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mjh2071选修4-5不等式选讲同步测试(有解析)p


不等式选讲练习——mjh2071

不 等 式 选 讲
A 组 1.若 a , b 是任意的实数,且 a ? b ,则( (A) a 2 ? b 2 (C) lg(a ? b) ? 0 2.不等式 (B) ) ?

b ?1 a 1 1 (D) ( ) a ? ( ) b 2 2

如图 1,把一块边长是 a 的正方形铁片的各角 切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚 线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正 方形边长是多少时,才 能使盒子的容积最大?

2 ) ? ?3 的解集是( x 2 2 (A) (?? ,? ) (B) (?? ,? ) ? (0,??) 3 3 2 2 (C) (? ,0) ? (0,??) (D) (? ,0) 3 3
3.不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 的解集为( ) (A) ?? ?,?2? ? ?2,??? (B) ?? ?,?1? ? ?2,??? (C) ?? ?,?2? ? ?3,??? (D) ?? ?,?3? ? ?2,???

4.若 n ? 0 ,则 n ?

32 的最小值为 ( n2

)

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 5.若 A= ( x ? 3)( x ? 7) ,B= ( x ? 4)( x ? 6) ,则 A,B 的大小关系为__________. 6.设 a , b , c 是不全相等的正数,求证: 1) (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc ;

?

a , b , c ? 0 ,且不全相 等,求证 a(b ? c ) ? b(a2 ? c2 ) ? c(a2 ? b2 ) ? 6abc .
已知
2 2

?

a ? b ? c ? ab ? bc ? ca .

?

已知 a1 ,a2 , …,an ? R? , 且 a1a2 ?an ? 1 , 求证 (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2 n .

?

.已知 x , y ? R ,求证

x2 ? y 2 x? y 2 ) ≥( 2 2
? B 组 1? y 1? x , 已知 x ,y ? 0 , 且 x ? y ? 2 .试证:
y

x

中至少有一个小于 2.
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不等式选讲练习——mjh2071
2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

.

?

求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.

?

已知 a 2 ? b 2 ? 1 ,求证 a cos? ? b sin ? ≤1. ? 证明: n 3 ? 5n (n ? N ? ) 能够被 6 整除.

?

已知 x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值.

?

设 a, b, c ? R ? , 求证: a ? b ? c ? 3 .
b?c c?a a?b 2

?

已知 2 x ? 3 y ? 4 z ? 10 , 求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最 小值.

16. 已知 a , b , c 是正数,求证

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不等式选讲练习——mjh2071

9.分析:观察欲证不等式的特点,左边 3 项每一项都 是两个数的平方之和与另一个数之积,右边是三个数 的积的 6 倍.这种结构特点启发我们采用如下方法. 不 等 式 选 讲 答 案 1.D.提示:注意函数 y ? ( ) x 的单调性; 2.B.提示:先移项,再通分,再化简; 3.D. 提 示 : 当 x ≤ - 2 时 , 原 不 等 式 可 以 化 为 ?( x ?1) ? ( x ? 2) ≥5, 解得
? x ? ?2 x ≤- 3 ,即不等式组 ? ?

1 2

证明: 因为 b 2 ? c 2 ≥ 2bc ,a ? 0 , 所以 a(b2 ? c2 ) ≥ 2 abc . ①
因为 c ②
2

? a 2 ≥ 2ac , b ? 0 ,所以 b(c2 ? a 2 ) ≥ 2 abc

.

的解集是

? ? x ?1 ? x ? 2 ? 5

(?? , ? 3]. 当 ?2 ? x ? 1 时, 原不等式可以化为 ?( x ? 1) ? ( x ? 2)
≥5, 即 3≥5,矛盾.所以不等式组 ? ??2 ? x ? 1
? ? ? x ?1 ? x ? 2 ? 5

c ? 0, 因为 a 2 ? b 2 ≥ 2ab , 所以 c(a 2 ? b2 ) ≥ 2 abc . ③ 由于 a , b , c 不全相等,所以上述①②③式中至少 有 一 个 不 取 等 号 , 把 它 们 相 加 得 2 a( 2 b? 2c )? ( b2? a 2 )c ? ( c ? a 2). ? b 6 a b c 10.提示:观察要证明的结论,左边是 n 个因式的乘 积,右边是 2 的 n 次方,再结合 a1a2 ?an ? 1 ,发现
如果能将左边转化为 a1 , a2 ,…, an 的乘积,问题 就能得到解决. 证明:因为 a1 ? R? ,所以 即 1 ? a1 ? 2 a1 . 同理, …… 1 ? a n ? 2 a n .因为 a1 , 1 ? a 2 ? 2 a2 ,

,的解集

为?, 当 x ≥1 时,原不等式可以化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ≥5, 解得 x ≥2,
?x ? 1 即不等式组 ? 的解集是 [2 , ? ?) . ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? ?

1 ? a1 ? 1 ? a1 ? a1 , 2

综上所述,原不等式的解集是 (?? , ? 3] [2 , ? ?) ; 4.C. 提示: n ? 32 ? n ? n ? 32 ; 2 2 5. A ? B . 提示:通过考察它们的差与 0 的大小关系,得出这两 个多项式的大小关系. 因为
n 2 2 n

a2 ,…, an ? R? ,由不等式的性质,
n n 得 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? (1 ? a n ) ? 2 a1 a 2 ? a n ? 2 .

因为 ai ? 1 时, 1 ? ai ? 2 ai 取等号,所以原式在

a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 时取等号.
11. 提示:要证的结论与条件之间的联系不明显,直 接由条件推出结论的线索不够清晰.另外, 如果从正面 证明,需要对某一个分式小于 2 或两个分式都小于 2 等进行分类讨论,而从反面证明,则只要证明两个分 式都不小于 2 是不可能的即可.于是考虑采用反证法. 证明:假设 且

( x ? 3)( x ? 7) ? ( x ? 4)( x ? 6)

? ( x2 ? 10x ? 21) ? ( x2 ? 10x ? 24) ? ?3 ? 0 所以 ( x ? 3)( x ? 7) ? ( x ? 4)( x ? 6) ;
6.提示:

a ? b ? 2 ab ,

b ? c ? 2 bc ,

c ? a ? 2 ca
分别将以上三式相乘或相加即可; 7.提示: 8.提示: 设切去的正方形边长为 x ,无盖方底盒子的 容积为 V ,则
x 2 ? y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 2 ? y 2 ) x 2 ? y 2 ? 2 xy x ? y 2; ? ? ?( ) 2 4 4 2

1? x 1? y 1? x , 都不小于 2,即 ? 2, x y y

1? y ? 2. x 因为 x , y ? 0 ,所以 1 ? x ? 2 y ,且 1 ? y ? 2 x .把 这两个不等式相加,得 2 ? x ? y ? 2( x ? y) , 从而 x ? y ? 2 .这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾.因此,
1 ? x , 1 ? y 都不小于 x y

V ? (a ? 2x) x
2

2 是不可能的,即原命题成立.

1 1 ( a ? 2 x ) ? ( a ? 2 x ) ? 4 x 3 2a 3 ? (a ? 2 x)(a ? 2 x) ? 4 x ? [ ] ? 4 4 3 27

当且仅当 a ? 2 x ? a ? 2 x ? 4 x ,即当 x ? 式取等号,此时 V 取最大值

a 时,不等 6

2a 3 .即当切去的小正方 27 1 形边长是原来正方形边长的 时,盒子容积最大. 6

12. 提示:利用不等式解决极值问题,通常设法在不 等式一边得到一个常数, 并寻找不等式取等号的条件. 这个函数的解析式是两部分的和,若能化为 ac ? bd 的形式就能利用柯西不等式求其最大值. 解 : 函 数 的 定 义 域 为 ?1 , 5? , 且 y ? 0 .

y ? 5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ? x
? 52 ? ( 2)2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2

? 27 ? 4 ? 6 3

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不等式选讲练习——mjh2071

当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x 时,等号成立,即

即只须证:

x?

127 时函数取最大值 6 3 . 27

[2(a ? b ? c)](

1 1 1 ? ? )?9 b?c c?a a?b

13.提示:

a cos ? ? b sin ? ? (a cos ? ? b sin ? ) 2

由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式 成立。 (法二)由对称性,不妨设: a ? b ? c ? 0 , 则

? (a 2 ? b 2 )(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? a 2 ? b2 ? 1
14.提示:

1 1 1 , ? ? b?c c?a a?b
所 以 : ( 顺 序 和 )

1 ? ( x ? 2 y)2 ? (12 ? 22 )( x2 ? y2 ) ? 5( x2 ? y2 ) 1 ? x2 ? y 2 ? . 5
15.提示:

a b c b c a (乱序 ? ? ? ? ? b?c c?a a ?b b?c c?a a ?b
和) (顺序和)
2

100 ? (2x ? 3 y ? 4z) ? (2 ? 3 ? 4 )( x ? y ? z ) 100 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? . 29 1 1 1 ? ? ) 16.提示: [2(a ? b ? c)]( a?b b?c c?a
2 2 2 2 2 2

a b c c a b (乱序 ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b
和) 将以上两式相加即得:

a b c 3 ? ? ? . b?c c?a a?b 2

1 1 1 ? ? ) ? (1 ? 1 ? 1) 2 ? 9. a?b b?c c?a 2 2 2 9 ? ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)](
17. 提示:这是一个与整除有关的命题,它涉及全体 正整数,若用数学归纳法证明,第一步应证 n ? 1 时命 3 题成立;第二步要明确目标,即在假设 k ? 5k 能够 被 6 整除的前提下,证明 (k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) 也能被 6 整除. 证明: 1) 当 n ? 1 时,n ? 5n ? 6 显然能够被 6 整除, 命题成立. 2 )假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即
3

k 3 ? 5k 能够被 6 整除. 当 n ? k ? 1 时,

(k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 ? 5k ? 5 ? (k 3 ? 5k ) ? 3k 2 ? 3k ? 6 ? (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 . 3 由假设知 k ? 5k 能够被 6 整除, 而 k (k ? 1) 是 偶 数 , 故 3k (k ? 1) 能 够 被 6 整 除 , 从 而 (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 即 (k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) 能 够 被 6 整除.因此,当 n ? k ? 1 时命题成立.
由 1 ) 2 ) 知 ,命 题 对一 切 正整 数 成 立, 即

n ? 5n (n ? N ? ) 能够被 6 整除;
3

18. 证明:(法一)要 证原不等式成 立,只须证:

a b c 9 ?1 ? ?1 ? ?1 ? b? c c? a a? b 2
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