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宁夏银川一中2014届高三数学上学期第四次月考试卷


银川一中 2014 届高三年级第四次月考 数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

(1 ? i) 2 (i 为虚数单位)的虚部为 1.复数 z ? 1? i A.1 B. -1 C. ? 1 D. 0
2.设集合 A ? x | 2x ? 1 ? 3 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ? A. (1 , 2) B. [1 , 2] C. [1 , 2) D. (1 , 2] 3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 2 , a5 ? 3a3 ,则 S 9 ?

?

?

A. ?72

B. ?54

C. 54

D. 72

4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x) ,且 f ?( x) 是偶函数, 则曲线: y ? f ( x) 在点 (2 , f (2)) 处的切线方程为 A. 9 x ? y ? 16 ? 0 C. 6 x ? y ? 12 ? 0 B. 9 x ? y ? 16 ? 0 D. 6 x ? y ? 12 ? 0

5. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 ?4,2? , 令 an ? f (n ? 1) ? f (n) , 记数列 ? n ? N? , 的前 n 项和为 S n ,则 S n =10 时, n 的值是 A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 6.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? A.

?1? ? ? an ?

2 ,则 AE ? BF 的值是
C. 0 D. 1

2

B. 2

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

π ) 2

的部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象, 则只需将 f ( x ) 的图象 A. 向右平移 C. 向左平移
2

π 个长度单位 6 π 个长度单位 6

B. 向右平移 D. 向左平移

π 个长度单位 12 π 个长度单位 12

8.若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x?(0, A. a ? 0 B. a ? ?2

1 )成立,则 a 的取值范围是 2
C. a ? ?

5 2

D. a ? ?3
1

9.若 cos ? ? ?

4 , ? 是第三象限的角,则 5
B.

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 等于

2
D. 2

A. ?

1 2

1 2

C. -2

e x ? e? x 10.函数 y ? ln x 的图象大致为 e ? e? x

A. 11.若函数

B.

C.

D.

1 f ( x) ? ? e ax (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切, b
B. 2 2 C.2 D. 2

则 a ? b 的最大值是 A.4 12. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R , 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个
2

零点,则 a 的取值范围是 A. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0, 第Ⅱ卷

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 1 ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?
大角为_____________. 15.设函数 f ( x) ?

.

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ,某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最

x ( x ? 0) ,观察: x?2 x x f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? , , x?2 3x ? 4 x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? ,…… 7x ? 8
2

根据以上事实,由归纳推理可得:当 n ? N 且n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?

?

.

16. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) ,f (?2) ? ?3 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且

3 2

Sn a ? 2 ? n ? 1 (其中 S n 为 ?an ? 的前 n 项和),则 n n . f (a5 ) ? f (a6 ) ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 12 分) 等比数列.

已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 不 为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a2 , a3 , a4 ? 1 成

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2 n.(a n ? 2)

,求数列?bn ? 的前 n 项和 S n

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a

1 ? (sin x , ? 1) , b ? ( 3 cos x , ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A,B,C 的对边, 其中A为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 , 且 f ( A) ? 1,求A, b 和 ?ABC 的面积S. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? 6 , a5 ? 18,数列 ?bn ? 的前 n 项和是 Tn ,且

Tn ?

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=e -ax-1. (1)求 f (x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f (x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存 在, 21. (本小题共12分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?
x

1 bn ? 1 . 2

(3) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

1? a , (a ? R). x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (3)若在 ?1, e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得

f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多
3

做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是 0 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE , CFD,CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (2)若 CG=1,CD=4,求

DE 的值. GF

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 2 ? ?x=3- 2 t, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 y= 5+ t ? ? 2

(t 为参数).在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ρ =2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)求不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?1的解集;

(a ? (2)已知 a , b ? R ? , a ? b ? 1 ,求证:

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? . a b 2

2014 届高三第四次月考数学(理)参考答案 一、选择题 1-5 BDBAB (文科)1-5 BDBDA 二、填空题 13. 4 14. 6-10 AACAC 6-10 AAACC 11-12 DB 11-12 AB

2? 3

15.

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

16. 3

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a2 , a3 , a4 ? 1成等比数列,得

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ?,


解得 d ? 2 ,或 d ? ?1 ,……………………2

4

当 d ? ?1 时, a3 ? 0 ,与 a2 , a3 , a4 ? 1成等比数列矛盾,舍去.

?d ? 2 ,

………………………4 分

? an ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n, 即数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n. …………6 分
(2) bn ?

2 1 1 1 2 = ,………………9 分 ? ? ? n ? (a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? .…………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?
18. (本小题满分 12 分) .解: (Ⅰ)

…………………………………………2 分

……………4 分

因为

,所以

…………………………………………6 分

(Ⅱ)

因为

,所以



……………8 分

则 则

,所以 …………………………………………10 分

,即

从而 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 的公差为 ,则:

………………………12 分





∵ ∴



,∴ .







5

(Ⅱ)当

时,

,由

,得





时,







,即

. ∴





是以

为首项,

为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(2)可知:



∴ ∴













20. (本小题满分 12 分) 解 f′(x)=e -a, (1)若 a≤0,则 f′(x)=e -a≥0, 即 f(x)在 R 上递增, 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥ln a. 因此 f(x)的递增区间是[ln a,+∞).
x x x x

6

(2)由 f′(x)=e -a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥e 在 x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e <e <e ,只需 a≥e . 当 a=e 时 f′(x)=e -e 在 x∈(-2,3)上,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,3)上为减函数, ∴a≥e . 故存在实数 a≥e ,使 f(x)在(-2,3)上单调递减. 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?
3 3 3 -2

x

x

x

3

3

x

3

x f ?( x ) f ( x)

(0,1)


1 0 极小

1 x ?1 ? , x x (1, ??)
+

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 1. (Ⅱ) h( x) ? x ?

1? a ? a ln x , x

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2 ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. h?( x) ? 1 ?
(III)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

1? a e2 ? 1 , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增,
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1
7

22. (本小题满分 10 分)
2 解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 . 所以

AD AC ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , ? AC AE

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC . (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .
? ?CGF ∽ ?CDE .

?

DE CD ? . GF CG DE =4. GF

又? CG ? 1, CD ? 4 ,? 23. (本小题满分 10 分)

解:(1)由 ρ =2 5sin θ ,得 x +y -2 5y=0, 即 x +(y- 5) =5.
2 2

2

2

(2)法一:将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3-
2

2 2 2 t) +( t)2=5, 2 2

即 t -3 2t+4=0. 由于 Δ =(3 2) -4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根, 所以?
2

?t1+t2=3 2, ?t1·t2=4.

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. (2)法二:因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5, 直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.

8

?x2+ y- 5 2=5, 由? ?y=-x+3+ 5.
解得:?

得 x -3x+2=0.

2

?x=1, ?y=2+ 5.

或 ?

?x=2, ?y=1+ 5.

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2. 24. (本小题满分 10 分) (1)[-2,2] (2)证明:? a, b ? R, 且a ? b ? 1, ? ab ? (

a?b 2 1 ) ? 2 4

1 2 1 2 1 1 (a ? b) 2 ? 2ab 2 2 2 ? (a ? ) ? (b ? ) ? 4 ? (a ? b ) ? ( 2 ? 2 ) ? 4 ? [(a ? b) ? 2ab] ? a b a b a 2b 2

1 1 1 ? 2ab 1 4 ? 25 , 当且仅当 a ? b ? 时 ? 4 ? (1 ? 2ab) ? 2 2 ? 4 ? (1 ? 2 ? ) ? 1 2 4 2 a b ( )2 4 1? 2?
不等式取等号

9


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