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2010—2011学年度下学期高三二轮复习综合验收试题4(理)


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2010— 学年度下学期高三二轮复习(理科)数学综合验收试题( 【新人教】 【新人教 2010—2011 学年度下学期高三二轮复习(理科)数学综合验收试题(4) 新人教】

第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 100 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题, 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 1 . 实 数 a 、 b 满 足 a > b > 0 , 集 合 M = {x | b < x <

a+b } , N = {x | ab < x < a} , 则 集 合 2
( )

{x | b < x ≤ ab } 可表示为
A. M ∪ N 2.函数 y = B. M ∩ N C. CR M ∩ N D. M ∩ CR N

ln( x + 1) ? x2 ? 3x + 4

的定义域为





A. ( ?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. ( ?1, 1)

D. (?1,1] ( )

3.命题“对任意直线 l,有平面 α 与其垂直”的否定是 A.对任意直线 l,没有平面 α 与其垂直 C.存在直线 l0 ,有平面 α 与其不垂直

B.对任意直线 l,没有平面 α 与其不垂直 D.存在直线 l0 ,没有平面 α 与其不垂直

4.若函数 y = f ( x)的导函数在区间(a, b) 上不是单调函数,则函数 y = f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的图象可能

是 A.①③ B.②④ C.②③ D.③④





5.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1.3.610……这样的 角形数”,而把 1.4.9.16……这样的数称为“正方 中可以发现, 任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看 “三角形”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式为 ①13=3+10; ⑤6 4=28+36 ②25=9+16; ③36=15+21; ( ④ 49=18+31; )

数称为“三 形数”。如图 作两个相邻

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1

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A.③⑤ B.②④⑤ C.②③④

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D.①②③⑤

6.对一位运动员的心脏跳动检测了 8 次,得到如下表所示的数据: 检测次数 检测数据 a i (次/分钟) 1 39 2 40 3 42 4 42 5 43 6 45 7 46 8 47

上 述数据的统计分析中,一部分计算见如右图所示的程序框图 这 8 个数据的平均数) ,则输出的的值是( A.6 C.8 B.7 D.56 )

( 其中 a 是

7.正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成角为 60°,过底面一边作 与底面成 30°的二面角,则此截面的面积为( A. B. 3 2 a 4 3 2 a 3 )

一截面使其

1 2 C. a 3 3 2 D. a 8 8.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一.乙不值周六,则可排出不同的值 班表数为 A.12 B.42 C.6 ( D.90 )

?3x ? y ? 6 ≤ 0, 2 3 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y + 2 ≥ 0, 若目标函数 z = ax + by ( a>0, b>0)的最大值为 12,则 + 的 a b ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?
最小值为 A. ( B. )

25 6

8 3

C.

11 3

D. 4 )

10.已知 2 b 是 1 一 a 和 1+a 的等比中项,则 a+4b 的取值范围是(

5? ? A. ? ? ∞, ? 4? ?

B. (一∞,

5 ) 4

5? ? C. ? ? 1, ? 4? ?

D. (一 1,

5 ) 4

11.设 G 是 ?ABC 的重心,且(56 sin A) GA + (40 sin B)GB + (35 sin C )GC = 0 ,则角 B 的大小为 ( A.45° B.60° C.30° D.1 5°
2



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x2 y2 2 2 2 2 12.设点 P 是双曲线 2 ? 2 = 1( a >, b > 0) 与圆 x + y = a + b 在第一象限的交点 F1,F2 分别是双曲 a b
线的左.右焦点,且 | PF1 |= 2 | PF2 | ,则双曲线的离心率为 ( )

A. 5

B.

5 2

C. 10

D.

10 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13. 在二项式 (

3
3

x

+ x) n 的展开式中, 各项的系数和比各项的二项系数和大 240,


则 n 的值为

14.一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正(主)视图是直角三角 形,侧(左)视图是半圆,俯视国科是等腰三角形,则这个几何体的表现 积是 cm 。
2
2

15.等差数列 {an } 中的前 n 项和为 Sn ,已知 am ?1 + am +1 ? am = 0 , S 2 m ?1 = 38 ,则 m = _________ ; 16.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 1 = ,推广到 S2 4

空 间 可 以 得 到 类 似 结 论 ; 已 知 正 四 面 体 P—ABC 的 内 切 球 体 积 为 V1 , 外 接 球 体 积 为 V2 , 则

V1 = V2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)设函数 f ( x ) = sin( x + (Ⅰ)求 f (x ) 的值域; (Ⅱ)记 ?A BC 的内角 A.B.C 的对边长分别为 a, b, c, 若f ( B ) = 1, b = 1, c =

π
6

) + 2 sin 2

x , x ∈ [0, π ] 2

3 , 求a 的值。

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18. (本题满分 12 分)国庆前夕,我国具有自主知识产权的“人甲型 H1N1 流感病毒核酸检测试剂盒”(简 称试剂盒)在上海进行批量生产,这种“试剂盒”不仅成本低操作简单,而且可以准确诊断出“甲流 感”病情,为甲型 H1N1 流感疫情的防控再添一道安全屏障.某医院在得到“试剂盒”的第一时间, 特别选择了知道诊断结论的 5 位发热病人(其中“甲流感”患者只占少数) ,对病情做了一次验证性 检测.已知如果任意抽检 2 人,恰有 1 位是“甲流感”患者的概率为 (1)求出这 5 位发热病人中“甲流感”患者的人数 ; (2)若用“试剂盒”逐个检测这 5 位发热病人,直到能确定“甲流感”患者为止,设 ξ 表示检测次 数,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ。

2 。 5

19.本题满分 12 分) ( 已知四棱锥 P—ABCD 中, ⊥ 平面 ABCD, PA 底面 ABCD 为菱形, ABC = 60 , ∠ AB=PA=2,
0

E.F 分别为 BC.PD 的中点。 (Ⅰ)求证:PB//平面 AFC; (Ⅱ)求平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值。

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20. (本小题满分 12 分)已知曲线 f ( x ) = ln(2 ? x ) + ax 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设 g ( x) = f ( x) + kx, 若g ( x) 在(一∞,1)上是增函数,求实数 k 的取值范围;

1 2

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21. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 a2 b2

角三角形,直线 x ? y + b = 0 是抛物线 y 2 = 4 x 的一条切线. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S (0,? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A.B 两点.问:是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径 的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标;若不存在,说明理由.

1 3

22. (本小题满分 14 分) 已知数 列 {a n } 满足

2a n 1 a n +1 (n ∈ N ?), 且a1 = 。 an + 2 1006

(Ⅰ) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求通项 a n ; ? an ?
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(Ⅱ)若 bn =

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2 ? 2010a n 1 n ,且 c n = bn ? ( ) ( n ∈ N ?) ,求和 Tn = c1 + c 2 + ? + c n ; an 2
5n 的大小,并予以证明。 2n + 1

(Ⅲ)比较 Tn 与

参考答案

一、选择题 1.D;2.C;3.D;4.D;5.A;6.B;7.D;8.B; 9.A;10.C;11.B;12.A 二、填空题 13.4; 14. 2 2 + 2π ; 15.10; 16.

1 ; 27

三、解答题 17.解析: (I) f ( x ) = sin( x +

π
6

) + 2 sin 2

3 1 x = sin x + cos x + 1 ? cos x 2 2 2

=

3 1 π sin x ? cos x + 1 = sin( x ? ) + 1 ………………3 分 2 2 6

∵ x ∈ [0, π ],∴ x ?

π
6

∈ [?

π 5π
6 ,

(II)由 f ( B ) = 1, 得 sin( B ?

π
6

6

]

1 ∴ f ( x) ∈ [ ,2] ………………6 分 2

) = 0, 故B =

π

6

………………7 分

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解法一:由余弦定理 b = a + c ? 2a cos B,
2 2 2

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得 a ? 2a + 2 = 0, 解得a = 1或2
2

………………12 分

解法二:由正弦定理 当C =

b c 3 π 2π , 得 sin C = = ,C = 或 sin B sin C 2 3 3
………………9 分

π

3 2 2π π π 时, A = , 又B = , 从而a = b = 1 ………………11 分 当C = 3 6 6
………………12 分
1 C 1 ? C5 ? x 2 x = , ……………3 分 2 5 C5

,A=

π

, 从而a = b 2 + c 2 = 2

故 a 的值为 1 或 2

18.解析: (1)设有 x 人患“甲流感”,则由题意有 解得 x=1 或 x=4(舍) .

∴ 这 5 位发热病人中有 1 人患“甲流感”.…………………………………5 分 (2) ξ =1,2,3,4,则 P (ξ = 1) =

A1 1 1 1 = , P (ξ = 2) = 4 = , 1 2 A5 5 A5 5

P (ξ = 3) =

2 A3 + A 4 2 A4 1 = , P (ξ = 4) = 4 4 4 = . 3 5 A5 5 A5

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

1

2

3

4

1 5

1 5

1 5

2 5

…………………………………… ………………………………………………10 分 ∴ Eξ = 1 ×

1 1 1 2 + 2 × + 3 × + 4 × = 2.8 . ……………………………………12 分 5 5 5 5

19.解析: (1)连结 BD 交 AC 于 O,

∵ ABCD 为菱形,则 BO=OD…………1 分
连结 FO,∵ {F = DF ,∴ FO / / FB …………3 分

∵ FO ? 平面 AFC, PB ? 平面 AFC,
∴ PB / / 平面 AFC…………4 分
(2)∵ E 为 BC 中点,∴ AB = 2 BE

∵ ∠ABE = 600 ,∴ AE = 3BE

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∴ AE ⊥ BC ,∵ AD / / BC ,∴ AE ⊥ AD. …………6 分
建立如图所示的空间直角坐标系, { A; AE , AD, AP} ,

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则 E ( 3, 0, 0), P (0, 0, 2), C ( 3,1, 0) ,D(90,2,0)…………8 分 平面 PAE 的一个法向量为 m = (0,1, 0) ……9 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n = ( x, y , z )

则?

?n ? PD = 0 ? ?n ? DC = 0 ?

?( x, y, z ) ? (0, 2, ?2) = 0 ? ∴? ?( x, y, z ) ? ( 3, ?1, 0) = 0 ? ?y ? z = 0 ? , 令y = 3 ∴? ? 3x ? y = 0 ?
∴ n = (1, 3, 3) …………11 分 ∴ cos < m, n >=

m?n = | m |?| n |

3 7

=

21 7
21 . ……12 分 7

∴ 平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为

20.解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域是 ( ?∞, 2) …………1 分

1 + a …………2 分 x?2 1 1 由题知 f ′(0) = ? + a = ,∴ a = 1 2 2 1 x ?1 ∴ f ′( x) = +1 = x?2 x?2 f ′( x) =
令 f ′( x) = 0, 得x = 1 …………3 分 当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表所示

x
f ′( x) f ( x)

(?∞,1)
+

1 0 1

(1,2) -

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所以 f ( x)在x = 1 处取得极大值 1,无极小值。…………6 分 (Ⅱ) g ( x ) = ln(2 ? x ) + ( k + 1) x, g ′( x) =

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1 + (k + 1) …………7 分 x?2 1 ? 1 在(-∞,1)上恒成立……8 分 由题知 g ′( x) ≥ 0在(-∞,1)上恒成立,即 k ≥ 2?x 1 ∴ x < 1,∴ 2 ? x > 1,∴ 0 < <1 2? x 1 ∴ ?1 < ? 1 < 0,∴ k ≥ 0 2? x
即实数 k 的取值范围是 [0, +∞ ) …………12 分

21.解: (Ⅰ)由 ?

? x ? y + b = 0消去y得 : x 2 + (2b ? 4) x + b 2 = 0 2 ? y = 4x

2 因直线 y = x + b与抛物线y = 4 x 相切,

∴ ? = (2b ? 4) 2 ? 4b 2 = 0 ,∴ b = 1 ,………………2 分
∵圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a2 b2

形,∴ a =

2b = 2
x2 + y 2 = 1. 2
2

………………4 分

故所求椭圆方程为

………………5 分

(Ⅱ)当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x + ( y + ) = ( )
2

1 3

4 3

2

当 L 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2 + y 2 = 1

1 2 4 2 ? 2 ?x = 0 ?x + ( y + ) = ( ) 由? 3 3 解得? ?y = 1 ?x 2 + y 2 = 1 ?
即两圆公共点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) ………………7 分

(ⅰ)当直线 L 斜率不存在时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) (ⅱ)若直线 L 斜率存在时,可设直线 L: y = kx ?

1 3

1 ? ? y = kx ? 3 ? 由? 消去y得 : (18k 2 + 9) x 2 ? 12kx ? 16 = 0 x2 ? + y2 = 1 ?2 ?

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12k ? ? x1 + x 2 = 18k 2 + 9 ? 记点 A( x1 , y1 ) . B( x 2 , y 2 ), 则? ? x x = ? 16 ? 1 2 18k 2 + 9 ?

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………………9 分

又因为TA = ( x1 , y1 ? 1), TB = ( x 2 , y 2 ? 1)

4 4 所以TA ? TB = x1 x 2 + ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) = x1 x 2 + (kx1 ? )(kx 2 ? ) 3 3
4 16 k ( x1 + x 2 ) + 3 9 ? 16 4 12k 16 = (1 + k 2 ) ? ? k? + =0 2 2 18k + 9 3 18k + 9 9 = (1 + k 2 ) x1 x 2 ?
∴TA⊥TB, 综合(ⅰ) (ⅱ) ,以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1) . 22.解析: (Ⅰ)∵ ………………11 分 ……………12 分

2an 1 1 1 = an +1 , an ≠ 0 ? = + an + 2 an +1 an 2

数列 {

1 1 1 } 是首项为 ,公差为 的等差数列,…………2 分 an a1 2



1 1 1 2 + (n ? 1)a1 = + (n ? 1) ? = an a1 2 2a1 1 1006

因为 a1 =

所以数列 {xn } 的通项公式为 an = (Ⅱ)将 an 代入 bn 可求得

2a1 2 ……4 分 = (n ? 1)a1 + 2 n + 2011

bn =

2 ? 2010 ×

2 n + 2011
n

2 n + 2011 = n + 1

?1? ?1? 所以 cn = bn ? ? ? = (n + 1) ? ? …………5 分 ?2? ?2? 1 ?1? ?1? ?1? Tn = 2 × + 3 × ? ? + 4 × ? ? + ? + (n + 1) ? ? ① 2 ?2? ?2? ?2? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn = 2 × ? ? + 3 × ? ? + 4 × ? ? + ? + (n + 1) ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?
2 3 4 n +1 2 3 n

n

②…………7 分

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1 ?1? ?1? ?1? ?1? 由①-②得 Tn = 1 + ? ? + ? ? + ? + ? ? ? ( n ? 1) ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?
2 3 n n +1

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1 ?1? [1 ? ? ? 4 ?2? = 1+ 1 1? 2
∴ Tn = 3 ?
(Ⅲ) Tn ?

n ?1

]

?1? ? (n + 1) ? ? ?2?

n +1

=

3 n+3 ? 2 2n +1

n+3 …………9 分 2n 5n n+3 5n (n + 3)(2 n ? 2n ? 1) = 3? n ? = 2n + 1 2n + 1 2 2n (2n + 1) 5n 的大小关系等价于比较 2n 与 2n + 1 的大小 2n + 1

于是确定 Tn 与

由 2 < 2 × 1 + 1; 2 2 < 2 × 2 + 1; 2 3 > 2 × 3 + 1; 2 4 > 2 × 4 + 1; 2 5 > 2 × 5 + 1,… 可猜想当时, 2 > 2n + 1 …………11 分
n

证明如下: 证法 1: (1)当 n = 3 时,由上验算显示成立, (2)假设 n = k 时成立,即 2 > 2k + 1
k

则 n = k + 1 时 2 ? 2k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = 2( k + 1) + 1 + (2k ? 1) > 2( k + 1) + 1 所以当 n = k + 1 时猜想也成立 综合 (1)(2) 可知,对一切 n ≥ 3 的正整数,都有 2 > 2n + 1 …………12 分
n

证法 2:当 n ≥ 3 时
0 1 2 n n 1 2n = (1 + 1) n = Cn + Cn + Cn + ? + Cn ?1 + Cn ≥ Cn + Cnn ?1 + Cnn = 2n + 2 > 2n + 1 ……12 分

综上所述,当 n = 1, 2 时, Tn =

5n 5n 当 n ≥ 3 时, Tn > ……14 分 2n + 1 2n + 1

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