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三角形形状判断


高一数学专题训练(2006.5) )
求三角形形状 【例题】 1. 在△ABC 中,若 sin B sin C = cos B cos C ,那么三角形的形状是什么? 分析: 分析:利用十字交叉将等式化成:

sin B cos C = cos B sin C
则 tgB = ctgC 。又因为 B、C 在三角形中 所以:B+C=90°,即△ABC 是直角三角形。

(说明:本题利用了角的关系,结合角在三角形的范围,得出结论。 )
2. 在△ABC 中,若 a cos A = b cos B ,试判断三角形的形状。 分析: 分析:解法 1 ∵ a cos A = b cos B ,由余弦定理得:

a

b2 + c2 ? a2 a 2 + c2 ? b2 =b , 2bc 2ac

化得: ( a 2 ? b 2 )( a 2 + b 2 ? c 2 ) = 0 ∴ a = b ,或 a + b = c ,
2 2 2

所以,△ABC 是等腰或直角三角形。 解法 2 a cos A = b cos B ,由正弦定理得: 2 R sin A cos A = 2 R sin B cos B 。 所以 sin 2 A = sin 2 B. 又∵cosA、cosB 同号,∴cosA>0,cosB>0 即 0< A<

π
2

,0 < B <

π
2

,∴ 0 < 2 A < π , 0 < 2 B < π

又 sin2A=sin( π -2A) ,所以 2B= π -2A ∴ A=B 或 A+B=

π

2

所以,△ABC 是等腰或直角三角形。

(说明:求三角形形状得题通常有两种思路:① 由角化边(如解法 1) 。然 。 后通过配方或分解因式来得出边与边得关系;② 由边化角(如解法 2) 通常推出最大角来判断三角形形状。但要注意角的范围。 )

共2页

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命题者:Atobe Jone

【专题训练】 专题训练】 一、选择题: 1.在△ABC 中,若 sin A + cos A =

3 ,那么△ABC 是( 4



A.正三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 2.在△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=3:4:5,则此三角形是( ) A.正三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3.已知△ABC 的三条边长分别为 4,5,6,那么这个三角形一定是( A.正三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
2



4.已知关于 x 的方程 x + x cos A cos B ? 1 + cos C = 0 的两根之和等于两根之积 的一半,那么△ABC 是( ) A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.在△ABC 中,如果 tgAtgB<1,那么这个三角形是( ) A.正三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二、填空题: 6.在△ABC 中, sin A sin B = cos
4 4 4 2

C ,则三角形是__________三角形。 2
2 2 2 2

7.在△ABC 中, a + b + c ? a b ? b c ? a c = 0 ,则△ABC 是__________
2 2

三角形。 三、解答题: 8.在△ABC 中,tgB + tgC + 3tgBtgC = 试判断△ABC 的形状。

3 ,又 3tgA + 3tgB + 1 = tgAtgB ,

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命题者:Atobe Jone

标准答案: 标准答案: 一、1. D 2. B 3 B 4 A 二、6.等腰 7. 等边

5B

三、∵ tan B + tan C + 3 tan B tan C =

3
3



tan B + tan C = 3 1 ? tan B tan C

即 tan( B + C ) = ? tan A =

∴ tan A = ? 3
∵0 < A < π

∴ ∠A = 120
∵ 3 tan A + 3 tan B + 1 = tan A tan B



tan B + tan A 3 =? 1 ? tan B tan A 3 3 3

即 tan( B + A) = ? tan C = ?

∴ tan C =

3 3

∵0 < C < π

∴ ∠C = 30 ∴ ?ABC 是顶角为 120 的等腰三角形


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