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2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1_图文

3.1 3.1.1 变化率与导数 变化率问题 3.1.2 导数的概念 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义. 2.会求函数f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 重点:求函数f(x)在x0到x0+Δx之间的 3.掌握求函数f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率 的方法与步骤. 平均变化率. 难点:1.理解实际问题中的平均变化 4.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背 景. 5.了解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数. 6.掌握函数在一点处导数的定义. 率. 2.理解函数在某点处的导数是 本节的难点,正确理解这一概 念为进一步研究导数奠定基础. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、函数的变化率 定义 实例 作用 刻画函数值在区间 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 平均变 ①平均速度; f?x2?-f?x1? [x1,x2] 上变化 Δy x2-x1 化率 率为 ,简记作:Δx ②曲线割线的斜率 的快慢 定义 实例 作用 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变 ①瞬时速度:物体 刻画函数值在 瞬时变 lim Δy x0 点 附近变化的快 在某一时刻的速 化率是Δx→0Δx= 化率 lim f?x0+Δx?-f?x0? 度;②切线斜率 慢 Δx→0 Δx 二、导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时 变化率称为函数 y=f(x)在 x=x0 lim Δy lim f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)=Δx→0Δx=Δx→0 . Δx 处的导数,记作 [双基自测] 1.已知函数 f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为( A.0.40 B.0.41 C.0.43 ) D.0.44 解析:由 Δy=f(Δx+2)-f(2)=(0.1+2)2-4=0.01+4×0.1=0.41,故 B 正确. 答案:B 2.一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( A.0.41 B. 3 C.4 D.4.1 ) 2 2 Δs 3+2.1 -?3+2 ? 解析: Δt = =4.1. 2.1-2 答案:D 3.设 f(x)=ax+4,若 f 解析:∵f(x)=ax+4, ∴f ′(1)=2,则 a=________. lim f?1+Δx?-f?1? ′(1)=Δx→0 Δx lim a?1+Δx?+4-?a+4? =Δx→0 =a Δx 又∵f ′(1)=2,∴a=2. 答案:2 4.若 f(x)=x2-3x,则 f ′(0)=________. lim f?0+Δx?-f?0? 解析:f ′(0)=Δx→0 Δx lim ?Δx?2-3Δx =Δx→0 Δx lim =Δx→0 (Δx-3)=-3. 答案:-3 探究一 [典例 1] 平均变化率的求法 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率,并求当 x0 =2,Δx=0.1 时平均变化率的值. [解析] 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 0 + 2? = Δx ?x0+Δx?-x0 6x0·Δx+3?Δx?2 = =6x0+3Δx. Δx 当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3. 求函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤是: (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1); (2)再计算自变量的改变量 Δx=x2-x1; Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率Δx= . x2-x1 1.将半径为 R 的铁球加热,若铁球的半径增加 ΔR,则铁球的表面积增加( A.8πR·ΔR C.4πR·ΔR+4π(ΔR)2 B.8πR·ΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2 ) 解析:Δs=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πR·ΔR+4π(ΔR)2. 答案:B 探究二 [典例 2] 求函数在某点处的导数 (1)函数 y= x在 x=1 处的导数为________. (2)如果一个质点由定点 A 开始运动,在时间 t 的位移函数为 y=f(t)=t3+3, Δy ①当 t1=4,Δt=0.01 时,求 Δy 和比值 Δt ; ②求 t1=4 时的导数. [解析] (1)Δy= 1+Δx-1, 1+Δx-1 Δy 1 = , Δx= Δx 1+Δx+1 lim Δx→0 所以 y′ 1 1 =2, 1+Δx+1 ? ? ?x=1 1 =2. 2 (2)①Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3t1 ·Δt+3t1·(Δt)2+(Δt)3, 故当 t1=4, Δt=0.01 时, Δy=0.481 Δy 201, Δt =48.120 1. lim Δy lim 2 2 ②Δt→0 Δt =Δt→0 [3t2 1+3t1·Δt+(Δt) ]=3t1=48, 故函数 y=t3+3 在 t1=4 处的导数是 48, 即 y′ ? ? = ?t1 4 =48. [答案] 1 (1)2 求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限. 2.求函数 y=2x2+4x 在 x=3 处的导数. 解析:Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx, 2 Δy 2?Δx? +16Δx ∴ Δ x= =2

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