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浙江省宁波市五校2015届高三适应性考试数学(理)试题

2015 年宁波市高三五校适应性考试 数学(理科)
说明:本试卷 分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。 注意:本卷考试时间 120 分钟,请考生将所有题目都做在答题卷上。 参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式 S=4πR2 V=Sh 球的体积公式 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 4 3 V= πR 台体的体积公式 3 1 其中 R 表示球的半径 V= h(S1+ S1 S 2 +S2) 3 锥体的体积公式 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, 1 V= Sh h 表示台体的高 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

选择题部分(40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知命题“ p : ?x ? 0 , ln x ? x ” ,则 ? p 为( A. ?x ? 0 , ln x ? x C. ?x ? 0 , ln x ? x )

B. ?x ? 0 , ln x ? x D. ?x ? 0 , ln x ? x

2.已知互不相等的正数 a, b, c, d , p, q 满足 a, c, b, d 成等差数列, a, p, b, q 成等比数列,则( ) A. c ? p, d ? q B. c ? p, d ? q C. c ? p, d ? q D. c ? p, d ? q )

3. 已知直线 a, b ,平面 ? , ? ,且 a ? ? , b ? ? ,则“ a ? b ”是“ ? // ? ”的( A.充分不必要条件 4.函数 f1 ( x) ? B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

1 1 , f 2 ( x) ? , x x ? f1 ( x)

, f n ?1 ( x) ?

1 , x ? f n ( x)

, 则函数 f2015 ( x) 是(



A.奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
2

B .偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 )

5.已知不存在整数 x 使不等式 (ax ? a ? 4)( x ? 4) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为( A. (0, ??) B. (0, 2] C. [1,2] D. [1,4]
1 正视图 2 侧视图

6.已知某几何体的三视图(单位: cm ),如图所示,则此几何体的 外接球的体积为( )

9 3 A. ? cm 2

B. 36? cm

3

2

俯视图

(第6题图)

C.

64 ? cm 3 3

D. 9? cm

3

7.已知过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的中心的直线交双曲线于点 A, B ,在双曲线 C 上任取与点 a 2 b2

A, B 不重合的点 P ,记直线 PA, PB, AB 的斜率分别为 k1, k2 , k ,若 k1k2 ? k 恒成立,则离心率 e 的取
值范围为( A.1 ? e ? )

2

B.1 ? e ?

2

C. e ?

2

D. e ?

2

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是( x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. [1, 5] B. [2, 6] C. [3,11]



D. [3,10]

非选择题部分(110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题 ,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分) 9. 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l 2 : x ? by ? 3 ? 0 ,且 l1 的倾斜角为

? ,则 a = 4

;若

l1 ? l 2 ,则 b =

;若 l1 // l 2 , 则两直线间的距离为



10.太阳光的入射角(光线与地面所成的角)为 面所成的角应为

? ,要使长为 m 的木棒在地面上的影子最长,则木棒与地 6
. , sin(? ?

,其最大影长 为

11. 已知 ? 为第二象限角,且 12. 设函数 f ( x) ? ? 为 .

1 ? tan ? 4 ? ? ? ,则 tan( ? ) ? 1 ? tan ? 3 2 8

?
12

)?

.

?| x ? 1 | ? 1,x ? 0 ,则 f ( f (2))? 2 ? ? x ? x, x ? 0

, 函 数 y ? f ( f ( x)) 的 零 点 个 数

13.已知实数 x, y 满足 loga x ? 2log x a ? log x y ? 4 ,其中常数 a ? 1 ,当 y 取最大值 2 时,对应的 x 的值为
2

.

14.已知抛物线 y ? 4 x 过焦点 F 的弦 AB ,过弦 AB 的中点作准线 l 的垂线,垂足为 M ,则 MA ?MB 的值为 .

15.已知函数 f ( x) ? sin

?
2

x, 任意的 t ? R, 记函数 f ( x) 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值为 M (t ),

最小值为 m(t ) ,则函数 h(t ) ? M (t ) ? m(t ) 的值域为

.

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 15 分)

?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos2 A ? 3 cos(B ? C ) ? 1 .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 cos B cos C ? ? ,且 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .

1 8

17. (本小题满分 15 分) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 , AB ? 5 ,

AD ? 4, BD ? 3 , 将 ?BCD 沿 着 BD 翻 折 到 平 面
D

F

C1 C

BC1 D 处 ( 不与平面 ABCD 重合) , E , F 分别为对边
AB, C1D 的中点,
(Ⅰ)求证: EF ? BD ; ( Ⅱ ) 若异面直线 EF , BC1 所成的角为 30 ,求二面角
A E
第17题图

B

C1 ? AB ? D 的平面角的正切值.

[来源:学科网]

18.(本小题满分 15 分) 如图,已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点为 F ,右顶点为 A , P 为直线 2 2 a b
y

x?

5 a 上的任意一点,且 ( PF ? PA) ? AF ? 2 . 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 P 所作椭圆 C 的切线 l 与坐标轴不平行,切 点为 Q,且交 y 轴于点 T,试确定 x 轴上是否存在定 点M , 使得 sin ?OTQ ? 2 | cos ?TQM | .若存在, 请 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
Q

P T

x O F A

(第18题图)

19. (本小题满分 15 分)
3 3 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ?

? an3 ?

n2 (n ? 1)2 , n ? N? . 4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 n ? N ,都有
?

a a1 a ? a2 2 ? a3 3 ? 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a3
a1

?

an ?4. 2 ? an
an

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? ? x ? bx ? c ,其中常数 b, c ? R .
2

(Ⅰ)若任意的 x ?[?1,1] , f ( x) ? 0, f (2 ? x) ? 0 ,试求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? ,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ,试求实数 b 的取值范围.

2015 年五校高三适应性考试数学(理科)试题 参考答案
一、选择题:

题号 1 答案 B
二、填空题: 题号

2 C

3 B

4

[



5 D

6 A

7 D

8 C

源:Z&xx&k.Com]

A

9
a ? ?2, b ? 1 ;

10
?2 ,

11
f ( f (2)) ? 0 ,
5个
2

12
?
3 , 2m

13

14

15
[1 ? 2 , 2] 2

答 案

7 2 4

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

3? 4 3 10

2

0

16. (Ⅰ)由 cos2 A ? 3 cos(B ? C ) ? 1 得, 2 cos A ? 3 cos A ? 2 ? 0 ,?????2 分 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 ,所以, cos A ? 因为 A 为三角形内角,所以 A ?

?
3

1 或 cos A ? ?2 (舍去) ?????4 分 2

.???????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? ? cos( B ? C ) ? 则 cos B cos C ? sin A sin B ? ? 由 cos B cos C ? ?

1 , 2

1 ; 2

1 3 ,得 sin A sin B ? ,?????????9 分 8 8

由正弦定理,有

a b c 2a sin B 2a sin C ? ? ,即 b ? ,c ? ,?????12 分 sin A sin B sin C 3 3

3 2 1 a 2 sin B sin C 3 2 由三角形的面积公式,得 S ? bc sin A ? a ? 2 3, ? a ,即 8 2 8 3
解得 a ? 4 .?????????15 分 17. 解法一:(Ⅰ)连结 CC1 ,并取 CC1 的中点 M ,连结 FM , BM . 因为 F 分别为 C1D 的中点,所以, FM // DC 且 FM ?

1 DC ; 2

// AB ; 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以, DC ?

// EB ,即四边形 FMBE 为平行四边形;?????????3 又 E 分别为 AB 的中点,所以, FM ?
分 所以, EF // MB .
2 2 2 因为 AB ? 5 , AD ? 4, BD ? 3 ,即 AD ? BD ? AB ;

所以, BD ? AD , BD ? BC , BD ? BC1 ; 所以, BD ? 平面 BCC1 . 又因为 BM ? 平面 BCC1 ,所以 BD ? BM , BD ? EF .?????????6 分 (Ⅱ)取 BC 的中点 N ,过 N 作线段 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 H . 由(1)知,异面直线 EF , BC1 所成的角为 ?C1BM ,故 ?C1BM ? 30 ; 因为 BC ? BC 1 , M 为 CC1 的中点,所以, ?C1BC ? 60 ,即 ?C1BC 为正三角形. 所以 C1 N ? BC .?????????9 分 由(Ⅰ)知,异面直线 EF , BC1 所成的角为 ?C1BM ,故 ?C1BM ? 30 ; 因为 BC ? BC 1 , M 为 CC1 的中点,所以, ?C1BC ? 60 ,即 ?C1BC 为正三角形. 所以 C1 N ? BC . 又 BD ? 平面 BCC1 ,所以,平面 ABCD ? 平面 BCC1 ; 因为平面 ABCD 平面 BCC1 ? BC ,所以 C1 N ? 平面 ABCD , C1 N ? AB ;

所以, ?C1HN 为二面角 C1 ? AB ? D 的平面角. ?????????12 分 在 Rt ?C1 NH 中, C1 N ?

1 BD 6 3 ? , BC ? 2 3 , NH ? NB ? sin ?NBH ? BC ? 2 AB 5 2

[来源:学科网]

所以, tan ?C1 HN ?

C1 N 5 3 ? , NH 3 5 3 .?????????15 分 3

即二面角 C1 ? AB ? D 的平面角的正切值为

2 2 2 解法二:(Ⅰ)因为 AB ? 5 , AD ? 4, BD ? 3 ,即 AD ? BD ? AB ;

所以, BD ? AD , BD ? BC , BD ? BC1 ; 所以, BD ? 平面 BCC1 .?????????2 分 以 B 为原点,直线 BC , BD 分别为 x 轴、 y 轴建立如图 所示的空间直角坐标系. ?????????3 分 则
F

z
C1

x
C

y
D

C (4, 0, 0), D(0,3, 0), A(?4,3, 0)
1





?C

B? ? ? C ( ?0 ,则 , C1 (4cos ) ? ,0, 4sin ? ) ,
3 2 3 2
A E B

所以,中点 E (?2, , 0), F (2 cos ? , , 2sin ? ) , 所以, EF ? (2cos? ? 2,0,2sin ? ) , BD ? (0,3,0) ,

所以, EF ? BD ? 0 ,即 BD ? EF .?????????6 分 (Ⅱ) 因为异面直线 EF , BC1 所成的角为 30 ,所以, | EF ? BC1 |?| EF | ? | BC1 | ? cos 即 8 ? 8cos? ? 2 3(8 ? 8cos? ) ,解得 cos ? ? 设平面 C1 AB 的一个法向量 m ? ( x, y, z ) ,则

?
6



1 ? , ? ? .即 C1 (2,0,2 3) .????8 分 2 3

? ? ? 4x ? 3y ? 0 ? m ? AB ? 0 ,即 ? ,取 y ? 4 ,则 x ? 3, z ? ? 3 ,即 m ? (3, 4, ? 3) . ? 2 x ? 2 3 z ? 0 ? m ? BC ? 0 ? ? ? 1
?????????11 分 又平面 ABD 的一个法向量 n ? (0,0,1) ,?????????12 分 所以 cos m, n ?

5 3 m?n ? 3 21 , tan m, n ? ? , ? ?? 3 | m || n | 2 7 14

因 为 二 面 角 C1 ? AB ? D 为 锐 二 面 角 , 所 以 二 面 角 C1 ? AB ? D 的 平 面 角 的 正 切 值 为

| tan m, n |?

5 3 . 3
5 4

????????? 15 分

18. (Ⅰ) 由题意,知右顶点 A(a, 0) ,设 P ( a, m) ,右焦点 F (c,0) ,则 a ? 2c , 由 ( PF ? PA) ? AF ? 2 ,得 (2c ? 3a)(c ? a) ? 4 , 解得 a ? 2, c ? 1 ,所以 b ? a ? c ? 3
2 2 2

?????????2 分 ?????????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
?????????5 分(注:取 P 为特殊点求值,只能得 4 分)

(Ⅱ)设切点 Q( x0 , y0 ), x0 y0 ? 0 ,切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,与椭圆方程联立,得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k ( y0 ? kx0 ) x ? 4( y0 ? kx0 )2 ?12 ? 0 有相等实根,
所以 , ? ? [8k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(3 ? 4k 2 )[4( y0 ? kx0 )2 ?12] ? 0 , 解得, k ? ?

3x0 , 4 y0

又 3x02 ? 4 y02 ? 12 ,所以,切线方程为 3x0 x ? 4 y0 y ?12 ? 0 . ?????????8 分(注:用隐函数求导得切线方程同样得分) 则切线与 y 轴的交点 T (0,

3 12 , ) ,且原点 O 到切线的距离 d ? 2 2 y0 9 x0 ? 16 y0
? ????????11 分

所以 sin ?OTQ ?

4 | y0 | d . ? | OT | 9 x02 ? 16 y02

若 x 轴上存在定点 M (m, 0) 使 sin ?OTQ ? 2 | cos ?TQM | , 由 QT ? (? x0 ,

3 ? y02 3x 2 ) ? (? x0 , 0 ), QM ? (m ? x0 , ? y0 ) 得, y0 4 y0
| 4 y0 (m ? x0 ) ? 3x0 y0 | | QT ? QM | ? ,??????13 分 2 | QT | ? | QM | 9 x0 ? 16 y0 2 ? [(m ? x0 )2 ? y0 2 ]

| cos ?TQM |?

所以,

2 | y0 | 9 x02 ? 16 y02
2

?

| 4 y0 (m ? x0 ) ? 3x0 y0 | 9 x02 ? 16 y02 ? (m ? x0 )2 ? y02

对任意的 | x0 |? (0, 2) 恒成立,

化简,得 m ? 1 , m ? ?1 . 所以, x 轴上存在定点 M (?1, 0) 即椭圆 C 的两焦点使 sin ?OTQ ? 2 | cos ?TQM | . ?????????15 分

3 3 19. (Ⅰ)因为 a1 ? a2 ?

? an3 ?

n2 (n ? 1)2 , 4
?????????2 分

当 n ? 1 时, a13 ? 1 ,即 a1 ? 1 .

3 3 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ?

? an?13 ?

n2 (n ? 1)2 n2 (n ? 1)2 n2 (n ? 1)2 3 ? ? n3 , ,作差,得 an ? 4 4 4
?????????4 分 ?????????5 分(不检验,此步不得分) ?????????6 分

an ? n ,

且 a1 ? 1 也满足此式; 所以, ?an ? 的通项公式为 an ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)得

an n ? n ,因为 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n ? (2n ? 1) ? 2n ? n ? 2 ? 1 ? 0 , 2 ? an 2 ? n
an

所以,

an ? 0, 2 an ? an

?????????8 分



a an n 2n 2n(n ? 2n ?1 ) ? n ?1 . ? ? ? 0 ,即 an n an n n 2 ? an 2 n(2 ? n) 2 ? an 2
?????????11 分

所以,

a a1 a ? a2 2 ? a3 3 ? 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a3
a1

?

an 1 2 3 ? 1?1 ? 2?1 ? 3?1 ? 2 2 2 ? an 2
an

?

n , 2n ?1

1 2 3 n ? 2?1 ? 3?1 ? ? n?1 , 1?1 2 2 2 2 由错位相减法,得 n?2? 1 1 1 n ?1 n ? S ? 1 ? ? 2 ? ? n?1 ? n ,即 S ? 2 ? 2 ? n ? ? 4 .?????????14 分 2 ? 2 2 2 2 2 ?
记S ? 所以

a a1 a ? a2 2 ? a3 3 ? 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a3
a1

?

an ? 4 .?????????15 分 2 ? an
an

20.(Ⅰ)因为 ?1 ? x ? 1 ,则 1 ? 2 ? x ? 3 , 由已知, 有对任意的 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立, 任意的 1 ? x ? 3 , f ( x) ? 0 恒 成立, 故 f ?1? ? 0 且 f (1) ? 0 ,所以, f (1) ? 0 ,即 1 为函数 y ? f ( x) 的一个零点. ?????????2 分 因此可设 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? c) . 所以,任意的 1 ? x ? 3 , f ( x) ? 0 恒成立,则 [1,3] ? [1, c] ,????????? 5 分 即 c 的取值范围为 c ? 3
2

?????????7 分

(Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对 ?x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立, 即 f ( x)max ? f ( x)min ? 4 ,?????????8 分

记 f ( x)max ? f ( x)min ? M ,则 M ? 4 . 当| ?

b |? 1 即 | b |? 2 时, M ?| f (1) ? f (?1) |?| 2b |? 4 ,与 M ? 4 矛盾; 2
?????????10 分

当| ?

b b M ? max{ f (1), f (?1)} ? f (? ) |? 1 即 ?2 ? b ? 2 时, 2 2

?

b f (1) ? f (?1)? | f (1) ? f (?1) | b ? f (? ) ? (1 ? )2 ? 4 ,即 ?2 ? b ? 2 . 2 2 2
?????????13 分 ?????????14 分
[来源:Z.xx.k.Com]

综上, c 的取值范围为 ?2 ? b ? 2 .


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