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江苏省响水中学高中数学必修一(苏教版)导学案:第二章《对数的概念》


1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质. 2.掌握指数式与对数式的互化. 3.能利用对数的概念和性质求一些简单对数的值.

前面我们学习了指数函数,我们知道函数 y=2x 的值域是(0,+∞),那么 x 为何值 时,y 的值为 5?上述问题可以转化为解方程 2x=5,通过观察 y=2x 的图象可知该方程 只有一个解,而且这个解在 2 与 3 之间,如何表示出这个解,在学习对数的概念之后问 题就迎刃而解了.

问题 1:对数的定义 (1)如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x= 其中 a 叫作对数的 ,N 叫作 ,

. .
,真数 b 满足的条

(2)通过对数解方程 2x=5 可得:x=

(3)若对数 logab 有意义,则底数 a 满足的条件是 件是

.

问题 2:指数式与对数式互化的注意事项 根据定义,指数式与对数式互化公式:ax=N? 的成立条件是 a>0,a≠1 且

-1-

N>0,不满足条件不能转化,如(-5)2=25 不能写成 log-525=2.
问题 3:对数的性质 (1)负数和零没有对数;(2)当 a>0,且 a≠1 时,loga1= ,logaa=

.

问题 4:(1)有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大作用,是哪两类? (2)

=N(a>0,a≠1 且 N>0)成立吗?为什么?
为底的对数叫常用对数,记作

(1)常用对数:通常我们将以

.

自然对数:在科学技术中,常常使用以 e 为底的对数,这种对数称为自然对数,记 作 ,其中 e=2.71828…是一个无理数. 常用对数和自然对数对科学研究和了解自然起了巨大作用. (2)成立,设 ab=N,则 b= ,所以 ab=

=

.

1.3x=5 化为对数式是 2.已知 logx16=2,则 x= 3.若 lo

. . .

=0,则 x 的值是

4.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)2-7= ; (2)3a=27;(3)10-1=0.1;(4)lo 32=-5.

对数的概念
-2-

求下列各式中的 x 的范围: (1)log2(x-10); (2)log(x-1)(x+2).

利用对数的定义求值 求下列各式中的 x 值. (1)logx27= ;(2)log2x=- ; (3)x=log27 ;(4)x=lo 16.

利用对数的性质及对数恒等式求值 求下列各式中 x 的值: (1)log2(log4x)=0; (2)lo (3)

=x; =x.

求下列各式中的 x 的范围: (1)log(2x-1)(x+2); (2)lo (-3x+8).

-3-

求下列各式中的 x: (1)lo

x=-1;(2)x=lo 8;

(3)logx(3+2 )=-2.

求值: (1)10lg 2= (2) (3) (4)(

. . . . .

= = =

(5)已知 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,则 x+y=

1.下列各式中,能解得 x=-3 的是

.

①lo

4=x;

②3x= ; ③lg 0.0001=x; ④ln e5=x.
2.

=

. .

3.若 logx( +1)=-1,则 x=

4.求使 log3(9x-6· 3x-27)有意义的 x 的取值范围.
-4-

计算:

=

.

考题变式(我来改编):

第 4 课时 知识体系梳理 问题 1:(1)logaN 底数 问题 2:x=logaN 问题 3:(2)0 问题 4 :(1)10 基础学习交流 1.x=log 35 2 .4 3.-2 1 lg N ln N (2)logaN 真数

对数的概念

(2)log25

(3)a>0,且 a≠1

b>0

N

由 ax=N? x=logaN 知 x=log35.

改写为指数式 x2=16,但 x 作为对数的底数,必须取正值,∴x=4.

∵1 的对数等于 0,∴

=1,解得 x=-2.

-5-

4.解:(1)log2 =-7; (2)log327=a; (3)lg 0.1=-1; (4)( )-5=32. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)由题意有 x-10>0,

∴x>10,∴x 的取值范围是{x|x>10}.
(2)由题意有



∴x>1 且 x≠2,

∴x 的取值范围是{x|x>1 且 x≠2}.
【小结】求对数式中有关参数的范围时 ,应根据对数中底数和真数所要满足的 条件列出不等式 组,解出即可. 探究二:【解析】(1)由 logx27= ,可得 =27,

∴x=2 =(33 =32=9.
(2)由 log2x=- ,可得 x= ,

∴x=(

= = ,

(3)由 x=log27 ,可得 27x= ,

∴33x=3-2,∴x=- .
(4)由 x=lo 16,可得( )x=16.

∴2-x=24,∴x=-4.

-6-

【小结】实际上,指数式 ab=N(a>0,且 a≠1)与对数式 b=logaN(a>0,a≠1,N>0)之 间是一种等价关系.已知对数式可以转化成指数式,指数式同样可以转化成对数式. 探究三:【解析】(1)∵log2(log4x)=0,

∴log4x=20=1, ∴x=41=4.
(2)∵lo

=x, = -1,∴x=1. =N 可知 x= 5. =N.

∴( -1)x=

(3)由对数恒等式 :

【小结】(1)对数运算的常用性质:logaa=1,loga1=0, 对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质. 思维拓展应用 应用一:(1)因为真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1,所以

(2)使用对数的性质时 ,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用 ;对于多重

解得 x> 且 x≠1.

即 x 的取值范围是{x|x> 且 x≠1}. (2)因为底数 x2+1 大于 0 且不等于 1, 所以 x≠0; 又因为-3x+8>0,所以 x< ,

综上可知 x< ,且 x≠0,

即 x 的取值范围是{x|x< 且 x≠0}.

应用二:(1)由 lo

x=-1,得 x=( -1)-1=

= +1.

(2)由 x=lo 8,得( )x=8=( )-3,∴x=-3. (3)由 logx(3+2 )=-2,得 3+2 =x-2,
-7-

得 x=(3+2 应用三:(1)2 (2) (3)

= -1.
(2)12 (3) (4) (5)80 (1)10lg 2=2.

=3× = =

=3×4=12. = = . = =.

(4)(

(5)∵log2(log3(log4x))=0,

∴log3(log4x)=1, ∴log4x=3,∴x=43=64. 同理可得 y=24=16,∴x+y=80.
基础智能检测 1.② 对于①,∵x=lo 4,∴( )x=4,∴x=4.

对于②,∵3x= ,∴3x=( )3=3-3,∴x=-3. 对于③,∵lg 0.0001=x,∴10x=0.0001=10-4,∴x=-4. 对于④,∵ln e5=x,∴ex=e5,∴x=5. 2 .4 3. -1

=(2

=(16 =4.

由已知得 x-1= +1,∴x=( +1)-1= -1.

4.解:由 9x-6· 3x-27>0,即(3x-9)(3x+3)>0,

∴3x>9,解得 x>2.故 x 的取值范围 为(2,+∞).
全新视角拓展

思维导图构建 对数

=

=

=- .

②N>0 x=logaN ①lg M ②ln M logaam

-8-


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