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高中数学三角函数的教学与学习方法

高中数学三角函数的教学与学习方法 摘要:本文就三角函数的教学与学习做了简单分析,并结合相关 例题进行了详细的介绍和讲述,使感兴趣的读者在解决三角函数题 的同时对三角函数知识有更深的理解。本文主要有三角函数的总体 概述,三角函数的图像性质,三角函数的恒等变换以及三角和差计 算等主要内容。 关键词:三角函数;图像性质;恒等变换;三角和差 一、导言 高中数学中的三角函数部分是高中数学教学与学习的主要部分, 与高中数学中其余的大部分知识领域都有着非常紧密的联系,由于 这部分内容概念是学生刚接触的新知识,对于刚入高中的高一新生 来讲算比较难的知识点,但随着对高中知识的不断积累,学生对这 部分的内容慢慢掌握,对相关题型有足够的了解。 二、三角函数的教学与学习总体概述 1.通过诱导公式加深理解三角函数性质 诱导公式在三角函数的化简求值中是一个非常重要的工具,同时 也反应三角函数的一些重要的性质,三角函数的一些性质也能够推 导出诱导公式。运用诱导公式时一定要先观察在动手,要学会观察 角度之间的关系,是否出现α +β =kπ 2(k∈z) ,α -β =kπ 2(k∈ z) ,如若出现此情形一定可以用诱导公式。一定可以运用诱导公式 的口决“奇变偶不变符号看象限” 。通过诱导公式我们可以用五点 作图画出正弦函数 y=sinx(x∈r)的图像,同时,通过它的图像我 们也能够解释诱导公式,加深诱导公式以及三角函数性质的理解。 正弦函数与余弦函数之间也有着密切的联系,它们的图形是一致 的,只不过图形所在的位置有些不同,但通过左右平移,可以得到 一致,正弦函数图像与余弦函数图像间的关系可以通过诱导公式解 释,y=sinx=cos(x-π 2) 。 2.通过单调性和奇偶性加深理解三角函数性质 三角函数单调性和奇偶性比较容易掌握,但是学习过此部分内容 的学生还没有很好的理解三角函数的性质和三角函数图像之间的 对应关系,三角函数的图像很好的体现出三角函数的单调性以及奇 偶性。其中,三角函数的单调性是三角函数中考察的最重要的知识 点之一。例如 y=sin(wx+φ )的单调性,奇偶性。 三、三角函数的教学与学习的具体分析 1.三角函数的图像性质 三角函数图像的两个重要对此性质: (1)函数的图像关于直线(过 最值点且垂直于 x 轴)成轴对称: (2)函数图像关于其与 x 轴的交 点成中心对称。 要了解正弦函数和余弦函数的图像,必须会用“五点作图”画函 数简图,并能解决与三角函数曲线有关的问题。 三角函数的性质包括很多内容,其中求函数的最值,单调性,周 期性是重要的部分,这部分也是难点,这部分内容综合性比较强。 下面就有例子涉及到。 2.三角函数恒等变换 熟练掌握三角函数恒等变换的方法以及技巧。熟记三角函数关系, 在恒等变换中,先考虑把不同的角化为同角;另外还要把不同名的 化为同名的,注意利用 sin2x+cos2x=1 来替换式中的“1” 。正弦, 余弦,正切三个中已知其中的一个则可以求另外两个,这个是三角 恒等变换中最明显的运用。 例题分析:例题 1、已知:tan=2,求 sin2-3sincos+1 的值 分析:若此题已知 tan,根据 sincos=tan,sin2+cos2=1 可以算出 此题, 但此题还可以用其他更简单的方法, 就是对公式的熟练运用。 解: 此题应为一个综合题,考察了倍角公式,和角公式,还考察了三 角函数的简单性质,周期,最值,单调性。 3.三角两角和与差 这部分内容公式很多,而且题型复杂多变,同学们解题时往往找 不到思路,无从下手,所有复习两角和与差的三角问题时,则一般 化复角为单角,再利用公式计算。在计算的过程中一定要注意角的 范围,这个会直接影响三角函数值的正负。下面举例进行说明。 例题 4、已知α β ∈(0,π 2) ,且分析这个题目,有部分同学会 把 sin(α -β )拆开来做题,但是后面计算非常的复杂,而此题并 非考察这个知识点,而是利用β =α -(α -β )来计算的 运用三角和差公式时,一定要学会观察角度之间的关系,相加怎 么样,相减又怎样,这样运用公式快而准,但要注意三角函数正负 的取值,角度的范围,否则到最后都会出错。三角函数的和差公式 在解三角形中也有很重要的作用,特别是在解决三角形的一些内角 问题时,下面例题 5 就是个很好的例子,但求此类题要主注意角度 的范围,三个内角都在(0,π ) 。 在计算三角和差的时侯,一定要分析角的范围,特别是求出某角 的三角函数值时,要具体求出角度,则必须判断角的范围,否则容 易出错。 4.二倍角的三角函数 在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二 倍角”关系的正弦、余弦、正切公式,它既有两角和差的正弦、余 弦、正切公式的特殊化,又有以后求三角函数值、简化、恒等式证 明提供了非常有用的理论工具。 在学习倍角公式时,其实就是两角和的特殊情形。运用二倍角公 式时,不要局限于 2α 是α 的二倍角的情况,α 与α 2,α 2 与α 4, 3α 与 3α 2 等都是二倍角的关系,由于教材对该公式要求水平的界 定,因此,在例题与 练习题中都没有安排更多类似训练,教学中,可以根据学生具体 情况适当补充一两个这样的练习,为半角公式的推导做铺垫。 例题 5、已知 sinθ =45,且 5π 2<θ <3π ,求 cosθ 2 和 tanθ 2 的 值 分析:此题中一定要分析到θ 与θ 2 的倍角关系 此题当中的半角公式不需要记忆,但需要自己自行推导。 四、小结 本文就三角函数的教学与学习问题做了简单分析,并结合一些实 际的例题进行分析,使得对三角函数感兴趣的读者能在做题的同时 得到一些帮助并能加深对三角函数知识点的理解。本文内容大致包 括三角函数图像性质、三角函数恒等变换、三角函数和角差角的计 算,以及三角形内角的一些计算。 参考文献: [1]侯守一.三角函数复习浅谈【j】 。名师专题讲座 2007(4) [2]杨德新.高中数学新课程教材教

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