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空间向量及其运算-立体几何 2012高考一轮数学精品课件


学案6

空间向量及其运算

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1.空间向量 (1)定义:与平面向量一样,在空间,我们把具 方向 有 大小 和 的量叫做空间向量,向量 的 大小 叫做向量的长度或模.

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(2)表示方法:与平面向量一样,空间向量也用 有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示, 向量a的起点是A,终点是B,则向量a 也可以记作AB,其模记为 |a| 或 |AB| . (3)特殊向量
①零向量:我们规定, 0 . 向量,记为 长度为0 的向量叫做零

②单位向量:

模为1

的向量称为单位向量.

③相反向量: 与向量a长度相等而方向相反的向量 , 称为a的相反向量,记为-a. 返回目录

方向相同且模相等 的向量称为相 ④相等向量: 等向量.因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量. 2.空间向量的数乘运算

(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积 一个向量,称为向量的数乘运算.
(2)向量a与λa的关系 ①当λ>0时,λa与a方向 ②当λ=0时,λa= 0 相同 . . 相反 . |λ| 倍,即|λa|=

λa

仍是

③当λ<0时,λa与a方向
④λa的长度是a的长度的

|λ||a|

. 返回目录

(3)运算律 ①分配律:λ(a+b)= ②结合律:λ(μa)=(λμ)a. 3.共线向量 (1)共线向量的定义 λa+λb .

与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在 互相平行或重合 的直线 ,则这些向量叫做共线 向量或平行向量. (2)共线向量定理
对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 a=λb . 存在实数λ,使 (3)共线向量的推论 返回目录

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线, 那么对于空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件 是存在实数t,满足等式OP=OA+ta ①, 其中a叫做直线l的 方向向量 .

如图所示,若在l上取AB=a,

则①式可化为OP= OA+tAB .
4.共面向量

(1)共面向量的定义:
通常把 平行于同一个平面 的向量,叫做共面向量.

(2)共面向量定理: 返回目录

如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充 要条件是存在唯一的实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)共面向量定理的推论: 如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件 是存在有序实数对(x,y),使MP= xMA+yMB . 或对空间一点O来说,有OP=OM+xMA+yMB. 5.两向量的夹角 非零 已知两个 向量a,b,在空间任取一点O,作 OA=a,OB=b,则 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角, [0,π] <a,b> 记作 ,范围为 ,如果 π a⊥b . <a,b>= ,则称a与b 互相垂直 ,记作
2

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6.数量积的定义

|b|· 已知两个非零向量a,b,则 |a|· cos<a,b> 叫做a,b |a|· |b|cos<a,b> . 的数量积,记作a· b,即a· b=
零向量与任何向量的数量积为0. a2 特别地,a· a= 7.数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律: (1)(λa)·b=λ(a·b); (2)a· b=b· a(交换律);

=

|a|2

.

(3)a· (b+c)=a· b+a· c(分配律).
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8.空间向量基本定理 定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一 向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc . 由此可知,如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间 向量组成的集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} . 这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把 叫做空间的一个基底, a,b,c 都叫做基向量,空间任何三个不共面的向量都可构成 空间的一个基底. {a,b,c}

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9.空间向量的正交分解及其坐标表示 设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 (我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起 点O为原点,分别以e1,e2,e3 的方向为x轴、y轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系O—xyz.那么,对于空间任 意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在 有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3. 我们把x,y,z称作 向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标 ,记 p=(x,y,z) . 作

此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中 的坐标(x,y,z). 返回目录

10.空间向量的坐标运算

若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(2)a-b= (3)λa= (4)a· b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 ;

; ;

(λ∈R);

(5)a∥b? a=λb , ?a1=λb1 , a2=λb2 , a3=λb3 ; ? b=0 (6)a⊥b?? a· , ? a1b1+a2b2+a3b3=0 ; ? a· a (7)|a|= ; = a2 + a2 + a2
1 2 3

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(8)cos<a,b>=

a·b | a |·| b | =

a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3
2 2 a1 + a 2 + a 2 b 1 + b 2 + b 2 2 3 2 3

.

11.空间中两点间的距离公式

在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
(1)AB= (a2-a1,b2-b1,c2-c1) ; (a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2 .

(2)dAB=|AB|=

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考点一 空间向量的线性运算 如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,设 AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的 中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1) AP; (2) A1N; (3)MP+NC1.

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【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运 算律即可. 【解析】(1)∵P是C1D1的中点,
1 ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1 2 1 =a+c+ AB=a+c+ 1 b. 2 2

(2)∵N是BC的中点,
1 ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2

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(3)∵M是AA1的中点,
1 ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 1 1 =- a+a+c+ b= a+ b+c, 2 2 2 2 1 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 1 1 1 ∴MP+NC1= a+ b+c+a+ c 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

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【评析】用已知向量来表示未知向量,一定要结合 图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量, 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体 几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边 形法则在空间仍然成立.

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*对应演练*
已知空间四边形OABC中,M,N分别是对边OA,BC 的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设 OA=a,OB=b,OC=c,试用基底{a,b,c}表示向量OG.
2 由线段中点的向量表示式,得OG=OM+MG=OM+ 3 MN 1 2 = OA+ (MO+OC+CN) 2 3 1 2 1 1 = a+ [ - a+c+ (b-c)] 2 3 2 2 1 1 2 1 1 = a- a+ c+ b- c 2 3 3 3 3 1 1 1 = a+ b+ c. 6 3 3

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考点二 共线、共面问题 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)求证:BD∥平面EFGH; 1 (3)OM= (OA+OB+OC+OD). 4 【分析】(1)要证E,F,G,H四点共面,可寻求x, y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行,进而 得到线面平行. 返回目录

【证明】(1)如图,连接BG,则EG=EB+BG 1 =EB+ (BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH, 2 由共面向量定理的推论知:E,F,G,H四点共面. (2)因为EH=AH-AE 1 1 1 1 = AD- AB= (AD-AB)= BD, 2 2 2 2 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH, ? BD?平面EFGH, ?

所以BD∥平面EFGH.
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(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. 1 由(2)知EH= BD, 2 1 同理FG= BD, 2 所以EH=FG,即EH FG,
所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG,FH交于一点M且被M平分. 1 故OM= (OE+OG) 2 1 1 1 1 1 1 = OE+ OG= 2 [ 2 (OA+OB)]+ [ (OC+OD)] 2 2 2 2 1 = (OA+OB+OC+OD). 4 返回目录

【评析】在求一个向量由其他向量来表示的时候, 通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共 线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量 靠近,进行求解.若要证明两直线平行,只需判定两直 线所在的向量满足线性a=λb关系,即可判定两直线平 行,如第(1)(2)问即是如此.

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*对应演练*
如图,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G分别 是A1D1,DD1,D1C1的中点,请选择适当的基底向量 证明: (1)EG∥AC; (2)平面EFG∥平面AB1C.

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证明:(1)取AB=a,AD=b,AA1=c为一组基底, ∵E,F,G分别是A1D1,DD1,D1C1的中点,
1 (a+b), 2 1 AC=AB+BC=a+b,∴EG= AC,即EG∥AC, 2

∴EG=ED1+D1G=

从而EG∥AC.

(2)由(1)EG∥AC,同理可得EF∥B1C,又 EG∩B1C=C, ∴平面EFG∥平面AB1C.

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考点三

数量积及运算

在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,
将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角(如图76-8).求B,D间的距离.

【分析】要分清折叠前后的变量与不变量. 返回目录

【解析】∵∠ACD=90°, ∴AC· CD=0.

同理BA· AC=0.∵AB和CD成60°角,
∴<BA,CD>=60°或120°. ∵BD=BA+AC+CD, ∴BD2=BA2+AC2+CD2+2BA· AC+2BA· CD+2AC· CD =BA2+AC2+CD2+2BA· CD

=3+2×1×1×cos<BA,CD>
=

{

4 (<BA,CD>=60°) 2 (<BA,CD>=120°).

∴|BD|=2或 2 ,即B,D间的距离为2或 2. 返回目录

【评析】用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求 异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线 垂直、线面垂直等典型问题. (1)求向量m和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目 标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积 及长度,最后利用公式cos<m,n>= m·n .
| m || n |

(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化, 是思维中的常见障碍,在向量性质中|a|2=a· a提供了向量 与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计 算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题. 返回目录

*对应演练*
如图所示,已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,
MN⊥CD;

(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角 的余弦值.

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(1)证明:设AB=p,AC=q,AD=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹 角均为60°.
1 1 1 MN=AN-AM= (AC+AD)- AB= (q+r-p), 2 2 2 1 1 ∴MN· AB= (q+r-p)· p= (q· p-p2) p+r· 2 2

= (a2· cos60°+a2· cos60°-a2)=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.

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1 (2)由(1)可知MN= (q+r-p). 2 1 ∴|MN|2=MN2= (q+r-p)2 4 1 = 4[q2+r2+p2+2(q· q-r· r-p· p)] 1 1 a2 a2 a2 a2 = [a2+a2+a2+2( - )= ×2a2 = . 4 4 2 2 2 2
2 ∴|MN|= a,∴MN的长为 2a. 2 2

(3)设向量AN与MC的夹角为θ.
1 1 1 ∵AN= (AC+AD)= (q+r),MC=AC-AM=q- p, 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ∴AN· MC= (q+r)· (q- p)= (q - q· q- r· p+r· p) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2· = (a - a · cos60°+a cos60°- a · cos60° 2 2 2

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1 2 a2 a2 a2 a2 = (a + )= . 2 4 2 4 2 又∵|AN|=|MC|= 3 a, 2

∴AN·MC=|AN|·|MC|·cosθ
1 2 3 3 = a· a·cosθ= a . 2 2 2 2 ∴cosθ= , 3 2 AN与CM所成角的余弦值为 . 3

1 4

∴向量AN与MC的夹角的余弦值为

2 ,从而异面直线 3

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考点四 空间向量的坐标运算

(1)已知A,B,C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5, 1 -1),(-2,2,3)求点P使得AP= (AB-AC);
2

(2)a=(3,5,-4),b=(2,1,8).求: ①a· b;②a与b夹角的余弦值; ③确定λ,μ的值使得λa+μb与z轴垂直,且(λa+μb)·

(ab)=53.
【分析】第(1)问中只需代入点的坐标即可求解. 第(2)问中,求夹角需利用数量积,因而需求得|a|与 |b|代入公式cos<a,b>=
m·n | m || n |

.而求λ,μ的值,需利用z

轴的单位向量联立方程组求解. 返回目录

【解析】(1)设P(x,y,z),则AP=(x-2,
y+1,z-2),

1 AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1),AP=(AB2 AC).
1 3 =2 (6,3,-4)=(3, 2

∴(x-2,y+1,z-2)=

1 [(2,6,-3)-(-4,3,1)] 2



{

,-2).

x-2=3 y+1=
3 , 2

z-2=-2

解得
1 ,0). 2

{

x=5
1 2

y=

,

z=0

∴P点坐标为(5,

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(2)①a· b=(3,5,-4)· (2,1,8)

=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|= 3 2 + 5 2 + (-4) 2 = 5 2 , |b|=

22 + 12 + 82 = 69 ,
.

a·b 21 7 138 ∴cos<a,b>= ==| a || b | 230 5 2 · 69
∴a与b夹角的余弦值为 - 7 138 230 .

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③取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4). 依题意





{ {

{

(λa+μb)· n=0 (λa+μb)· (a+b)=53,

(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)· (0,0,1)=0 (3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)· (5,6,4)=53,

-4λ+8μ=0
29λ+48μ=53,

解得

λ=1
μ=
1 . 2

{

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【评析】

本题主要运用坐标代入运算即可.特别

地,由(2)中③可知,λa+μb与z轴垂直,只需满足

λa+μb的竖坐标为零 , 即-4λ+8μ=0即可 ,可见要使a
与某一坐标轴垂直,只要a的相应坐标为零即可,且反 之亦成立.

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*对应演练*
如图所示,在直四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面ABCD是图矩形, AB=2,AD=1,AA1=3, M是BC的中点.在DD 1 上 是否存在一点N,使 MN⊥DC 1 ?并说明理由.

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建立以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z
1 轴的坐标系.则C1(0,2,3),M( ,2,0),D(0,0,0).设N 2

(0,0,h),则MN=

(-

1 2

,-2,h),DC1=(0,2,3),由MN· 1=(DC

4+3h,∴当h=

4 <3时,MN· 1=0,此时MN⊥DC1, DC 3

1 2

,-2,h)· (0,2,3)=-

∴存在N∈DD1,使MN⊥DC1.

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1.熟练掌握空间向量的运算、性质及其基本定理是 解决空间向量问题的基础,特别是共线向量定理、共 面向量定理、空间向量基本定理,数量积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角 度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后 通过向量的运算或证明去解决问题,在这里,恰当地 选取基底可使向量运算简捷,或者是建立空间直角坐 标系,使立体几何问题转化为代数问题,在这里,熟 练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础.

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3.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理 难度,可以避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的 代数运算也容易导致出错.因此,在解决问题时,可以 灵活的选用解题方法,不要生搬硬套.
4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度, 一般用向量的模来解决;求异面直线所成的角,一般 可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不 同,最后应进行转化;解决垂直问题一般可转化为向 量的数量积为零.

5.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的 分解.
6.几何中向量问题的解决,选好基底是关键.


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