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2014届高考数学一轮复习方案 第29讲 等差数列及其前n项和课时作业 新人教B版


课时作业(二十九)
基础热身

[第 29 讲

等差数列及其前 n 项和]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

1.[教材改编试题] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4, S4=20,则该数列的公 差为( )

A.7 B.6 C.3 D.2 2. [2012·江门调研] 在等差数列{an}中, 已知 a1=1, 2+a4=10, n=39, n=( a a 则 A.19 B.20 C.21 D.22 3.[2013·长春一中月考] 等差数列{an}中,a4+a5+a6=12,那么数列{an}前 9 项的和 )

S9=(

)

A.27 B.28 C.36 D.35 1 4.[2012·北京卷] 已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= ,S2=a3,则 a2 2 =________,Sn=________.

能力提升 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2,a4 是方程 x -x-2=0 的两个实数根,则
2

S5 的值为(
A.

)

5 B.5 2

5 C.- D.-5 2 6.[2012·豫东、豫北十校测试] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,则 5a1 +a7 的值为( )

A.12 B.10 C.24 D.6 7.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( A. 1 9 B. 4 4 13 C. 4 17 D. 4 )

1

8.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列? 2 1 A.- B. 5 2 C. 2 D.5 3

?

1 ? ?是等差数列,则 a11 等于( ?an+1?

)

9.已知数列{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜 率是( )

1 A.4 B. 4 C.-4 D.-143 10. 已知等差数列{an}中,2=6,5=15, bn=a3n, a a 若 则数列{bn}的前 9 项和等于________. 11.设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13= ________. 12.[2012·长春调研] 等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,则数列 {Sn}为递增数列的充分必要条件是____________________. 13.[2012·衡阳六校联考] 设函数 f(x)= 零),则 f(a)+f(c)=________. 14.(10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a8=2,S8=-68. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 1 +2,若 a,b,c 成等差数列(公差不为 x-b

15.(13 分)[2012·长春调研] 等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项.

n

2

难点突破 16.(12 分)[2013·衡阳八中二模] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点?n, ?在直线 y n

? ?

Sn?

?

1 11 = x+ 上.数列{bn}满足 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N),且 b3=11,前 9 项和为 153. 2 2 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; 3 k (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn> 对一切 (2an-11)(2bn-1) 57

n∈N*都成立的最大正整数 k 的值.

3

课时作业(二十九) 【基础热身】 1.C [解析] S2=2a1+d=4,S4=4a1+6d=20,解得 d=3.故选 C. 2.B [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,由 a2+a4=10,得

a1+d+a1+3d=10,即 d= (10-2a1)=2.
由 an=39,得 1+2(n-1)=39,n=20,故选 B. 3.C [解析]因为 2a5 = a4 + a6 ,所以 3a5 =12,即 a5 =4,所以 S9 = 9(a1+a9) = 2

1 4

9(a5+a5) =9a5=36.故选 C. 2 4. 1 1 n(n+1) 4 2 1 [解析] 设{an}的公差为 d, S2=a3 可得 d=a1= , a2=a1+d=1, 由 故 2 4

n(n-1) 1 Sn=na1+ d= n(n+1).
【能力提升】 5(a1+a5) 5(a2+a4) 5 5.A [解析] 由根与系数的关系得,a2+a4=1,S5= = = ,故 2 2 2 选 A. 3×2 6.A [解析] 由 S3=6 得,3a1+ d=6,∴a1+d=2,∴5a1+a7=6a1+6d=12,故 2 选 A.

7.C

?8a +8×7d=30, ?4a +14d=15, ?a =1, ? 2 ? ? 4 [解析] 由已知,得, ? 即? 解得? ?4a +6d=7, 4×3 ? ?d=1, ? ?4a + 2 d=7, ?
1 1 1 1 1

13 则 a4=a1+3d= ,故选 C. 4 8.B [解析] 设? 1 +8d,即 1
? ?an+1?

1 ? 1 1 1 1 ?的公差为 d,则有 = +4d,解得 d= ,所以 = a7+1 a3+1 24 a11+1 1 1 + ,解得 a11= .故选 B. 2 5(a1+a5) =55,得 2

a3+1

a11+1 2+1 3



1

9.A

[解析] 因为{an}是等差数列,a4=15,S5=55,所以 S5=

a4-a3 a1+a5=22,所以 2a3=22,a3=11,所以 kPQ= =4.故选 A.
4-3 10.405 [解析] 由?
? ?a2=a1+d=6, ? ?a1=3, ?? ?a5=a1+4d=15 ?d=3. ? ?

4

9+81 ∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n,数列{bn}的前 9 项和为 S9= ×9=405. 2 11.105
2

[解析] 由已知,得?

? ?a1+a1+d+a1+2d=15, ?a1(a1+d)(a1+2d)=80, ?

即?

? ?d=5-a1, ?a1(a1+2d)=16, ?



去 d,得 a1-10a1+16=0,解得 a1=2 或 a1=8. 当 a1=2 时,d=3,a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105. 当 a1=8 时,d=-3,不适合题意,舍去. 12.d≥0 且 d+a>0
*

(n+1)n n(n-1) [解析] 由 Sn+1>Sn,可得(n+1)a+ d>na+ d, 2 2

整理得 dn+a>0.而 n∈N ,所以 d≥0 且 d+a>0.因此数列{Sn}单调递增的充要条件是 d≥0 且 d+a>0. 13. [解析] 依题意得 b-a=c-b, a-b)=c-b, f(a)+f(c)= 4 -( 则 +2= 1 1 + +4=0+4=4.故填 4. a-b c-b 1

a-b

+2+

1

c-b

14.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,根据已知得
?a8=a1+7d=2, ? ? ? ?S8=8a1+28d=-68, ? ? ?a1+7d=2, ?a1=-19, 解方程组? 得? ? ? ?8a1+28d=-68 ?d=3.

∴an=a1+(n-1)d=3n-22. (2)由(1)知 an=3n-22,
?-an,n≤7, ? ∴|an|=? ? ?an,n≥8.

3 2 41 ∴当 n≤7 时,Tn=-Sn=- n + n, 2 2 3 2 41 当 n≥8 时,Tn=Sn-2S7= n - n+140. 2 2 15.解:(1)由 2S2=a2+a2, 可得 2(a1+a1+d)=(a1+d) +(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1 或 d=-2(舍去). ∴数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴an=n. (2)根据(1)得 Sn=
2 2

n(n+1)
2



2Sn+13 n(n+1)+13 13 ∴bn= = =n+ +1.

n

n

n

5

13 由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 13)上单调递减,在[ 13,+∞)上单调递增,

x

13 22 88 而 3< 13<4,且 f(3)=3+ = = , 3 3 12 13 29 87 'f(4)=4+ = = , 4 4 12 29 33 所以当 n=4 时,取得最小值,且最小值为 +1= . 4 4 33 即数列{bn}的最小值项是 b4= . 4

【难点突破】

Sn 1 11 16.解:(1)由题意,得 = n+ , n 2 2
1 2 11 即 Sn= n + n. 2 2 11 2 ?1 2 11 ? ?1 ? 故当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? n + n?-? (n-1) + (n-1)?=n+5. 2 ? ?2 2 ?2 ? 当 n=1 时,a1=S1=6,而当 n=1 时,n+5=6, 所以,an=n+5(n∈N ). 又 bn+2-2bn+1+bn=0,即 bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N ), 9(b3+b7) 所以{bn}为等差数列.由数列{bn}的前 9 项和为 153,即 =153. 2 23-11 而 b3=11,故 b7=23,d= =3. 7-3 因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2, 即 bn=3n+2(n∈N ). 3 (2)cn= (2an-11)(2bn-1) = = 3 [2(n+5)-11][2(3n+2)-1] 1 ? 1 1? 1 - = ? ?. 2n-1 2n+1? (2n-1)(2n+1) 2?
* * *

1 1 1 1 1 1 1 1 所以,Tn=c1+c2+…+cn= 1- + - + - +…+ - 2 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 1 ? 1? n = ?1- = . 2n+1? 2n+1 2? ?

n+1 n 1 由于 Tn+1-Tn= - = >0, 2n+3 2n+1 (2n+3)(2n+1)

6

1 因此 Tn 单调递增,故(Tn)min=T1= , 3 1 k 令 > ,得 k<19,所以 kmax=18. 3 57

7


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