2?1-2n?, ? ?

= 2n-1

1 1-2
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?? ? 1? ? 1 ? 1 ?? ∴Sn=2??1-2?+?1-22?+?+?1-2n?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 ?? 1 =2? ?1+1+?+1? -?2+22+?+2n??) ? ? ??
n个

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1 ?? ? 1? 1-2n?? ? 2? ? ? ? =2?n- 1 ? 1- ? 2 ? ?
? ? 1 ?? 1 =2?n-?1-2n??=2n-2+ n-1. 2 ? ? ??

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考向 2

裂项相消法求和 (2013· 江西高考)正项数列{an}的前 n 项和 Sn

【例 2】

2 2 满足:S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0. n n

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(1)求数列{an}的通项公式 an;
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n+1 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明: ?n+2?2a2 n 5 对于任意的 n∈N ,都有 Tn<64.
*
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【思路点拨】
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(1)根据已知条件构造等价的关系式结合
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Sn 与 an 的关系求解;(2)由(1)的结论先求出数列{bn}的通项公 式,根据裂项求和法求出其前 n 项和,通过放缩法证明不等 式.
【尝试解答】
2 2 (1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,

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得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于数列{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上可知,数列{an}的通项 an=2n.
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n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= 2 2, ?n+2? an 1 ? n+1 1? ?1 ? - 2 则 bn= 2 = . 2 2 ? ? n ? n + 2 ? 16 4n ?n+2? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn = 16 1 - 32 + 22 - 42 + 32 - 52 + ? + - + ?n-1?2 ?n+1?2 1? 5 1 1 1 1 1 1 1? ?1+ 2?= . 1 + 2- 2- 2= 2- 2< n ?n+2? 16 2 ?n+1? ?n+2? 16? 2 ? 64

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规律方法 2

裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂

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成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要
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注意消去了哪些项,保留了哪些项.从而达到求和的目的.
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变式训练 2
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(2014· “江南十校”联考) 在等比数列{an}
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中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1,a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正 1 1 1 1 整数 k,使得S +S +S +?+S <k 对任意 n∈N*恒成立.若 n 1 2 3

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存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由.

【解】 (1)设数列{an}的公比为 q,由题意可得 a3=16, ∵a3-a2=8,则 a2=8,∴q=2.a1=4, ∴an=2n+1.
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(2)∵bn=log42
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n+1

n+1 = 2 ,
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n?n+3? ∴Sn=b1+b2+?+bn= 4 . 1 ? 1 4 4? ?1 ∵S = =3?n-n+3? ?, n ? n + 3 ? n ? ? 1 1 1 1 ∴S +S +S +?+S n 1 2 3 1 1 ? 4? ?1 1 1 1 1 1 =3?1-4+2-5+3-6+?+n-n+3? ? ? ? 1 1 1 1 1 ? 4? ? ? 22 =3?1+2+3-n+1-n+2-n+3?< 9 , ? ? ∴存在正整数 k 的最小值为 3.
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考向 3 错位相减法求和
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【例 3】 (2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ 2n =λ(λ 为常 数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
【思路点拨】 (1)建立关于 a1,d 的方程组求解;

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(2)根据 Tn 求 bn,再求 cn,用错位相减法求 Rn.





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【尝试解答】 d.

(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为

由 S4=4S2,a2n=2an+1,得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

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因此 an=2n-1,n∈N*.

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(2)由题意知 Tn=λ-
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, 2n-1 n
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n

n-1 n-2 所以当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2
?1? - 2n-2 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)?4?n 1,n∈N*. 2 ? ?

所以
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?1? ?1? ?1? ?1? 0 1 2 Rn=0×?4? +1×?4? +2×?4? +3×?4?3+?+(n- ? ? ? ? ? ? ? ?

?1? - 1)×?4?n 1, ? ? ?1? ?1? ?1? ?1? - 1 1 2 3 则4Rn=0×?4? +1×?4? +2×?4? +?+(n-2)×?4?n 1+ ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? (n-1)×?4?n. ? ?
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两式相减得
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1 ?1?n ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 12 13 1 n-1 1 n 4 ?4? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = R + + + ? + - ( n - 1) × n= 4 1 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1-4
?1? -(n-1)×?4?n ? ?

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1 1+3n?1?n =3- 3 ?4? , ? ? 整理得 3n+1? 1? ? Rn=9?4- n-1 ? ?. 4 ? ?
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3n+1? 1? ? 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn=9?4- n-1 ? ?. 4 ? ?
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规律方法 3

1.如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数

列, 求数列{an· bn}的前 n 项和时, 可采用错位相减法求和. 一 般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比, 若{bn}的公比为参 数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论.

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2. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”.即公比 q 的同次幂项相减,转化为等比数列求和.
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变式训练 3 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= 2Sn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an;

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(2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
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【解】

(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,

∴Sn+1=3Sn. 又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,因此 Sn =3n 1(n∈N*).


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当 n≥2 时,an=2Sn-1=2· 3n-2(n≥2), ∴数列{an}的通项公式
? n=1, ?1, an=? n-2 ? 3 ,n≥2. ?2·
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(2)Tn=a1+2a2+3a3+?+nan.
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-1

当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4· 30+6· 31+?+2n· 3n-2,① 3Tn=3+4· 31+6· 32+?+2n· 3n-1,② ①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+?+3n-2)-2n· 3n 3?1-3n-2? =2+2· -2n· 3n-1=-1+(1-2n)· 3n-1, 1-3 1 1 n -1 ∴Tn=2+(n-2)· 3 (n≥2). 又∵T1=a1=1 也满足上式, 1 1 n -1 ∴Tn=2+(n-2)· 3 (n∈N*).
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一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项, 然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方 法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.

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两个提醒 1.裂项相消法,分裂通项是否恰好等于相应的两项之 差. 2.在正负项抵消后,是否只剩下第一项和最后一项,还 是前面剩下两项,后面也剩下两项.
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数列求和是高考的热点,主要涉及等差、等比数列求和、错 位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和,题目呈现方 式多样,在选择题、填空题中以考查基础知识为主,在解答 题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主,求解的关键 是抓住通项公式的特征,正确变形,分清项数求和.

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易错辨析之四
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通项遗漏导致错位相减求和错误
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(2012· 浙江高考改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n-3,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3, n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

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【错解】

(1)由 Sn=2n2+n-3,得

n≥2 时,Sn-1=2(n-1)2+(n-1)-3, ∴an=2n2-2(n-1)2+1=4n-1, 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,n∈N*.
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(2)由(1)知 anbn=(4n-1)· 2n 1,n∈N*,


所以 Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1)· 2n 1,


2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5)· 2n 1+(4n-1)· 2n,


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所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+?+2n 1)]=(4n


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-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.
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错因分析:(1)求 an,忽视 n=1 的情形,错求 an,导致 后续问题不能正确求解.

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(2)错位相减求和时,弄错等比数列的项数,盲目认为除首、 末项外成等比数列.

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防范措施:(1)由 Sn 求 an,当 n=1 时,a1=S1 检验是否 满足 an=Sn-Sn-1(n≥2),若不满足,应分段表示 an,从而求 Tn 时,应分类讨论. (2)由于{anbn}的通项分段表示,求 Tn 时,不仅要注意对

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

n 进行讨论,而且在写出“Tn”与“qTn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”.即公比 q 的同次幂项相减,转化为等 比数列求和.
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【正解】

(1)在错解中,补上当 n=1 时,a1=S1=0,

不适合 an=4n-1(n≥2), 因此
? ?0 an=? ? ?4n-1

?n=1?, ?n≥2?,

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3 ∴a1=4log2b1+3,∴b1=2-4, 3 ? ?2- ?n=1?, 4 于是 bn=? n -1 ? ?n≥2?. ?2
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(2)Tn=a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn,
自 主 落 实 · 固 基 础

3 当 n=1 时,T1=a1b1=0×2-4=0, 当 n≥2 时,Tn=7×2+11×22+15×23+?+(4n-1)· 2n
-1

, ∴2Tn=7×22+11×23+?+(4n-5)· 2n-1+(4n-1)· 2n, 则 Tn=2Tn-Tn=(4n-1)· 2n-14-4(22+23+?+2n-1)=

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2 n 2 4 × 2 ? 1 - 2 ? n (4n-1)· 2 -14- =(4n-5)· 2n+2, 1-2


又 n=1 时,T1=0 适合上式, 故 Tn=(4n-5)· 2n+2,n∈N*.
菜 单

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1. (2012· 大纲全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,
? ? 1 ? ? ? a5=5,S5=15,则数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

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100 项和为( 101 D.100

)

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100 A.101

99 B.101

99 C.100

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【解析】
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设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.
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∵a5=5,S5=15, ?a1+4d=5, ? ∴? 5×?5-1? 5a + d=15, ? 2 ? 1 ∴an=a1+(n-1)d=n.
? ?a1=1, ∴? ? ?d=1,

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1 1 1 1 ∴ = = - , anan+1 n?n+1? n n+1
? ? 1 ? ? ∴数列?a a ?的前 ? n n+1? ? ?

1 1 1 1 100 项和为 1-2+2-3+?+100-

1 1 100 101=1-101=101.
【答案】 A
菜 单

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2.(2014· “江南十校”联考)若数列{an}为等比数列,且 1 1 1 a1=1,q=2,则 Tn=a a +a a +?+ 的结果可化为 anan+1 1 2 2 3 ( 1 A.1-4n 1 B.1-2n 1? 2? D.3?1-2n? ? ? )

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1? 2? C.3?1-4n? ? ?

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【解析】

an=2

n-1

?1? - 1 ,设 bn= =?2?2n 1, anan+1 ? ?

1? 1? ?1- n? ? ? ? ? 1 2n-1 2? 4 ? 1 13 则 Tn=b1+b2+?+bn=2+?2? +?+?2? = 1 ? ? ? ? 1-4 1? 2? =3?1-4n?. ? ?

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【答案】

C

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课时作业(三十二)

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