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高中数学典型例题解析:第九章


第九章
一、知识导学

计数原理与概率
计数原理

§9.1

1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第 1 类办法中,有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中,有 m2 种不同的方法,??在第n类办法中,有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N= m1 + m2 +??+ mn 种不同的方法. 2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1 步,有 m1 种不同的方法, 做第 2 步,有 m2 种不同的方法,??做第n步,有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有 N= m1 × m2 ×?× mn 种不同的方法. 注:分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1.分类原理中分类的理解:“完成一件事,有n类办法”这是对完成这件事的所有办 法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点,确定一个适合它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类,其次,分类时要注意满足两条基本原则:第一,完成这件事的任何一种方 法必须属于某一类;第二,分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事 的立法不遗漏,后者保证不重复. 2.分步原理中分步的理解:“完成一件事,需要分成n个步骤”这就是说完成这件事 的任何一种方法,都要完成这n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个可行的分 步标准,其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才 算最终完成. 3. 两个原理的区别在于一个和分类有关, 一个和分步有关.如果完成一件事有n类办法, 这n类办法彼此之间是相互独立的, 无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事, 求完 成这件事的方法种数,就用分类计数原理.如果完成一件事,需分成n个步骤,缺一不可, 即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求 完成这件事的方法种数,就用分步计数原理. 4.在具体解题时,常常见到某个问题中,完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一 种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线. 5.在有些问题中,还应充分注意到在完成某件事时,具体实践的可行性.例如:从甲地 到乙地 ,要从甲地先乘火车到丙地,再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种 不同的走法?这个问题中,必须注意到发车时刻,所限时间,答案较多. 三、经典例题导讲 [例 1]体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的 方案有 ( ) A.12 种 B.7 种 C.24 种 D.49 种 [例 2]从 1,2,3,?,10 中选出 3 个不同的数,使这三个数构成等差数列,则这样的数列共 有多少个?
1

[例 3]三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6,若将三张卡片并列,可得到几个不 同的三位数(6 不能作 9 用). [例 4]集合 A={1,2,3,4},集合 B={-1,-2},可建立多少个以 A 为定义域 B 为值 域的不同函数? [例 5] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个数字不重复的大于 3000,小于 5421 的四位数? 四、典型习题导练 1.将 4 个不同的小球放入编号为 1、2、3 的三个不同的盒子中,其中每个盒子都不空的放 法共有( ) A. 3 种
4

B. 4 种

3

C.18 种

D.36 种

2.集合 A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从 A、B 中各取 1 个元素作为占点 P 的 坐标.(1)可以得到多少个不同的点? (2)在这些点中位于第一象限的点有几个? 3. 在 1,2,3,4,7,9 中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数与真数,能得到多少个 不同的对数值? 4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中,与正八边形有公共边的有多少个? 5.某艺术组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小号, 从中选出会钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? 6. 某地提供 A、B、C、D 四个企业供育才中学高三年级 3 个班级进行社会实践活动,其中 A 是明星企业, 必须有班级去进行社会实践, 每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任 意选择一个,则不同的安排社会实践的方案共有多少种? §9.2 排列与组合 一、知识导学 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的全排列. 3. 排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个
m 不同元素中取出m个元素的排列数.用符号 An 表示.

4. 阶乘:正整数 1 到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示. 规定:0!=1 5.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 6.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫做从n个不 同元素中取出m个元素的组合数.用符号 C n 表示. 7.本节公式 (1)排列数公式
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1)
m

2

m An ?

n! (n ? m)!

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

(2)组合数公式
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1) ? m n Am

m Cn ?

n! m!(n ? m)!

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

(3)组合数的两个性质
m n?m Cn ? Cn 0 规定: Cn ?1

m m m?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn

二、疑难知识导析 1.排列的定义中包含两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”。 从定义知,只有当元素完全,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列,元素完 全不同,或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列,都不是同一排列.两个相同数 列,当且仅当它们的元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同. 2.排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列的一种具体方法,它不是数;而排列数是指从n个不同元 素中取出m(m≤n)个元素的所有不同数列的种数,它是一个数. 3. 排列应用题一般分为两类, 即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见 题型有:排队问题、数字问题、与几何有关的问题. 解排列应用题时应注意以下几点: ①认真审题, 根据题意分析它属于什么数学问题, 题目中的事件是什么, 有无限制条件, 通过怎样的程序完成这个事件,用什么计算方法. ②弄清问题的限制条件,注意研究问题,确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则 是特殊元素、特殊位置优先,必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考. ③恰当分类,合理分步. ④在分析题意,画框图来处理,比较直观.在解应用时,应充分运用. 解排列应用题的基本思路: ①基本思路: 直接法:即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数; 间接法: 即先不考虑限制条件, 求出所有排列数, 然后再从中减去不符合条件的排列数. ②常用方法:特殊元素、特殊位置分析法,排除法(也称去杂法),对称分析法,捆绑 法,插空档法,构造法等. 4.对组合的理解:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们顺序如何都是相同 的组合.当两个组合中的元素不完全相同时 (即使只有一个元素不同) , 就是不同的组合.

3

5.排列与组合的区别与联系: ①根据排列与组合的定义, 前者是从n个不同元素中取出m个不同元素后, 还要按照一 定的顺序排成一列, 而后者只要从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组, 所以区分某 一问题是排列还是组合问题, 关键看选出的元素与顺序是否有关, 若交换某两个元素的位置 对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问 题.也就是说排列与选取元素的顺序有关,组合与选取元素的顺序无关. ②排列与组合的共同点,就是都要“从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素”, 而不同点在于元素取出以后,是“排成一排”,还是“组成一组”,其实质就是取出的元素 是否存在顺序上的差异.因此,区分排列问题和组合问题的主要标志是:是否与元素的排列 顺序有关,有顺序的是排列问题,无顺序的组合问题.例如 123 和 321,132 是不同的排列, 但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题,互握一次手则是组合问题.
m ③排列数与组合数的联系.求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 An ,可以分为 m 以下两步:第一步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 C n ;第二步,求每 m m m m 一个组合中m个元素的全排列数 Am .根据分步计数原理, 得到 An = Cn .从这一过程中 Am

可得出排列与组合的另一重要联系.从而,在解决排列问题时,先取后排是一个常见的解题 策略. 6. 解排列与组合应用题时, 首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题 是排列还是组合,唯一的标准是“顺序”,有序是排列问题,无序是组合问题.当排列与组 合问题综合到一起时,一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类, 还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,它们不仅是推导 排列数公式和组合数公式的基础,而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理 是解决排列与组合应用题的基础.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分 类为加、分步为乘). 三、经典例题导讲 [例 1] 10 个人走进只有 6 把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种 不同的坐法? [例 2]从-3,-2,-1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数

y ? ax2 ? bx ? c 的系数 a ,b,c的取值,问共能组成多少个不同的二次函数?
[例 3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥? [例 4] 4 名男生和 3 名女生并坐一排,分别回答下列问题: (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种? (3)男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种? (4)男女生相间的坐法有多少种? (5)女生顺序已定的坐法有多少种? [例 5] 某运输公司有 7 个车队, 每个车队的车均多于 4 辆, 现从这个车队中抽调出 10 辆车, 并且每个车队至少抽调一辆,那么共有多少种不同的抽调方法? [例 6]用 0,1,2,?,9 这十个数字组成无重复数字的四位数,若千位数字与个位数字之差 的绝对值是 2,则这样的四位数共有多少个?

4

四、典型习题导练 1.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐 6 节课,如果第一节不排 体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 2. 在 7 名运动员中选出 4 人组成接力队,参加 4×100 米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种? 3.有 5 双不同型号的皮鞋,从中任取 4 只有多少种不同的取法?所取的 4 只中没有 2 只是 同型号的取法有多少种?所取的 4 只中有一双是同型号的取法有多少种? 4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行, 且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平 行,以它的顶点为顶点的四面体有多少个? 5. 4 名男生 5 名女生,一共 9 名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任,每班至少 有男、女实习生各 1 名的不同分配方案共有多少种? 6.有 6 本不同的书,分给甲、乙、丙三人. (1)甲、乙、丙三人各得 2 本,有多少种分法? (2)一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本,有多少种分法? (3)甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本,有多少种分法? (4)平均分成三堆,每堆 2 本,有多少种分法? §9.3 一、知识导学 1.二项式定理:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn b ,n? N*

二项式定理

上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做 (a ? b) 的二项展开式,它一共有n+1 项.
n

r 其中各项的系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) 叫做二项式系数.
r n ?r r 式中的 Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示, r n ?r r 即 Tr ?1 = Cn a b .

2.二项式系数的性质: (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直
m n?m 接由公式 Cn 得到. ? Cn

(2)增减性与最大值. 二项式系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) ,当r<
r

n ?1 时,二项式系 2

数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.当n是偶数 时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和.

(a ? b) n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n .
二、疑难知识导析
5

1.二项式定理是代数公式

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 和 (a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 ? b 3
的概括和推广,它是以乘法公式为基础,以组合知识为工具,用不完全归纳法得到的. 同学们可对定理的证明不作要求,但定理的内容必须充分理解. 2.对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它
r n ?r r 的展开式.通项公式 Tr ?1 = Cn a b 在解题时应用较多,因而显得尤其重要,但必须注意,

它是 (a ? b) n 的二项展开式的第r+1 项,而不是第r项. 3.二项式定理的特殊表示形式
0 n 1 n?1 r n ?r r n n (1) (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? ? ? (?1) r Cn a b ? ? ? ? ? (?1) n Cn b .
r n ?r r 这时通项是 Tr ?1 = (?1) Cn a b .
n

1 1 2 2 r r (2) (1 ? x) n ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? ? ? Cn x ? ? ? ? ? xn .
r r 这时通项是 Tr ?1 = C n x .

0 1 2 r n (3) (1 ? 1) n ? Cn . ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn

即各二项式系数的和为 2 . 4.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
0 2 1 3 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

n

三、经典例题导讲 [例 1]已知 (1 ? 2x) 50 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a50 x 50 , 求 a1 ? a2 ? ... ? a50 的值.
1 2 3 n [例 2]在多项式 f ( x) ? Cn ( x ? 1) ? Cn ( x ? 1) 2 ? Cn ( x ? 1) 3 ? ... ? Cn ( x ? 1) n 的展开式中,

含 x 项的系数为 [例 3] 11 A.7 [例 4]
100

6

. ( ) D.2

? 1 的末尾连续零的个数是
B.5 C.3

已知 ( x ?

1 2? x
4

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列.

(1)求展开式中所有的 x 的有理项;
6

(2)求展开式中系数最大的项. [例 5]已知 f ( x) ? (1 ? 2x) m ? (1 ? 2x) n 展开式中含 x 项的系数的最小值. 四、典型习题导练
1 2 n 1.化简: 1 ? 2Cn ? 4Cn ? ... ? 2n Cn
2

求 (m, n ? N ? ) 的展开式中含 x 项的系数为 24,

2. 设 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则

(a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值为
3. (1+x)(2+x)(3+x)?(20+x)的展开式中 x19 的系数是 4. 式子 (| x | ? A、-15 . ( )

1 ? 2) 3 的展开式中的常数项是 |x|
B、20 C、-20 D、15

5.已知二项式 (axm ? bxn )12 中, a >0,b>0,2m+n=0 但mn≠0,若展开式中的最 大系数项是常数项,求

a 的取值范围. b
2

6.用二项式定理证明:x n ? nan?1 x ? (n ? 1)a n 能被 ( x ? a) 整除 §9.4 随机事件的概率及古典概型

(n∈ N ,n≥2).

?

一、知识导学 1.必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件. 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件. 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率: 实际生活中所遇到的事件包括必然事件、 不可能事件和随机事件.随机事件在现实 世界中是广泛存在的.在一次试验中,事件 A 是否发生虽然带有偶然性,但在大量重复试验 下,它的发生呈现出一定的规律性,即事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附 n

近摆动,这个常数就叫做事件 A 的概率.记着 P(A). 0≤P(A)≤1 3.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本 事件. 4.具有以下两个特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都 是等可能的.我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型 5.等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有m种,那么事件 A 的概率 P(A)=

m . n

二、疑难知识导析 1.必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系:必然事件是指在一定条件下必然发生 的事件; 不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件; 随机事件是指在一定的条件下
7

可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果,理解事件的结果是相应于“一 定条件”而言的,必须明确什么是事件发生的条件,什么是在此条件下产生的结果.上述三 种事件都是在一定条件下的结果. 2.频率与概率:随机事件 A 的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值,它是随 着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p附近摆动,且随着试 验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件 的概率.因此,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小;而频率在大量重复试验 的前提下,可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. 3.必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,随机事件的概率:0<P(A)<1,这里要 辩证地理解它们的概率: 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端, 它们虽是两 类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,即任意事件 A 的概率满足: 0≤P(A)≤1 4.等可能事件的理解:一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等,这n个 结果对应着n个基本事件.对等可能事件的理解, 其实质在于对等可能性的理解. “等可能性” 指的是结果,而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币,可能出现“两个正面”“两个反面” “一正一反” “一反一正”这四种结果,每一种结果的可能性相等,都是 0.25;而出现“两 个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的. 5.注意用集合的观点来看概率,运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说,一 次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合 I,其中各基本事件均为集合 I 的含有一个元 素的子集,包括m个基本事件的子集 A,从而从集合的角度来看:事件 A 的概率是子集 A 的 元素的个数与集合 I 的元素个数的比值,即 P(A)=

m .因此,可以借助集合的表示法来 n

研究事件,运用图示法弄清各事件的关系,从而做到较深刻的理解. 三、经典例题导讲 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问恰 好第三次打开房门锁的概率是多少? [例 2] 某组有 16 名学生,其中男、女生各占一半,把全组学生分成人数相等的两小组,求 每小组里男、女生人数相同的概率. [例 3] 把一枚硬币向上连抛 10 次,则正、反两面交替出现的概率是 . [例 4]某科研合作项目成员由 11 个美国人、 4 个法国人和 5 个中国人组成, 现从中随机选出 两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示). [例 5] 将 4 个编号的球放入 3 个编号的盒中, 对于每一个盒来说, 所放的球数k满足 0≤k ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下,求: (1)第一个盒没有球的概率; (2)第一个盒恰有 1 个球的概率; (3)第一个盒恰有 2 个球的概率; (4)第一个盒有 1 个球,第二个盒恰有 2 个球的概率. [例 6] 一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球,分别求下列事件的的概率: (1)事件 A:从中摸出一个放回后再摸一个,两回摸出的球是一白一黑; (2)事件 B:从袋中摸出一个黑球,放回后再摸出一个是白球; (3)事件 C:从袋中摸出两个球,一个黑球,一个白球; (4)事件 D:从从袋中摸出两个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球. 四、典型习题导练 1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
8

抽取台数 优等品数

50 40

100 92

200 192

300 285

500 478

1000 954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少? 2.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 A、





1 8

3 B、 8

7 C、 8

5 D、 8

3.停车场可把 12 辆车停放一排,当有 8 辆车已停放后,则所剩 4 个空位恰连在一起的概率 为 ( ) A、

7 8 C12

B、

8 8 C12

C、

9 8 C12

D、

10 8 C12

4.有 5 条线段,其长度分别为 1、3、5、7、9,现从中任取 3 条线段,求 3 条线段构成三 角形的概率. 5.把 10 个运动队平均分成两组进行预赛,求最强的两队被分在(1)不同组内;(2)同一 组内的概率. 6.甲、乙两人参加普法知识问答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个, 甲、乙两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少? §9.5 几何概型及互斥事件的概率 一、知识导学 1. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法 处理随机试验,称为几何概型. 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内” 为事件A,则事件A 发生的概率 d的测度 P(A)= . D的测度 这里要求D 的测度不为0,其中“测度”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面 图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等 2.互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C,其中任何两个都是互斥事件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A,B 是互斥事件时,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一个发生)的概率,等于 事件 A,B 分别发生的概率的和. P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A1、A2、?、An彼此互斥,那么事件 A1+A2+?+An发生(即 A1、A2、?、A n中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和. 3.对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事件通常记着 A . 对立事件的概率和等于 1. P( A )=1-P(A)

9

4.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件. 当 A,B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生(即 A,B 同时发生)的概率,,等 于事件 A,B 分别发生的概率的积. P(A ? B)=P(A) ? P(B ). 如果事件 A1、A2、?、An相互独立,那么事件 A1 ? A2 ? ? ? An发生(即 A1、A2、?、A n同时发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的积. 5.独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P, 那么在n次独立重复试验中这个试验恰好 发生k次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? k ) n?k

二、疑难知识导析 1.对互斥事件、对立事件的理解: 从集合角度看,事件 A、B 互斥,就是它们相应集合的交集是空集(如图 1);事件 A、 B 对立,就是事件 A 包含的结果的集合是其对立事件 B 包含的结果的补集(如图 2).

“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两 个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件,因此,对立事件必须是互斥事件,但 互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件. 根据对立事件的意义, (A+ A ) 是一必然事件,那它发生的概率等于 1, 又由于 A 与 A 互斥,于是有 P(A)+P( A )=P(A+ A )=1,从而有 P( A )=1-P(A).当某一事 件的概率不易求出或求解比较麻烦,但其对立事件的概率较容易求出时,可用此公式,转而 先求其对立事件的概率. 2.对相互独立事件的理解: 相互独立事件是针对两个事件而言的,只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性, 即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. 3.正确理解 A ? B 与 A+B 的关系:设 A、B 是两个事件,则 A ? B 表示这样一个事件,它的 发生表示 A 与 B 同时发生;而 A+B 表示这一事件是在 A 或 B 这两个事件中,至少有一个发 生的前提下而发生的.公式 P(A+B)=P(A)+P(B)与 P(A ? B)=P(A) ? P(B)的使 用都是有前提的. 一般情况下,P(A+B)=1-P( A ? B ) =P(A)+P(B)-P(A ? B)
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它可用集合中的韦恩图来示意. 三、经典例题导讲 [例 1] 从 0,1,2,3 这四位数字中任取 3 个进行排列,组成无重复数字的三位数,求排 成的三位数是偶数的概率. [例 2] 从 1,2,3,?,100 这 100 个数中,随机取出两个数,求其积是 3 的倍数的概率. [例 3] 在房间里有 4 个人,问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? [例 4] 某单位 6 名员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立). 求(1)至少 3 人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于 0.3? [例 5]设甲、 乙两射手独立地射击同一目标, 他们击中目标的概率分别为 0.9、 0.8, 求: (1) 目标恰好被甲击中的概率;(2)目标被击中的概率. [例 6]某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” , 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率 分别为 0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9,所有考核是否合 格相互之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2)求这三人课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数) 四、典型习题导练 1.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有 1 个黑球,都是黑球 B.至少有 1 个黑球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个黑球,恰有 2 个红球 D.至少有 1 个黑球,都是红球 2. 取一个边长为2 a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒 豆子,求豆子落入圆内的概率. 3. 某小组有男生 6 人,女生 4 人,现从中选出 2 人去开会,求至少有 1 名女生的概率.

4.设有编号分别为 1,2,3,4,5 的五封信,另有同样编号的五个信封,
现将五封信任意装入五个信封,每个信封装入一封信,试求至少有两封信配对的概率. 5. 某班级有 52 个人, 一年若按 365 天计算, 问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大? 6.九个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队,抽签分成甲、乙、丙三组(每组 3 队)进行预 赛,试求: (1)三个组各有一个亚洲国家队的概率; (2)至少有两个亚洲国家队分在同一组 的概率.

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