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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第5节]


[课堂练通考点] 1.(2013· 江南十校联考)第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在中国广州举行,运动会 期间从来自 A 大学的 2 名志愿者和来自 B 大学的 4 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场 馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概率是( 1 A. 15 3 C. 5 2 B. 5 14 D. 15 )

解析:选 C 记 2 名来自 A 大学的志愿者为 A1,A2,4 名来自 B 大学的志愿者为 B1,B2, B3,B4.从这 6 名志愿者中选出 2 名的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3), (B2,B4),(B3,B4),共 15 种.其中至少有一名 A 大学志愿者的事件有 9 种.故所求概率 P 9 3 = = .故选 C. 15 5 2.(2014· 亳州高三质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是集合 N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 8 )

解析:选 C 易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑), 集合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共 4 个, 4 1 由古典概型知概率为 = . 16 4 3.我们把日均收看体育节目的时间超过 50 分钟的观众称为“超级体育迷”.已知 5 名“超级体育迷”中有 2 名女性,若从中任选 2 名,则至少有 1 名女性的概率为( 7 A. 10 1 C. 4 1 B. 5 1 D. 2 )

解析:选 A 用 ai 表示男性,其中 i=1,2,3,bj 表示女性,其中 j=1,2.记“选出的 2 名 全都是男性”为事件 A,“选出的 2 名有 1 名男性 1 名女性”为事件 B,“选出的 2 名全都 是女性”为事件 C,则事件 A 包含(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共 3 个基本事件,事件 B 包含(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 个基本事件,事件 C 包含(b1,b2),共 1 个基本事件.事件 A,B,C 彼此互斥,事件至少有 1 名女性包含事件 B

6+1 7 和 C,所以所求事件的概率为 = . 10 3+6+1 4.(2014· 昆明质检)从某学习小组的 10 名同学中选出 3 名同学参加一项活动,其中甲、 乙两名同学都被选中的概率是________. 10×9×8 解析:从 10 名同学中选出 3 名同学有 C3 =120 种选法,其中甲、乙两名同 10= 3×2×1 8 1 学都被选中有 C1 = . 8=8 种选法,因此甲、乙两名同学都被选中的概率是 120 15 答案: 1 15

5.(2013· 江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还 是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4, A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记 这两个向量的数量积为 X, 若 X>0 就去打球, 若 X=0 就去唱歌, 若 X<0 就去下棋. (1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2 的有 OA2 · OA5 ,共 1 种; 数量积为- 1 的有 OA OA5 , OA1 · OA6 , OA2 · OA6 , OA3 · OA4 , OA4 , OA2 · 1 ·

OA3 · OA5 ,共 6 种;
数量积为 0 的有 OA OA3 , OA1 · OA4 , OA3 · OA6 , OA4 · OA6 ,共 4 种; 1· 数量积为 1 的有 OA OA2 , OA2 · OA3 , OA4 · OA5 , OA5 · OA6 ,共 4 种. 1· 故所有可能的情况共有 15 种. 7 所以小波去下棋的概率为 P1= ; 15 4 4 11 因为去唱歌的概率为 P2= ,所以小波不去唱歌的概率 P=1-P2=1- = . 15 15 15 [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是( 4 A. 5 2 C. 5 ) 3 B. 5 1 D. 5

解析:选 D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数 a 有 5 种取法,从{1,2,3}中选取一个数 b 有 3 种取法. 所以选取两个数 a, b 共有 5×3=15 个基本事件. 满足 b>a 的基本事件共有 3 个. 因 3 1 此 b>a 的概率 P= = . 15 5 2.高三(4)班有 4 个学习小组,从中抽出 2 个小组进行作业检查.在这个试验中,基本 事件的个数为( A.2 C.6 ) B.4 D.8

解析:选 C 设这 4 个学习小组为 A,B,C,D,“从中任抽取两个小组”的基本事件 有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 个. 3.(2013· 合肥模拟)从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数 之和的概率是( 1 A. 6 1 C. 3 ) 1 B. 4 1 D. 2

解析:选 A 不妨设取出的三个数为 x,y,z(x<y<z),要满足 x+y=z,共有 20 种结 20 1 果,从十个数中取三个数共有 C3 10种结果,故所求概率为 3 = . C10 6

? x+ 1 ?n 4.(2014· 郑州模拟)在二项式? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把 2· x? ?
展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( 1 A. 6 1 C. 3 解析:选 D 注意到二项式?
2 n ?3 r 4

)

1 B. 4 5 D. 12

? x+ 1 ?n ? 1 ?r r n-r 的展开式的通项是 T = C · ( x ) · ? + ? 4 ?= r 1 n 4 2· x? ? ?2· x?


- Cr 2 r· x n·

2 .依题意有 C0 2 2=2C1 2 1=n,即 n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2), n+Cn· n·


3r ? x+ 1 ?8 4r -r 因此 n=8.∵二项式? 2 · x 4 , 其展开式中的有理项 4 ? 的展开式的通项是 Tr+1=C8· 2· x? ?

共有 3 项,所求的概率等于

3 A6 A7 5 6· 9 = ,选 D. A9 12

5.(2014· 浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球,其中一个编号为 1, 两个编号为 2,三个编号为 3.现从中任取一球,记下编号后放回,再任取一球,则两次取出 的球的编号之和等于 4 的概率是________.

10 5 解析:列举可知,共有 36 种情况,和为 4 的情况有 10 种,所以所求概率 P= = . 36 18 1 1 2 2 3 3 3 答案: 5 18 2 3 3 4 4 4 2 3 4 4 5 5 5 2 3 4 4 5 5 5 3 4 5 5 6 6 6 3 4 5 5 6 6 6 3 4 5 5 6 6 6

x2 y2 6.(2014· 宣武模拟)曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次 m n 所得点数,事件 A=“方程 x2 y2 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=________. m2 n2

解析:试验中所含基本事件个数为 36;若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相 同,则去掉 6 种可能,既然椭圆焦点在 x 轴上,则 m>n,又只剩下一半情况,即有 15 种, 15 5 因此 P(A)= = . 36 12 答案: 5 12

7.某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对 其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. 解:(1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 2 得 n= =0.1,所以 m=0.45-0.1=0.35. 20 (2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1,y2.从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1, y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共 10 种. 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共 4 种.

4 故所求概率为 P(A)= =0.4. 10 8. 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面 分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次,规定“正方体向上的面上的数字为 a,正四面体的三 个侧面上的数字之和为 b”.设复数为 z=a+bi. (1)若集合 A={z|z 为纯虚数},用列举法表示集合 A; (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的概率. 解:(1)A={6i,7i,8i,9i}. (2)满足条件的基本事件的个数为 24. 设满足“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的事件为 B. 当 a=0 时,b=6,7,8,9 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=1 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=2 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=3 时,b=6 满足 a2+(b-6)2≤9. 即 B 为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)共计 11 个. 11 所以所求概率 P= . 24 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 陕西高考)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投 票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(2) 在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到 的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 解:(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽到的人数如下表: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

抽取人数

3

6

9

9

3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3, b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种, 其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1, a1b2, a2b1, a2b2 4 2 共 4 种,故所求概率 p= = . 18 9 2.已知集合 P={x|x(x2+10x+24)=0},Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*},M=P∪ Q.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(x′,y′),且 x′∈M,y′∈M,试计算: (1)点 A 正好在第三象限的概率; (2)点 A 不在 y 轴上的概率; (3)点 A 正好落在区域 x2+y2≤10 上的概率. 解: 由集合 P={x|x(x2+10x+24)=0}可得 P={-6, -4,0}, 由 Q={y|y=2n-1,1≤n≤2, n∈N*}可得 Q={1,3},则 M=P∪Q={-6,-4,0,1,3},因为点 A 的坐标为(x′,y′),且 x′∈M,y′∈M,所以满足条件的点 A 的所有情况为(-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(- 6,1),(-6,3),?,(3,3),共 25 种. (1)点 A 正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,- 4 4),共 4 种,故点 A 正好在第三象限的概率 P1= . 25 (2)点 A 在 y 轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共 5 种,故点 A 5 4 不在 y 轴上的概率 P2=1- = . 25 5 (3)点 A 正好落在区域 x2+y2≤10 上的可能情况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0), 8 (0,3),(1,1).共 8 种,故点 A 落在区域 x2+y2≤10 上的概率 P3= . 25 3.(2014· 莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间,某报刊媒体要选择两名记 者去进行专题采访,现有记者编号分别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8,9 的四 名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号 (x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为 x,y,且 x<y”. (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率. 解:(1)共有 36 个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),

(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9), (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9), (8,9),共 36 个. (2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于 17 但不小于 11”为事件 A, 即事件 A 为“x, y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且 11≤x+y<17,其中 x<y”,由(1)可知事件 A 共含有 15 个基本事 件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8), (6,9),(7,8),(7,9),共 15 个.“都是男记者”记作事件 B,则事件 B 为“x<y≤5”,包含: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个.故 P(A)+P(B) 15 10 25 = + = . 36 36 36


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