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2014高考数学难题集锦(二)含详细答案及评分标准[1]

高考数学集锦

1、函数

,数列



满足: .



,函数

的图像在点

处的切线在 轴上的截距为

(1)求数列{

}的通项公式;

(2)若数列

的项中仅

最小,求

的取值范围;

(3)若函数

,令函数

数列

满足:



其中

.证明:

.

2、已知函数 (Ⅰ)求实数 的值;

的图象在点

(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3.

(Ⅱ)若函数

仅有一个零点,求实数 的取值范围.

(Ⅲ)若

对任意

恒成立,求 的最大值.

3、已知函数





(1)求函数

的极值;(2)不等式

,当

时恒成立,求 的值;

(3)证明:



4、对于函数 的生成函数.

,如果存在实数

使得

,那么称



(1)下面给出两组函数,

是否分别为

的生成函数?并说明理由;

第一组:



第二组:



(2)设

,生成函数

.若不等式



上有解,求实数 的取值范围;

(3)设 . 若对于任意正实数 求出这个 且

,取 . 试问是否存在最大的常数

,生成函数 , 使

图像的最低点坐标为 恒成立?如果存在,

的值;如果不存在,请说明理由.

5、

已知函数

,则关于 的方程

给出下列四个命题:

①存在实数 ,使得方程恰有 1 个实根;

②存在实数 ,使得方程恰有 2 个不相等的实根;

③存在实数 ,使得方程恰有 3 个不相等的实根;

④存在实数 ,使得方程恰有 4 个不相等的实根.

其中正确命题的序号是

(把所有满足要求的命题序号都填上).

6、已知双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:

相切,且双曲线的右焦点为

圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

A.

B.

C.

D.

7、定义方程

的实数根 x0 叫做函数

的“新驻点”,如果函数







)的“新驻点”分别为



, ,那么



, 的大小关系是:(



A.

B.

C.

D.

8、已知函数

,对于曲线

上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判断: ③△ABC 可能是等腰三角形 ) C.②③ D.②④

①△ABC 一定是钝角三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 A.①③

②△ABC 可能是直角三角形 其中,正确的判断是( B.①④

参考答案

10、解:(1)

, 得

是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,故

????3 分

(2)





在点

处的切线方程为





仅当

时取得最小值,



的取值范围为

???6 分

(3)

所以

又因



显然

????8 分

???12 分

????14 分 11、

2 + 0 极大值 0 极小值 减 增 +



???????????????????????????????????? 6 分

由于

时,



要使

仅有一个零点,则必须

(3)由

时恒成立

即 立

恒成



P′





时,h′



上单调递增且函数值由负变正??????????10 分



则当

P′

函数 p(x)在(1,x0)上单调递减



时 P′

函数

上单调递增

又∵

????????????????????12 分



为 h(x)的零点,由 h(x)在(1,

)的单调递增且由负变正

验证知



上恒成立,知

知 ∴t 最大值为 3.?????????????????????????????14 分

12、证明(1)



且当

时,

,当

时,

所以

(2 )

,令



),





所以当

,即

(3)当

时,由(1)知

,由(2)知

因为

所以当

时,

另一方面,

,即 综上得原不等式成立

13、解:(1)① 设

,即





,所以



的生成函数.?????????2 分

② 设

,即





,该方程组无解.所以

不是

的生成函数.????4 分

(2 )

?????????5 分

,即



?????????6 分

也即

?????????7 分

因为

,所以

?????????8 分



?????????9 分

函数



上单调递增,

.故,

.??10 分

(3)由题意,得

,则

,解得

,所以

????????12 分

假设存在最大的常数

,使

恒成立.

于是设

=



,则

,即

???????????16 分













,所以



上单调递减,

,故存在最大的常数

?????????????18 分

14、 ①② 由

的图象知

,则

,根据

的图象(如图)可知,①②正确.

15、B 16、D 17、B


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