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高考数学大一轮总复习 第3篇 第3节 三角函数的图象与性质课件 文 新人教A版_图文

第3节 三角函数的图象与性质 基础梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 值域 R _[_-___1_,_1_] ___ R _[_-___1_,_1_] __ xx≠π2+kπ,k∈Z R 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单 在???2kπ-π2,2kπ+π2???(k ∈Z)上单调递增;在 在[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上单调递增 在???kπ-π2, kπ+π2??? 调 性 ???2kπ+π2,2kπ+32π???(k 在[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上单调递减 (k∈Z)上 单调递增 ∈Z)上单调递减; 最 x=2_k_π_+__π2_(_k_∈__Z_)_时, ymax=1; x=_2_k_π_(_k_∈__Z_)_时, ymax=1; 值 x=2kπ-π2(k∈Z)时, x=2kπ+π(k∈Z) 时,ymin=-1 ymin=-1 无最值 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 奇偶性 ___奇__函__数__ __偶__函__数___ _奇__函__数__ 对称性 周期 对称中心 (k_π_,__0_)_(_k_∈__Z_) 对称中心???kπ+π2,0??? (k∈Z) 对称中心???k2π,0???(k∈Z) 对称轴l: _x_=__k_π_+__π2_(k_∈__Z__) 对称轴l: x=kπ(k∈Z) 2π 2π π 1.下列说法正确的是( ) A.函数y=cos x在第一象限内是减函数 B.函数y=tan x在定义域内是增函数 C.函数y=sin xcos x是R上的奇函数 D.所有周期函数都有最小正周期 解析:角α=3π,β=136π都是第一象限角, 且α<β, 但cos α=12< 23=cos β,故选项A错; α=3π,β=54π,α<β,但tan α>tan β,故选项B错; 常数函数f(x)=c是周期为任意非零实数的周期函数, 它没有最小正周期,故选项D错; 设f(x)=sin x·cos x, 因为f(-x)=sin(-x)·cos(-x) =-sin xcos x =-f(x), 所以f(x)=sin x·cos x是R上的奇函数. 故选C. 答案:C 2.(2012年高考福建卷)函数f(x)=sin ???x-4π??? 的图象的一条 对称轴是( ) A.x=π4 B.x=2π C.x=-4π D.x=-π2 解析:∵f(x)=sin ???x-π4??? 的图象的对称轴是x- π 4 =kπ+ π 2 (k∈Z),即x=kπ+34π(k∈Z), 令k=-1,则x=-π4.故选C. 答案:C 3.(2013年高考天津卷)函数f(x)=sin2x- π 4 在区间0, π 2 上的最小值为( ) A.-1 B.- 2 2 2 C. 2 D.0 解析:由x∈0,2π得2x-4π∈-π4,34π, 所以sin2x-4π∈- 22,1. 即函数f(x)在0,π2上的最小值为- 2 2. 故选B. 答案:B 4.函数y=-tan???2x+π6???+2的定义域是________. 解析:由2x+6π≠π2+kπ,k∈Z,得x≠π6+12kπ,k∈Z. 答案:{xx≠12kπ+π6,k∈Z} 考点突破 三角函数的定义域和值域 [例1] (1)函数y= sin x-cos x的定义域为________. (2)当x∈ ???π6,76π??? 时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值 是________,最大值是________. [解析] (1)要使函数有意义,必须有sin x-cos x≥0, 即sin x≥cos x,同一坐标系中作出y=sin x,y=cos x, x∈[0,2π]的图象如图所示. 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知,函数的定义 域为?????x|2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z?????. (2)∵x∈???π6,76π???, ∴sin x∈???-12,1???. 又y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x) ? =2?sin ? x-14???2+78. ∴当sin x=14时,ymin=78, 当sin x=-12或sin x=1时,ymax=2. [答案] (1)?????x|2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z????? 7 (2)8 2 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单 的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求 解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的 题目: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ) +k的形式,再求最值(值域); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t, 化为关于t的二次函数求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可 先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最 值). 即时突破1 (1)函数y= sin x- 3 2 的定义域为 ________. (2)(2014浙江杭州模拟)定义运算a※b为a※b= ??a?a≤b?, ???b?a>b?. 如1※2=1,则函数f(x)=sin x※cos x的值域为 ________. 解析:(1)由题意得sin x≥ 23, 由y=sin x的图象可知,使sin x≥ 3 2 成立的x的取值区 间为2kπ+π3,2kπ+23π(k∈Z). (2)f(x)=sin

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