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例谈高中导数学习易错内容


2008年第4期

河北理科教学研究

教法探讨

例谈高中导数学习易错内容
浙江省台州职业技术学院陶正娟318000

例1

(2005年山东理21的变式题)已

(3算02+1)(菇一茗o).又。.。点(1,1)在切线上, .?.1一yo=(3x02+1)(1一茹o)(2),由(1)(2)

知数列{‰}的通项%=2×3“一1..厂(菇)= 口l茗+a2并2+…+口n菇“,求.,_(1). .错解:由f(1)=a1+a2+…+a。=(2×
31—1)+(2×32—1)+…+(2×3“一1)= 2×(31+32+…+3“)一n=3“+1—3一,l,得

解得{z三:或{二三二委...?过点c?,?,的切
线方程为y—I=4(菇一I),即4x一’,一3=0

厂(1)=0. 剖析:错解没有理解符号厂(1)的含义, /(1)≠[,(1)]’,厂(1)=[/(石)’]I;-1.
解:由f(髫)=口l髫+a2菇2+…+anx“

或,,+訾=百7(石+1)11P

7菇一4y-3=o.

例3已知函数厂(x)=一面3+口石+2

在R上单调递减,求实数a的取值范围.
错解:厂(菇)=一3石2+口.因为函数 f(省)=一茗3+口省+2在R上单调递减,所 以一3茗2+口<0在R上恒成立,即口<3茗2 在R上恒成立,所以口<(3x2)。舢a<0. 剖析:错解将厂(髫)<0视为厂(髫)在R 上单调递减的充要条件. 解:厂(髫)=一3菇2+口.因为函数.厂(龙) =一算3+ox+2在R上单调递减,所以 一3髫2+口≤0在R上恒成立,即口≤3x2在 R上恒成立,所以8≤(3x2)min,口≤0.当口= 0时,厂(z)=一3x2仅在菇=0处厂(石)= 0,所以当口≤O时,函数厂(菇)=一X3+口菇+ 2在R上单调递减. 例4 值.
已知函数f(戈)=髫3+口髫2+6茗

得厂(茗)=口1+2a2茗+…+n口。石”1,故 厂(1)=口l+2口2+…+几口n=(2×31—1)+
2(2×32一1)+…+n(2×3“一1)=2×(31+

2×32+…+,l×3“)一(1+2+…+n)=妄


+(n一百1)3川一丛警卫.
例2(2006高考全国卷Ⅱ文1l的变式 题)求过点(1,1)的曲线f(名)=X3+髫一1 的切线方程. 错解:由.厂(石)=3x2+1,得切线斜率蠡 =厂(1)=3×12+1=4,故过点(1,1)的切线 方程为Y一1=4(髫一1),即4x—v一3=0. 剖析:错解对切线的概念与导数的几何 意义没有理解透彻,将过点P的切线方程和 求在点P处的切线方程混淆. 解:设切点为(X0,yo),则),o=髫03+菇。 一1(1),’.’厂(茗)=3x2+1'...切线的斜率后 =厂(xo)=3x02+1,切线方程为,,一Yo=
?32?

+口2在石=1处取得极值10,求实数口,b的

错解:依题意得%=.?.?儿)=

 

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教法探讨

3石2+2口髫+6'...{3+2¨6。2

,解得

解:作辅助函数f(菇)=(z一10)石2(茹

Ll+口+b+口‘=10

>0),则厂(菇)=3x2—20x=髫(3x一20),
^n

髓f 3或难■
剖析:错解认为导数为零的点就是极值 点.事实上,厂(茸o)=0是可导函数f(z)在 名=茹。处有极值的必要不充分条件,上述解 法中由/(1)=0得出的结果需检验.

由厂(菇)>0得茹>掣,由厂(菇)<0得0<

茗<了20,故,(髫)在区间(挈,4-∞)上是单调
递增,在区间(o,掣)上是单调递减,因此当髫

:弩时函数,(菇):(算一10)菇2(石>o)取得
最小值.对于厅∈N+,函数,(n)=(n一10)
,解得

解:依题意得{么:j’:三.?.。厂(髫)=3石2
,.‘.{ 4-2ax+b'...f3+2¨6‘2



n2的最小值,取掣附近的整数6和7,由于
f(6)=一144,f(7)=一147,所以当//,∈N+

L1+口+b+口‘=10

{:三f 3或{:三:11'当口=一3,6=3时,
厂(石)=3x2—6x+3=3(石一1)2≥0,所以 ,(菇)在茗=1处无极值,舍去;当口=4,b= 一ll时,厂(菇)=3x2+8x一11=(茗一1)(3x

时函数,(n)=(n—lO)n2的最小值为,(7)
=一147

例6

(2004浙
‘),

江)已知函数Y=
.厂(戈)的导函数,,=

+11),当一{≠<菇<1时,厂(菇)<o;当菇>
1时,厂(菇)>0,所以厂(菇)在髫=1处有极 小值,符合条件.故所求的实数a、b的值为口
=4.b=一11.

厂(茗)的图象如图1 所示,则Y=厂(石)的 图象最有可能的是
( ).


f.


L \1力≥






图1
1),

例5设n∈N+,求函数f(,1)=(rt一 10)n2的最小值. 错解:由厂(厅)=(厅一10)/1,2得厂(,1)=
3n2—20n=n(3/1,一20),由厂(/'t)>0得n


.厂、f— 7



>掣,由厂(乃)<o得o<n<弩,故厂(乃)在
^^

V2



{.


r\一

\J?絮


区间(掣,+∞)上是单调递增,在区间(0,

哿)上是单调递减,因为n是正整数,厂(6):
一144,f(7)=一147.所以当乃∈N+时函数 /(,1)=(,l一10)儿2的最小值为
f(7)=一147.




/1、~ k /1
一,

2|i


剖析:最小值的结果一147是正确的,但 其解题过程是错误的,因为导数是对连续函 数来说的.





(下转第53页)
?33?

 

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考试指导

关?请你帮助他们继续探究.(只要求提出 假设和实验方案) 【假设】 【实验方案】 案,本题奖励4分. 【假设】
一.
. .

的催化效果比红砖粉好).【反思】质量;化 学性质. 【假设】H202生成02的快慢与 H202溶液浓度有关.【实验方案】取两份质 量相同浓度不同的H202溶液,各加入相同 质量的同种催化剂,测量各收集一瓶(相同 .体积)02所需的时间(其它合理的假设和 方案也给分,若能写出两种合理的假设和实 验方案,可奖励4分). 点评:此题为综合性实验探究题,不仅 考查常用仪器、02的收集方法、催化剂的 概念,又考查了实验数据的分析能力、文字 表达能力、提出问题的能力及实验设计能 力;由于本题的答案是开放的,因此有利于 考查学生发散思维能力;本题还设有奖分, 更有利于激励学生从多方位、多角度分析问 题,引导他们去探究、去创新,更加突出了
新课改的理念.

….

你若还能提出新的合理的假设和实验方

【实验方案】——一 解析:此题为实验探究题,考查了科学
探究的全过程.通过对实验数据的分析可 知:在相同条件下,H202生成02的快慢与 催化剂种类有关,除此之外,催化剂的质 量、溶液的浓度、温度等都有可能影响反应 速率,因此可任选一种进行探究. 答案为:【进行实验】锥形瓶排水法. 【结论】在相同条件下H202生成02的快慢 与催化剂种类有关(或在相同条件下Mn02

s辛。噜¥爷%向嘞勘{%粤铲%向¥刊%岛粤铲%毒奢%岛岛‰s≯%声柏毒和噜岛。噜毒:—锄毒辛劫岛粤爷%淬每盏—啕{%
(上接第33页) 抽样检查表明,许多学生凭空乱猜.
剖析:原因在于不会把图形语言转化为

值,在算=2处有极小值,因此Y=f(菇) 的图象最有可能的是(C).
参考文献
1严士健.微积分[M].北京:高等教育出版社,
2005.

符号语言. 解:由导函数的图象可知:在菇=0与 并=2处导函数的值为零,且在茗=0的左 侧导函数的值大于零,在龙=0的右侧导函 数的值小于零,在菇=2处的情况刚好相 反,故函数’,=厂(舅)在菇=0处有极大

2樊宏标.从高考试题看导数在三次函数中的应用[J]. 数理化学习(高中版),2007,2. 3蒲永录.从高考命题看高中数学导数教学[J].青海 师专学报(教育科学),2005,5—6.

?53

?

 

例谈高中导数学习易错内容
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 陶正娟, Tao zhengjuan 浙江省台州职业技术学院,318000 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2008,""(4) 0次

参考文献(3条) 1.严士健 微积分 2005 2.樊宏标 从高考试题看导数在三次函数中的应用 2007(02) 3.蒲永录 从高考命题看高中数学导数教学[期刊论文]-青海师专学报(教育科学) 2005

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hblkjxyj200804014.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:6fe6d8fa-0c4d-4582-ae61-9dca00a0eb8c 下载时间:2010年8月6日


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