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肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练六(文)


肇庆市第一中学 2013-2014 学年第二学期高三年级 数学二轮专题训练六 数学(文科)
参考公式:球的体积公式是 V ? 棱锥的体积公式: V ?

4 ? R3 ,其中 R 是球的半径. 3

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , 那 么
2

?

?

?

?

A ? (CU B) ?
A. x | ?2 ≤ x ? 4 2.函数 y ? 2 sin(

?

?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4

?

?

C. x | ? 2 ≤ x ? ? 1 D. x | ? 1 ≤ x ≤ 3

?

? ?

?

?
2

? 2 x) 是
B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

3.已知命题 p : ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 ,那么 ?p 是 A. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 C. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 B. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0 D. ? x ? 1 , x 2 ? 1 ? 0
3

4. 已知 i 是虚数单位, 则复数 z ? i ? (?1 ? 2i) 的虚部为 A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 1 第 5 题图

5.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该 几何体的体积是
-1-

14? D. 5? 3 ?y≥ x ? 6.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2 ,则 z ? x ? 3 y ? 2 的最小值为 ? x ≥ ?2 ?
A. 4? B. C. A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8

13? 3

2 7.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ,则 a2 ? a18 ?

A.36

B.35

C.34
2 2

D.33

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2bc , sin C ? 3sin B , 则 A? A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

9.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A. n ? 5 10.椭圆 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

x2 y 2 ? =1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭 4 3 ??? ? ??? ? 圆上任意一点,则 PF 1 ? PF 2 的取值范围是
A. (0, 4] B. (0,3] C. [3, 4) D. [3, 4] 第 9 题图

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其

中 14~15 题是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. ) 11.设平面向量 a ? ? 3,5 ? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ?

?

?

?

?

. .

n 12. 若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A (2,8) , 则直线 l 的方程为

13.已知函数 f ( x) ? ?

? cos ? x ? f ( x ? 1) ? 1

( x ≤ 0) ( x ? 0)

,则 f ( ) ? f (? ) ?

4 3

4 3



★(请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)

-2-

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程 为 .
B O C

15. (几何证明选讲选做题)如右图,从圆 O 外一点 A 引圆 的切线 AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,
A

圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到直线 AC 的距离为



D

第 15 题图

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤,请在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 16. (本小题满分 12 分)

1) , B(?2, 0) , C (cos ?, sin ? ) ( ? ? (0, ? ) ) 已知平面直角坐标系上的三点 A(0, ,

???? ??? ? O 为坐标原点,向量 BA 与向量 OC 共线.
(1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? 2? ?

? ?

??

? 的值. 4?

-3-

17. (本小题满分 12 分) 某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单 位:千克/米 2)如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以 下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都 在[18.5,23.9)中的概率.

-4-

18. (本小题满分 14 分) 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, D1 D ? 底面

ABCD , AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(1)求证:平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 ; (2)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积. D1 A1 B1 C1

D A 第 18 题图 B

C

-5-

19. (本小题满分 14 分) 设 {a n } 是各项都为正数的等比数列, ?bn ?是等差数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 13 ,

a5 ? b3 ? 21.
(1)求数列 {a n } , ?bn ?的通项公式; (2)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n ? bn } 的前 n 项和 Tn .

-6-

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : y ? 8 x 与双曲线 C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 ,点 A a 2 b2

是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线 C2 的方程; ( 2 )以双曲线 C2 的另一焦点 F1 为圆心的圆 M 与直线 y ?

3 x 相切,圆 N :

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .过点 P(1, 3) 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l 2 ,设

s l1 被圆 M 截得的弦长为 s , l 2 被圆 N 截得的弦长为 t ,问: 是否为定值?如果是,请求 t
出这个定值;如果不是,请说明理由.

-7-

21. (本小题满分 14 分) 已知 P ? x, y? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率

k ? f ? x? .
(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? (2)当 x ? 1时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

-8-

二轮专题训练六参考答案
一.选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D

二.填空题 11. 5 2 14. ? sin(? ? 三.解答题 16.解: (1)法 1:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos ? ,sin ? ) ,……………2 分 ∵ BA // OC ,∴ 2sin ? ? cos? ? 0 ,∴ tan ? ? 12. 12 x ? y ? 16 ? 0 13. 1 15. 5

?
4

)?

2 (与其等价的极坐标方程皆可) 2

??? ?

????

??? ? ????

1 . …………………5 分 2

法 2:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos ? ,sin ? ) , …………………2 分 ∵ BA // OC ,∴ BA ? ? OC ,∴ ? (2)∵ tan ? ?

??? ?

????

??? ? ????

??? ?

????

?2 ? ? cos ? 1 ,∴ tan ? ? .…………………5 分 2 ? 1 ? ? sin ?

1 ? ? 0 , ? ?[0, ? ) ,∴ ? ? (0, ) ,…………………6 分 ks5u 2 2

? sin ? 1 ? ? 5 2 5 由 ? cos ? 2 ,解得 sin ? ? , cos ? ? , …………………8 分 5 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

5 2 5 4 ? ? ;…………………9 分 5 5 5

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?
∴ sin(2? ?

4 1 3 ? ? ;…………………10 分 5 5 5
? cos 2? sin

?
4

) ? sin 2? cos

?
4

?

4 2 3 2 2 . ……………12 分 ? ? ? ? ? 4 5 2 5 2 10

-9-

17.解: (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.……………4 分 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P 1 ?

3 1 ? .…………………………6 分 6 2

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.………………10 分 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1 . 70 以上且体重指标都在 [18 . 5 , 23 . 9) 中的概率为

P2 ?

3 .………12 分 10

18.解: (1)证明: 在 ?ABD 中,由余弦定理得:

BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,
所以 AD2 ? BD 2 ? AB 2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,………………………3 分 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又 D1 D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1 D ? BC ,……………………4 分 又 D1 D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1 B1 , ……………………………………5 分 又 BC ? 平面 A1 BCD1 ,所以平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 .……………………6 分

D1? B D (2) 法一: 连结 BD1 , ∵D

? 3, ∴ BD1 ? 6
D1 A1 M D A
解法一图 - 10 -

∵ BC ? 平面 BDD1 B1 ,所以 BC ? BD1 ,…… 8 分 所以四边形 A1 BCD1 的面积

C1 B1

S A1BCD1

1 ? 2 ? ? BC ? BD1 ? 6 ,…………10 分 2

C B

取 BD1 的 中 点 M , 连 结 DM , 则 DM ? BD 1 ,且

DM ?

6 , 2

又平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A1 BCD1 ,……………………………………13 分 所以四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积:

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ……………………………………14 分 3
法二: 四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积 D1 A1 B1 C1

V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ,……………8 分
而三棱锥 D ? A1 BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均 相等,……………10 分 所以V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ? 2VD ? BCD1

D A
解法二图

C B

? 2VD1 ? BCD

1 ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 . ……………14 分 3

19.解: (1)设数列 {a n } 的公比为 q(q ? 0), 数列 ?bn ?的公差为 d , 依题意得: ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ? , 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13

………………………………………………2 分

消去 d 得 2q 4 ? q 2 ? 28 ? 0 ? (q 2 ? 4)(2q 2 ? 7) ? 0 ,…………………………………3 分 ∵q ? 0 ∴ an ? 2 ∴ q ? 2 ,由 q ? 2 可解得 d ? 2 …………………………………………4 分
n ?1

, bn ? 2n ? 1. ………………………………………………5 分
n

(2)由(1)得 S n ? 2 ? 1 ,所以有:

Tn ? S1b1 ? S2b2 ? L ? Snbn ? (21 ? 1)b1 ? (22 ? 1)b2 ? L ? (2n ? 1)bn
? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn ) ……………………………………7 分
令 S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2 ? bn ①
1 2 n

则 2S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2
2 3

n ?1

? bn ②

- 11 -

①-②得:

?S ? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 L ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1 , ………………………………………10 分 ?S ? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ? 1)2n?1 ? 2[1 ? 22 (2n?1 ? 1)] ? (2n ? 1) ? 2n?1
∴ S ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? 6, ………………………………………………12 分 又 b1 ? b2 ? L ? bn ? ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2
n ?1

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ,…………………………………13 分 2

? 6 ? n 2 . ………………………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵抛物线 C1 : y ? 8 x 的焦点为 F2 (2, 0) ,
2

∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2, 0) 、 F2 (2, 0) ,………………………………………1 分
2 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y ? 8 x 上,且 AF2 ? 5 , 2 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,………3 分

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,………………………………………………4 分

又∵点 A 在双曲线 C2 上,由双曲线定义得:

2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线 C2 的方程为: x 2 ?
(2)

y2 ? 1 .………………6 分 3

s 为定值.下面给出说明. t
2 2 2

设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r , ∵圆 M 与直线 y ? ∴圆 M 的半径为 r ?

3 x 相切,

2 3 1? ( 3 )
2

? 3 ,故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 .……………7 分

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意,……………………………………………8 分 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 ,
- 12 -

设 l 2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ? 1 ? 0 , k
| 3k ? 3 | 1? k 2


∴点 F1 到直线 l1 的距离为 d1 ?

点 F2 到直线 l 2 的距离为 d 2 ?

| 3k ? 1| 1? k 2

,………………………………………10 分
2

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ,…………11 分 ? 2 ? ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l 2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? ,……………12 分 2 ? 1? k 2 ? ? ?2 1 ? k ? ?

2

s ? t

6 3k ? 6k 2 ? 2 3k ? 2k 2

s 6( 3k ? k 2 ) ? 3 , 故 为定值 3 . ………………14 分 2 t 2( 3k ? k )

21.解: (1)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ? ?

1 ? ln x , x ? 0 ………………………………1 分 x
…………………………………………2 分

1 ? ln x ?? ln x ? ?? 2 x ? x ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值.…………………………………………3 分 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? .……………4 分 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , 1 m ? ?1 3 ?3 ? ? 3 ?
(2)由 f ? x ? ? 则 g? ? x ? ?

t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? , 得t ? ? ? x ?1 x x
……………………………………………………6 分

x ? ln x . x2

- 13 -

令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 1? x = , x x

+? ? 上单调递增.……………………7 分 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1,
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0

g ? x ? 在 ?1, +? ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2 ? . (3)由(2) 知 f ? x ? ? 即 …………………………………………9 分

2 恒成立, x ?1
……………………11 分

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln[n ? n ? 1?] ? 1 ? 所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 ,……………………12 分 n ? n ? 1?

2 2 2 , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? ,……, ln n ? n ? 1? ? 1 ? . n ? n ? 1? 1? 2 2?3

n ? 1 1 1 ? ? ? ??? ? n 将以上 个式子相加得: ? ln[i (i ? 1)] ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? i ?1 ?1 ? 2 2 ? 3

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2, ? n ?1 ?


? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
* i ?1

n

………………………………14 分

- 14 -


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