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导数1


一、选择题 x2 1 1.(文)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2 A.3 C.1 x 3 1 解析:∵y′= - (x>0),又 k= , 2 x 2 x 3 1 ∴ - = ,∴x=3,故选 A. 2 x 2 答案:A x (理)曲线 y= 在点(1,-1)处的切线方程为( x-2 A.y=x-2 C.y=2x-3 解析:f′(x)= 所以 f′(1)= x-2-x -2 = , (x-2)2 (x-2)2 ) B.y=-3x+2 D.y=-2x+1 B.2 1 D. 2 )

-2 =-2, (1-2)2

所以切线方程为 y+1=-2(x-1),即 y=-2x+1. 答案:D 2.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于( 19 A. 3 13 C. 3 解析:∵f′(x)=3ax2+6x, 10 ∴f′(-1)=3a-6=4,∴a= . 3 16 B. 3 10 D. 3

)

答案:D 3.已知函数 y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是 x-2y+1=0,则 f(1)+2f′(1)的 值是( ) 1 A. 2 3 C. 2 1 1 又∵f′(1)= ,∴f(1)+2f′(1)=1+2× =2. 2 2 B.1 D.2

解析:(1,f(1))在直线 x-2y+1=0 上,所以 1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.

答案:D 4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( ) A.4 C.2 1 B.- 4 1 D.- 2

解析:由已知 g′(1)=2,而 f′(x)=g′(x)+2x, 所以 f′(1)=g′(1)+2×1=4. 答案:A 5.若函数 f(x)=excos x,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角 解析:由已知得: f′(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x). ∴f′(1)=e(cos 1-sin 1). ∵ π π >1> . 2 4

)

而由正余弦函数性质可得 cos 1<sin 1. ∴f′(1)<0. 即 f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率 k<0. ∴切线倾斜角是钝角. 答案:D 6.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( A.1 C. 2 2 B. 2 D. 3

)

解析:过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-ln x 相切, 设 P(x0,x2-ln x0),则有 0 1 k=y′|x=x0=2x0- . x0 1 1 ∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去). x0 2 |1-1-2| ∴P(1,1),∴d= = 2. 1+1 答案:B 二、填空题 7.若曲线 f(x)=ax5+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞), x 1 ∴由题知 5ax4+ =0 在(0,+∞)上有解. x 1 即 a=- 5在(0,+∞)上有解. 5x

1 ∵x∈(0,+∞),∴- 5∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0). 5x 答案:(-∞,0) 1 8. 曲线 y=x3 在点(a, 3)(a≠0)处的切线与 x 轴、 a 直线 x=a 所围成的三角形的面积为 , 6 则 a=________. 解析:y′|x=a=3a2,∴切线为 y-a3=3a2(x-a),即 y=3a2x-2a3,令 y=0 得切线与 x 2 轴的交点为( a,0). 3
?x=a, ? 3 解? 2 3,得切线与 x=a 的交点为(a,a ), ? ?y=3a x-2a

1 2 1 1 ∴S△= ·(a- a)·3= a4= , a 2 3 6 6 ∴a4=1,∴a=± 1. 答案:± 1 9.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, n≥2), π π π 则 f1( )+f2( )+…+f2 011( )=________. 2 2 2 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x, f5(x)=sin x+cos x. …… π π π π 可知:f1( )+f2( )+f3( )+…+f2 011( ) 2 2 2 2 π π π π π =f1( )+f2( )+f3( )=cos -sin =-1. 2 2 2 2 2 答案:-1 三、解答题 15 10.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,求 a 的值. 4 解析:设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3), 0 所以切线方程为 y-x3=3x2(x-x0), 0 0 3 即 y=3x2x-2x0,又(1,0)在切线上, 0 3 则 x0=0 或 x0= , 2 当 x0=0 时, 15 25 由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=- , 4 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1, 2 4 4 4

25 所以 a=-1 或- . 64 9 11.设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象 2 限. (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解析:(1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1① 9 y1=-x2+ x1-4② 1 2 9 ①代入②得 x2+(k- )x1+4=0. 1 2 ∵P 为切点, 9 17 1 ∴Δ=(k- )2-16=0 得 k= 或 k= . 2 2 2 17 当 k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当 k= 时,x1=2,y1=1. 2 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k= . 2 (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5③ 13 将③代入抛物线方程得 x2- x+9=0. 2 设 Q 点的坐标为(x2,y2), 9 则 2x2=9,∴x2= ,y2=-4. 2 9 ∴Q 点的坐标为( ,-4). 2


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